高等數(shù)學(xué)教案ch11無窮級(jí)數(shù)

1、第十一章無窮級(jí)數(shù)教學(xué)目的：1 理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂 的必要條件。2掌握幾何級(jí)數(shù)與P 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。5了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。6了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積 分) ，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。9了解

2、函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10掌握ex,sin x,cos x， ln(1 x) 和 (1 a) 的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。11. 了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在-l ，l上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在 0, 1上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫 出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。 教學(xué)重點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；x5、e ,sin x,cos x , 1n(1 x)和(1 a)

3、的麥克勞林展開式；6、傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1 、比較判別法的極限形式；2、萊布尼茨判別法；3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂；4、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、泰勒級(jí)數(shù)；6、傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。11 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)給定一個(gè)數(shù)列u1 u2 u3un則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 u2 u3un叫做 （常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)簡稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)記為 unn1即 un u1 u2 u3un其中第 n 項(xiàng) un 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)n1n級(jí)數(shù)的部分和作級(jí)數(shù)un的前n項(xiàng)和snui ui u2 u3unn1i1稱為級(jí)數(shù)un 的部分和n1級(jí)數(shù)斂散性定義 如果級(jí)數(shù)un的部分

4、和數(shù)列Sn有極限s即lim sn sn1n則稱無窮級(jí)數(shù)un收斂這時(shí)極限S叫做這級(jí)數(shù)的和n1并寫成s un u1 u2 u3unn1如果Sn沒有極限則稱無窮級(jí)數(shù)un發(fā)散n1余項(xiàng) 當(dāng)級(jí)數(shù) Un收斂時(shí) 其部分和Sn是級(jí)數(shù) Un的和S的近似值 它們之間的差值rn s Sn Un 1 Un 2叫做級(jí)數(shù)Un的余項(xiàng)n 1例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）aqn a aq aq2n 0aqn的斂散性 其中a 0 q叫做級(jí)數(shù)的公比解如果q 1則部分和sn a aq aq2aqn 1a aqn1 qaqn1 q當(dāng)|q| 1時(shí)因?yàn)閚ims所以此時(shí)級(jí)數(shù)1 qaqn收斂其和為-a-01 q當(dāng)|q|1時(shí)因?yàn)閘im Sn n所以

5、此時(shí)級(jí)數(shù)aqn發(fā)散n 0如果|q| 1則當(dāng)q 1時(shí)snna因此級(jí)數(shù)naqn發(fā)散 0aqn成為 n 0時(shí)|q| 1時(shí) 因?yàn)閟n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零所以Sn的極限不存在從而這時(shí)級(jí)數(shù)aqn也發(fā)散n 0綜上所述 如果|q| 1則級(jí)數(shù) aqn收斂 其和為-a-如果|q| 1則級(jí)數(shù) aqn發(fā)散 n 01 qn 0僅當(dāng)|q| 1時(shí)幾何級(jí)數(shù)aqn a 0）收斂其和為 n 0例2證明級(jí)數(shù)1 2是發(fā)散的證此級(jí)數(shù)的部分和為sn 1 2 3n(n-21)顯然lim &n因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的例3判別無窮級(jí)數(shù)J 123, 341n(n 1)的收斂性解由于Un n(n因此1)1 sn 1223 3 41n(n 1

6、)(1 2)（2 3）(n占從而lim snnlim (1n所以這級(jí)數(shù)收斂它的和是1二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)nun收斂于和1s則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)kun也收斂n 1且其和為ks （如果級(jí)數(shù)un收斂于和s則級(jí)數(shù)kun也收斂且其和為ks）n 1n 1這是因?yàn)樵O(shè)Un與 kUn的部分和分別為sn與n則n 1 n 1lim n lim (kqku2kun)k lim(u1u2un)k limsnksnnnn這表明級(jí)數(shù)kun收斂且和為ks性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)Unn 1Vn分別收斂于和1s、則級(jí)數(shù) (un Vn)也收斂 且其和為s n 1這是因?yàn)槿绻鸘n、1Vn、 n 1(un n 1

7、Vn)的部分和分別為Sn、 n、 n 貝lim n lim (u1 nnVl) (U2V2)(unVn)lim (U1 U2 nUn) (Vl V2Vn)lim (Sn n) S n性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性比如級(jí)數(shù)112123134級(jí)數(shù)100001121231341n(n 1)1n(n 1)是收斂的也是收斂的1134 45n(n 1)也是收斂的性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)Un收斂則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂且其和不變應(yīng)注意的問題如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂則不能斷定去括號(hào)后原來的級(jí)數(shù)也收斂例如級(jí)數(shù)(1 1)+(1 1) +收斂于零但級(jí)數(shù)1111 卻是發(fā)散的推論如果

8、加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散級(jí)數(shù)收斂的必要條件 性質(zhì)5如果 Un收斂 則它的一般項(xiàng)Un趨于零 即lim Un 0n 1n 0(性質(zhì)5的等價(jià)命題：若lim Un 0 ,則級(jí)數(shù)Un發(fā)散)n 0n 1證設(shè)級(jí)數(shù) un的部分和為sn且lim sn s則 n 1nlim Unlim(SnSn1) lim Snlim Sn1 s s 0n 0nnn應(yīng)注意的問題級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)1 1 1 1-是發(fā)散的n 1n 2 3n證假若級(jí)數(shù)1收斂且其和為ssn是它的部分和n 1n顯然有 lim sn s 及 lim s2n s 于是 lim (&n sn) 0 nnn但

9、另一方面1111111s2nsn 2n*n 1 n 2 2n2n2n2n2故 lim (s2n sn) n10矛盾這矛盾說明級(jí)數(shù)1必定發(fā)散n 1n11 2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列s n有界n 1定理2(比較審斂法)設(shè) un和 vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且Un Vn(n 1 2 )若級(jí)數(shù)Vn收斂則級(jí)數(shù)n 1 n 1n 1Un收斂反之若級(jí)數(shù)Un發(fā)散則級(jí)數(shù)Vn發(fā)散n 1n 1n 1證設(shè)級(jí)數(shù)Vn收斂于和則級(jí)數(shù)Un的部分和n 1n 1Sn U1 U2Un V1 V2Vn (n 1,2,)即部分和數(shù)列Sn

10、有界由定理1知級(jí)數(shù) Un收斂 n 1反之設(shè)級(jí)數(shù) Un發(fā)散則級(jí)數(shù)Vn必發(fā)散因?yàn)槿艏?jí)數(shù)n 1n 1Vn收斂由上已證明的結(jié)論將有級(jí)數(shù)Un也收斂與假設(shè)矛盾n 1n 1推論設(shè)Un和Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果級(jí)數(shù)Vn收斂且存在自然數(shù) N使當(dāng)n N時(shí)有n 1 n 1n 1Un kVn(k 0)成立則級(jí)數(shù)Un收斂如果級(jí)數(shù)Vn發(fā)散且當(dāng)n N時(shí)有Un kVn(k 0)成立則級(jí)數(shù)n 1n 1Un發(fā)散n 1例1討論p級(jí)數(shù)1.1111-r 1 -r -p 9poP ppn 1 n 234 n的收斂性其中常數(shù)p 0解設(shè)p 1這時(shí)1-而調(diào)和級(jí)數(shù)1發(fā)散由比較審斂法知np nn 1n當(dāng)p 1時(shí)級(jí)數(shù)1-發(fā)散n 1 np設(shè)p1此時(shí)有1

11、 n 1 .p n 1 pdXnp np1融1 , L(n2，3，)對(duì)于級(jí)數(shù)11 -47其部分和n 2 (n 1)p 1 np 1c111 rL 1 1111sn12p11r2P 13p 11np1 (n 1)p 111(n 1)p1因?yàn)?lim sn lim 1 二 1n n (n 1)p 1所以級(jí)數(shù)rJ 工收斂從而根據(jù)比較審斂法的推論n 2 (n 1)p1 np11可知級(jí)數(shù) ,當(dāng)p 1時(shí)n 1 np收斂綜上所述p級(jí)數(shù) 4當(dāng)p 1時(shí)收斂當(dāng)p 1時(shí)發(fā)散 n 1 np例2證明級(jí)數(shù)；1是發(fā)散的n 1 % n(n 1)證因?yàn)?,n(n 1)_1_ _ ,.(n 1)2 n 1是發(fā)散的根據(jù)比較審斂法可

12、知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的定理3 (比較審斂法的極限形式)設(shè) 小和Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1 n 1如果lim un l (0 l )且級(jí)數(shù)vn收斂 則級(jí)數(shù)un收斂nvnn 1n 1(2)如果lim un l 0或lim 且級(jí)數(shù)Vn發(fā)散 則級(jí)數(shù) Un發(fā)散nvnnvnn 1n 11 ，,例3判別級(jí)數(shù) sin1的收斂性 n.1 sin解因?yàn)閘im n n -n1而級(jí)數(shù)-發(fā)散n 1n根據(jù)比較審斂法的極限形式級(jí)數(shù) sin1發(fā)散n 1 n例4判別級(jí)數(shù) ln（12）的收斂性n 1 n1而級(jí)數(shù)4收斂1 n21 ln(1 -12) 解因?yàn)閘im-nn 工n2根據(jù)比較審斂法的極限形式ln(1n 1-2)收斂 n2定理4（

13、比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果n 1lim -unn Un則當(dāng) 1時(shí)級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)1（或limnun 1un）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例5證明級(jí)數(shù)1 1 1-111 1 2 12 31 2 3 (n 1)是收斂的Un1.1 2 3 (n 1).1,解因?yàn)?lim lim1lim 01n Unn 12 3 n n n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂例6判別級(jí)數(shù)工程匕3旦的收斂性10 10210310n解 因?yàn)?lim un lim (n 1)! 10- lim n-n Un n 10n 1 n! n 10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散例7判別級(jí)數(shù)n(2n1的收斂性1）

14、2n解 limnun 1Unlimn(2n 1) 2n(2n 1) (2n 2)這時(shí) 1比值審斂法失效必須用其它方法來判別級(jí)數(shù)的收斂性因?yàn)槎粸?而級(jí)數(shù)烏收斂因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂（2n 1） 2n n2 n 1 n2定理5 （根值審斂法柯西判別法）設(shè)Un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果它的一般項(xiàng) Un的n次根的極限等于n 1n則當(dāng) 1時(shí)級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)1（或lim a）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能n發(fā)散例8證明級(jí)數(shù)1-11工是收斂的2233nn并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差解 因?yàn)?lim n/un lim n工 lim - 0nn nn n n所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收

15、斂以這級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為ii(n 2)n 2 (n 3)n 3111(n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 31n(n 1)n例6判定級(jí)數(shù) 2 ( J、的收斂性n 12n解因?yàn)閘im n unlim 1n2 ( 1)n 1n 、n22所以根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂定理6(極限審斂法)設(shè) Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1(1)如果lim nunl 0(或lim nun)則級(jí)數(shù)un發(fā)散nnn 1(2)如果p 1而lim npun l (0 l)則級(jí)數(shù)un收斂nn 1例7判定級(jí)數(shù)ln(12)的收斂性n 1 n.一1、1 ,、一解 因?yàn)?ln(1 -2)一2(n)故n nlim

16、 n2unlim n2 ln(1glimn2 31nnnn n根據(jù)極限審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂例8判定級(jí)數(shù) Vn 1(1 cos-)的收斂性解因?yàn)閚2vnn(1 coSn) nimn2B2叩知所給級(jí)數(shù)收斂3lim n2unlimnn根據(jù)極限審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為(1)n 1un其中Un 0n 1例如 (1)n 11是交錯(cuò)級(jí)數(shù)但 (1)n 11 cosn不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)n 1nn 1n定理6 (萊布尼茨定理)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) (1)n 1un滿足條件 n 1(1)un Un 1 (n 1 2 3 )(2) lim Un 0n則級(jí)數(shù)收

17、斂且其和s U1其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn| Un 1簡要證明設(shè)前n項(xiàng)部分和為Sn由 S2n (U1 U2)(U3 U4)(U2n 1 U2n)及S2nU1(U2U3)(U4U5)(U2n 2U2n1)U2n看出數(shù)列S2n單調(diào)增加且有界(S2n U1)所以收斂設(shè)S2ns(n )則也有S2n1S2nU2n 1 S(n )所以SnS(n )從而級(jí)數(shù)是收斂的且Sn U1因?yàn)閨rn| Un 1 Un 2也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)所以|rn| Un 1例9證明級(jí)數(shù)(1)n 11收斂 并估計(jì)和及余項(xiàng)n 1 n證這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足1un 1(n 1,2, ) (2) lim un lim由萊布尼茨定理級(jí)數(shù)

18、是收斂的 且其和s U1 1余項(xiàng)|rn| un三、絕對(duì)收斂與條件收斂 絕對(duì)收斂與條件收斂若級(jí)數(shù)|Un|收斂則稱級(jí)數(shù)Un絕對(duì)收斂 若級(jí)數(shù) Unn 1n 1n 1收斂而級(jí)數(shù)|un|發(fā)散 則稱級(jí)Un條件收斂而級(jí)數(shù) （1）n 11是條件收斂的 n 1 nn 1n 1例10級(jí)數(shù)（1）n12是絕對(duì)收斂的n 1 n定理7如果級(jí)數(shù)5絕對(duì)收斂則級(jí)數(shù)Un必定收斂n 1n 1值得注意的問題如果級(jí)數(shù) |Un|發(fā)散 我們不能斷定級(jí)數(shù) n 1Un也發(fā)散n 1但是 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)|Un|發(fā)散n 1則我們可以斷定級(jí)數(shù)Un必定發(fā)散n 1這是因?yàn)榇藭r(shí)|Un|不趨向于零從而Un也不趨向于零因此級(jí)數(shù) Un也是發(fā)散的

19、n 1例11判別級(jí)數(shù)snfa的收斂性n 1 n2解因?yàn)閕sinnai2而級(jí)數(shù)J2是收斂的 n nn i n所以級(jí)數(shù)|嗎na|也收斂 從而級(jí)數(shù)嗎a絕對(duì)收斂n 1 nn 1 n例12判別級(jí)數(shù)(1)n(1 1)M的收斂性n 12八n，解由 |Unl Jr(1 1)n2 有 lim na1 1lim(1 1)n =e 12 n n2 nn2可知lim un 0因此級(jí)數(shù) (1廠工(1 1)n2發(fā)散 nn12n n 11 3哥級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列Un(X)由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U1(x) U2(x) U3(x)un(x)稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù) 記為

20、un(x)n 1收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(xo)收斂則稱n 1點(diǎn)xo是級(jí)數(shù)Un(x)的收斂點(diǎn) 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(xo)發(fā)散則稱n 1n 1點(diǎn)xo是級(jí)數(shù)Un(x)的發(fā)散點(diǎn)n 1收斂域與發(fā)散域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域所n 1有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域 和函數(shù)在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(X)的和是X的函數(shù)S(x)n1S(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(X)的和函數(shù)并寫成S(X)Un(X)n1n1匯Un(X)是Un(X)的簡便記法以下不再重述n1在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(X)的和是X的函數(shù)S(X)S(X)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(X)的和函數(shù)并寫成S(X

21、)EUn(X)這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(X) 的前 n 項(xiàng)的部分和記作sn(X)n1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(X)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(X)即sn(X) u1(X) u2 (X) u3(X)un(X)在收斂域上有l(wèi)im Sn(X) S(X) 或Sn(X)S(X)(n )余項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(X)的和函數(shù)S(X)與部分和Sn(X)的差n1rn(X)S(X)Sn(X)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(X)的余項(xiàng)n1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(X)的余項(xiàng)記為rn(X)它是和函數(shù)S(X)與部分和Sn(X)的差rn(X)S(X)Sn(X)在收斂域上有l(wèi)im rn(X) 0n二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性冪級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

22、中簡單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)它的形式是a0 a1X a2X2anXn其中常數(shù)a0 a1 a2an 叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)哥級(jí)數(shù)的例子1 x x2 x3 xnx 1x22!n!注哥級(jí)數(shù)的一般形式是ao ai(x xo) a2(x xo)2an(x xo)n經(jīng)變換 t x xo 就得 ao ait a2t2antn哥級(jí)數(shù)1 x x2 x3xn可以看成是公比為 x的幾何級(jí)數(shù)當(dāng)|x|1時(shí)它是收斂的當(dāng)岡1時(shí)它是發(fā)散的因此它的收斂域?yàn)?1 1)在收斂域內(nèi)有11 x x2x3xn定理1 (阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)1 xanxn當(dāng)x xo (xo o)時(shí)收斂 則適合不等式

23、 n o|x| |xo|的一切x使這哥級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂反之 如果級(jí)數(shù)anxn當(dāng)n ox xo時(shí)發(fā)散則適合不等式|x| |xo|的一切x使這哥級(jí)數(shù)發(fā)散證先設(shè)xo是哥級(jí)數(shù)anxn的收斂點(diǎn)即級(jí)數(shù)chxn收斂根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件有n on olim anxn o于是存在一個(gè)常數(shù)M使n| anxon | M(n o, 1,2,)這樣級(jí)數(shù)anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值n o|anxn| |anx(D xn| |anxn|X|n M |nxoxoxo因?yàn)楫?dāng)x| |xo|時(shí)等比級(jí)數(shù) M 產(chǎn)收斂所以級(jí)數(shù)|anxn|收斂 也就是級(jí)數(shù)anxn絕對(duì)noxon on o收斂定理的第二部分可用反證法證明倘若哥級(jí)數(shù)當(dāng)x xo時(shí)發(fā)

24、散而有一點(diǎn)x1適合|x1|xo|使級(jí)數(shù)收斂則根據(jù)本定理的第一部分級(jí)數(shù)當(dāng)x X0時(shí)應(yīng)收斂這與所設(shè)矛盾定理得證推論如果級(jí)數(shù)anXn不是僅在點(diǎn)X0 一點(diǎn)收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂則必有一個(gè)完全n 0確定的正數(shù)R存在使得當(dāng)|x| R時(shí)哥級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)|x| R時(shí)哥級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)x R與x R時(shí)哥級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散收斂半徑與收斂區(qū)間 正數(shù)R通常叫做哥級(jí)數(shù)anXn的收斂半徑 開區(qū)間（RR）叫做哥級(jí)數(shù)n 0anXn的收斂區(qū)間再由哥級(jí)數(shù)在XR處的收斂性就可以決定它的收斂域哥級(jí)數(shù)anXnn 0n 0的收斂域是（R R）（或R, R）、（ R, R、 R, R之一規(guī)定若哥級(jí)數(shù)anxn只在x 0收斂則規(guī)定收斂半徑

25、 R 0若哥級(jí)數(shù)anxn對(duì)一切x都收斂n 0n 0則規(guī)定收斂半徑R這時(shí)收斂域?yàn)椋?，）定?如果lim |嵬|其中an、an 1是哥級(jí)數(shù)anXn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù) 則這哥級(jí)數(shù)的收斂半徑nann 00R -00n 1簡要證明 lim | an 1X | lim |毗| |x|x|nanxnnan1（1）如果0 則只當(dāng)岡1時(shí)帚級(jí)數(shù)收斂故R （2）如果 0則哥級(jí)數(shù)總是收斂的故R如果 則只當(dāng)x 0時(shí)哥級(jí)數(shù)收斂故R 0例1求哥級(jí)數(shù)不常的收斂半徑與收斂域 解因?yàn)?lim |an-1| lim n-1 1nann 1n所以收斂半徑為R 1 1當(dāng)x 1時(shí)哥級(jí)數(shù)成為(1)n 11 是收斂的n 1 n1當(dāng)X 1時(shí) 帚

26、級(jí)數(shù)成為(,)是發(fā)散的 因此收斂域?yàn)?1,1n 1 n例2求哥級(jí)數(shù)ixnn on!1x2 2!1x33!1 x n!的收斂域1解因?yàn)閘imlanT lim (n 祖 lim#0n 1 an 1 n 1 n (n 1)!n!所以收斂半徑為R從而收斂域?yàn)?例3求哥級(jí)數(shù)n!xn的收斂半徑n 0解因?yàn)閍n 1 (n 1)! lim ln-l lim nan n n!所以收斂半徑為 R 0即級(jí)數(shù)僅在x 0處收斂例4求哥級(jí)數(shù)儂 x2n的收斂半徑n o(n!)2解級(jí)數(shù)缺少奇次哥的項(xiàng)定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑哥級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為Un(x) 駕 x2n(n!)2因?yàn)閘im |nUn 1(X)Un(

27、X)I 4|x|2當(dāng)4X2 1即|x| 2時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)4|x|2 1即|x|、時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散所以收斂半徑為 R提示Un 1(x)Un(x)2(n 1)!Y2(n 1)x(n 1)!2(2n 2)(2n 1)(2n)!x2n (n!)2(n 1)2x2例5求哥級(jí)數(shù)（x/二的收斂域n 1 2nn解令t x 1上述級(jí)數(shù)變?yōu)閠nn 12nn因?yàn)閘im 1aLn 1 a 一2n n2n 1 (n 1)所以收斂半徑R 21當(dāng)t 2時(shí)級(jí)數(shù)成為 1此級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)tn 1nn ， 二的收斂域?yàn)閚 12nn2時(shí)級(jí)數(shù)成為 此級(jí)數(shù)收斂 因此級(jí)數(shù)n 1 n2 t 2因?yàn)? x 1 2即1 x 3所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?, 3）

28、三、騫級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)備級(jí)數(shù)anxn及 bnxn分別在區(qū)間（R,2及（R, R）內(nèi)收斂 則在（R,2與（R, R）中較n 0n 0小的區(qū)間內(nèi)有加法anxnbnxn（an bn）xnn 0n 0n 0減法anxnbnxn（an bn）xnn 0n 0n 0設(shè)備級(jí)數(shù)匯anxn及匯bnxn分別在區(qū)間（R,2及（R, R）內(nèi)收斂 則在（R,叩與（R, R）中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法 匯 anxn m bnxn m(an bn)xn 減法 E anxn E bnxn E (an bn)xn乘法(anxn) (biXn)aobo (aobi ai bo)x (aob2 aibi a2bo)x2n 0n 0(aob

29、n aibn ianbo)xn性質(zhì)i哥級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)n 0如果哥級(jí)數(shù)在x R (或xR)也收斂則和函數(shù)s(x)在(R R(或R, R)連續(xù)性質(zhì)2哥級(jí)數(shù)4xn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積并且有逐項(xiàng)積分公式n 0；s(x)dx ；(anxn)dx:anxndxanjxn i (x I )00 n 0n0on0ni逐項(xiàng)積分后所得到的哥級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3哥級(jí)數(shù)4xn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(RR)內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式n 0s(x) (anxn)(anxn)nanxni(|x|R)n 0n 0n i逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的哥級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂

30、半徑例6求哥級(jí)數(shù)xn的和函數(shù)n 0n i解求得哥級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1)設(shè)和函數(shù)為s(x)即s(x) -xn x i i)顯然s(0) i n 0n i在xs(x)-xnI的兩邊求導(dǎo)得n 0n ixs(x)(- xn i)xnn 0 n i n 0 i x對(duì)上式從0到x積分得x ixs(x) dx ln(i x) 0 i x于是當(dāng)x 0時(shí)有s(x)i-ln(i x)從而 s(x) x11n(i x) 0 |x| iX i x 0因?yàn)?xs(x) i xn i n 0n ix.0i0n ixn idx0 *dx 0dxn 01 Xln(1 x)所以當(dāng)x 0時(shí)有s(x) -ln(1 x) xx) 0

31、|x| 1x 01從而 s(x) xln(11(1)n -例7求級(jí)數(shù) 一的和n 0 n 11 c解考慮帚級(jí)數(shù)-xn此級(jí)數(shù)在1,1)上收斂 設(shè)其和n 0n 1函數(shù)為s(x)則s( 1)(1)nn 0n 11( 1)n , 1在例 6 中已得到 xs(x) ln(1 x)于是 s( 1) ln2 s( 1) ln即-ln 2 n 0 n 12114函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)要解決的問題 給定函數(shù)f(x)要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成哥級(jí)數(shù)”就是說 是否能找到這樣一個(gè)哥級(jí)數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收斂且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)如果能找到這樣的哥級(jí)數(shù) 我們就說 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成哥級(jí)數(shù)或簡

32、單地說函數(shù)f(x)能展開成哥級(jí)數(shù)而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)泰勒多項(xiàng)式 如果f(x)在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于f (x) f (x0)f (x0)(x x0)f 2：0) (x x0)2fnnxx x0)n Rn(x)f (n 1)( )其中(刈-l(x x)n 1(介于x與x0之間)(n 1)!泰勒級(jí)數(shù) 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)f (x) f (n)(x) 則當(dāng)n 時(shí)f(x)在點(diǎn)X0的泰勒多項(xiàng)式f (Xc)c f(n)(X)Pn(X)f (X0)f (X0)(X X0)T-(X X0)2(X X0)2!n!成為哥級(jí)數(shù)f(X

33、0)f(X0)(XX0)f4(XX0)2f(XX0)3f()(X0)(XX0)n2!3!n!這一哥級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(X)的泰勒級(jí)數(shù)顯然當(dāng)X X0時(shí)f(X)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(X0)需回答的問題 除了 X X0外f(X)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂它是否一定收斂于f(X)?定理設(shè)函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0的某一鄰域U(X0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則f(X)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(X)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(X)當(dāng)n 0時(shí)的極限為零即lim Rn(X) 0 (X U (X0) n證明先證必要性設(shè)f(X)在U(X0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)即f (Xc) cf(n)(Xc)f (X) f (X0)f

34、 (X0)(X X0) (X X0)2-(X X0)2!n!又設(shè)Sn i(x)是f(X)的泰勒級(jí)數(shù)的前 n 1項(xiàng)的和 則在U(X0)內(nèi)sn i(x) f(X)(n )而 f(X)的 n 階泰勒公式可寫成f(X) Sn 1(X) Rn(X)于是 Rn(X) f(X) Sn i(x) 0(n)再證充分性設(shè)Rn(x) 0(n)對(duì)一切x U(X0)成立因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x) Sn 1(X) Rn(x)于是Sn l(x) f(x) Rn(x) f(x)即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(X0)內(nèi)收斂并且收斂于f(x)麥克勞林級(jí)數(shù)在泰勒級(jí)數(shù)中取X0 0得f(0) f(0)X 9x2百Xn2!n!此

35、級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式的唯一性如果f(x)能展開成X的哥級(jí)數(shù)那么這種展式是唯一的它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致 這是因?yàn)槿绻鹒(x)在點(diǎn)X0 0的某鄰域(RR)內(nèi)能展開成x的哥級(jí)數(shù) 即f(x) a0 aix a2X2anxn那么根據(jù)哥級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)有f (x) ai 2a2x 3a3x2nanxn 1f (x) 2!a2 3 2a3xn (n 1)anxn 2f(n)(x) n!an (n 1)n(n 1) 2an ix于是得, f (0)f(n)(0)a0 f(0) ai f (0) a2an2!n!應(yīng)注意的問題 如果f(x)能展開成x的哥級(jí)數(shù) 那么這個(gè)哥級(jí)數(shù)

36、就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)但是反過來如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0 0的某鄰域內(nèi)收斂 它卻不一定收斂于 f(x)因此如果f(x)在點(diǎn)x0 0處具有各階導(dǎo)數(shù) 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察二、函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù)展開步驟第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù)f(x)f (x)f(n)(x)第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x 0處的值f(0) f (0) f (0)f(n)( 0)第三步寫出嘉級(jí)數(shù)f(0) f(0)x 110)x29xn2!n!并求出收斂半徑R第四步考察在區(qū)間(RR)內(nèi)時(shí)是否Rn(x) 0(n)lim Rn(x) lim

37、 nnf(n1)( )/1 x(n1)!是否為零 如果Rn(x) 0(n)則f(x)在(RR)內(nèi)有展開式f(x) f(0) f (0)x fx2fnxn( R x R)2!n!解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為例1將函數(shù)f(x) ex展開成x的哥級(jí)數(shù)f(x) ex(n 1 2 )因此f (n)(0) 1(n 1 2 )于是得級(jí)數(shù)x x22!n!它的收斂半徑R對(duì)于任何有限的數(shù) x、(介于0與x之間)有出1(nV 1n 1elxl JX|(n 1)!而limn(n1)!所以nlim|Rn(x)| 0從而有展開式ex 11x2 2!例2將函數(shù)f(x)sin x展開成x的哥級(jí)數(shù)解因?yàn)?f(n)(x) sin(xn

38、 -2)(n 1所以f(0)順序循環(huán)地取x3 x5x至百(1)n0 1 0 1(n1 x2n 1(2n 1)!3 )于是得級(jí)數(shù)它的收斂半徑為對(duì)于任何有限的數(shù)x、(介于。與x之間)有sinIRn(x)l | 一(n 1)2(n 1)!Ixn11 Ml1 (n 1)!0 (n因此得展開式sin xx33!x55!1)n1 x2n 1(2n 1)!ex 1lx2!x例3將函數(shù)f(x) (1n!x)m展開成x的哥級(jí)數(shù)其中m為任意常數(shù)解f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為f (x) m(1 x)m 1f (x)m 2m(m 1)(1 x)f(n)(x)m(m 1)(m 2) (m n 1)(1 x)m n所以 f(0)

39、 1 f(0) m f (0) m(m 1)f(n)(0) m(m 1)(m 2) (m n 1)于是得哥級(jí)數(shù)m(m 1) 21 mxx22!m(m 1) (m n 1) n xn!可以證明(1 x)m 1 mxm(m2!1)x2m(m 1) (m n 1) n xn!(1x1)間接展開法例4將函數(shù)f(x)cos x展開成x的哥級(jí)數(shù)解已知-x3sin x x - 3!x55!1)n2n 11 x(2n 1)!對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得24cosx 1 2!4!1)n2n x 麗例5將函數(shù)f(x)11 x2展開成x的哥級(jí)數(shù)解因?yàn)?1x2xn( 1 x1)把x換成x2得(1)nx2n(1x1)注收斂半徑的確

40、定1x2 1 得 1 x 1例6將函數(shù)f(x) ln(1x)展開成x的哥級(jí)數(shù)解因?yàn)閒 (x) 上1 x而。是收斂的等比級(jí)數(shù)1 x(1)nxn ( 1 x01)的和函數(shù)1 x x2 x3 1 x1)nxn所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分ln(1 x) xX2 xi X4234n 11)n n 1(1x1)x解 f(x) ln(1 x) 0ln(1dxx 1刈dx 0rxn 10( 1)nxndx ( 1)叱(1x1)0 n 0n 0 n 1上述展開式對(duì)x 1也成立這是因?yàn)樯鲜接叶说母缂?jí)數(shù)當(dāng)x 1時(shí)收斂 而ln(1 x)在x 1處有定義且連續(xù)例7將函數(shù)f(x) sin x展開成(x )的哥級(jí)數(shù)解因?yàn)?s

41、inx sin 4 (x 4) cos(x 4) sin(x并且有cos(x 4)1 ?x 4)2 sin(x -) (x 4) (xZ)3i(x所以sin x 字1例8將函數(shù)f (x)(x 7) 14)2-)3(x2 4x 3展開成(x 1)的哥級(jí)數(shù)111 x 144解因?yàn)閒(x) x2 4x 3(x 1)(x 3) 2(1 x)12(3 x)1( 1)n(x 1)n 1( 1)n(x 1)n4n 0( )2n 8n 0( )4n11nJ1)* 產(chǎn))(x 1)n(1 x 3)提示 1 x 2 (x 1) 2(1 21) 3 x 4 (x 1) 4(1 寸)1 x J1)n(1n (x 1)n

42、14n (1)1)收斂域的確定由x 1221 X J展開式小結(jié)x x2xnx 1)ex 1sin x1 22!xx31 n xn!cosxx55!x41)nx2n 1 x2!4!1)n(2n2nx(2n)!1)!ln(1 x)x22x3x47n 11)n n 11)(1 x)mmxm(m21)x2m(m 1)(m n!1) xn(1x1)11函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計(jì)算例1計(jì)算V240的近似值 要求誤差不超過0 0001解因?yàn)?5/240 5/243 3 3(1 4)1/534所以在二項(xiàng)展開式中取m 1 x 即得5341 4 1 14 9 1這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快52 2! 3853 3 3

43、12取前兩項(xiàng)的和作為51240的近似值其誤差（也叫做截?cái)嗾`差）為|引4 1萬381 49 1533!鏟14 914 1)54 4!好 )381181225 3811781125 27 40120000于是取近似式為5240 3(1為了使“四舍五入”引起的誤差5 34）（叫做舍入誤差）與截?cái)嗾`差之和不超過10 4計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)然后四舍五入因此最后得5 240 2.9926例2計(jì)算ln 2的近似值要求誤差不超過 0 0001解在上節(jié)例5中令x 1可得(1)n 11 n如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值其誤差為|rn|為了保證誤差不超過10 4就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算

44、量太大了 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來代替它把展開式ln(1x) xx2 x3 x4n 1(1)nRx 1)中的x換成ln(1x)x2 x 一2x33x44(1 x1)兩式相減得到不含有偶次哥的展開式ln(1 x) ln(1x)2(x 3x35x5)(1 x 1)12解出x -31x 1代入最后一個(gè)展開式 31n2 2(1133如果取前四項(xiàng)作為11115 35 7 37ln2的近似值則誤差為1 11|r4| 2(9 3911 31113 3133211 9(9)214 39700000 ,2131111_9于是取ln2111工3 33 5 35同樣地考慮到舍入誤差計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)10.3333

45、3 1-10.01235 1-10.00082 1-10.000073333535737因此得ln 2 0 6931例3利用 sinx x 1x3求sin9的近似值 并估計(jì)誤差 3解首先把角度化成弧度9 - 9(弧度)或(弧度)180203從而 sin 20 20 3! 20其次估計(jì)這個(gè)近似值的精確度在sin x的哥級(jí)數(shù)展開式中令x五得sin20 20 3! 205! 201 7! 20等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少取它的前兩項(xiàng)之和作為sin20的近似值起誤差為5115|r2| 1 (0.2)51 1 5! 20 1201300000因此取200.157080200.003

46、876于是得 sin9 0 15643這時(shí)誤差不超過10 5例4計(jì)算定積分2=V12e0x2dx的近似值 要求誤差不超過 0 0001 （取 上 0.56419）解 將ex的哥級(jí)數(shù)展開式中的x換成x2得到被積函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開式x2( x2)e x 1 -1!(x2)22!(x2)33!2n(1)n，( n 0n!).根據(jù)哥級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積x2 dx1 122、0n2n1)n-dxn!(1)nn!1 02x2ndx1 02e122 3124 5 2!26 7 3).前四項(xiàng)的和作為近似值其誤差為13V28 9 4!190000所以12e0X2dxr(1 人1_4_2 5 2!126 7 3

47、!0.5205例5計(jì)算積分1sinx .dx 0 x的近似值要求誤差不超過0 0001解由于lim snx 1因此所給積分不是反常積分如果定義被積函數(shù)在 x 0處的值為1則它x 0 x在積分區(qū)間0 1上連續(xù).展開被積函數(shù)有sinxix2x4x6zx-13TIT7!(在區(qū)間0 1上逐項(xiàng)積分得1皿dx 1 .0 x 3 3! 5 5! 7 7!因?yàn)榈谒捻?xiàng)117 7! 30000所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值sjnxdx 1 J-，0.94610 x 33! 55!、歐拉公式 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(U1 iV1)(U2 iV2)(Un ivn)其中Un vn(n 1 2 3)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù)U1 U2Un收斂于和U并且虛部所成的級(jí)數(shù)V1 V2vn收斂于和v就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u iv絕對(duì)收斂如果級(jí) (un ivn)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)Ju2 v2收斂n 1n 1則稱級(jí)數(shù)(un ivn)