高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義及表示方法專項(xiàng)講解及練習(xí)

1、專題 函數(shù)定義及表示方法考點(diǎn)精要1了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用4理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義熱點(diǎn)分析主要考查簡(jiǎn)單函數(shù)的定義值、值域、表示方法及影射的概念知識(shí)梳理1.函數(shù)：設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì) A中的任意數(shù)x,按照確定的法 則 f ， 都有唯一確定的數(shù)y 與它對(duì)應(yīng)， 則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A 上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f (x), xCA,其中x叫做自變量，自變量取值的范圍(數(shù)集 A)叫做

2、這 個(gè)函數(shù)的定義域如果自變量取值a,則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作 y=f (a)或 y|x=a所有函數(shù)值構(gòu)成的集合 y|y f(x),x A 叫做這個(gè)函數(shù)的值域2函數(shù)兩要素：因?yàn)楹瘮?shù)的值域被函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定，所以確 定一個(gè)函數(shù)就只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則3映射：設(shè)A ， B 是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)A 中的任意一個(gè)元素x ，在B 中有且僅有一個(gè)元素y 與 x 對(duì)應(yīng)，則稱f 是集合 A 到集合 B的映射這時(shí)，稱y 是 x 在映射 f 的作用下的象，記作f (x),于是y=f (x), x稱作y的原象.映射f也可以記為f: A-B, x-

3、f (x), 其中A叫做映射f的定義域(函數(shù)定義域的推廣)，由所有象f (x)構(gòu)成的集合 叫做映射 f 的值域，通常記作f ( A ) 4 一一映射：如果映射f 是集合 A 到集合 B 的映射， 并且對(duì)于集合B 中的任意一個(gè)元素，在集合A 中都有且只有一個(gè)原象，這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)集合的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并把這個(gè)映射叫做從集合A 到集合 B 的一一映射5函數(shù)與映射：對(duì)定義域內(nèi)每個(gè)自變量的值，根據(jù)確定的法則對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值，函數(shù)值也在一個(gè)數(shù)集內(nèi)變化于是函數(shù)也就是數(shù)集到數(shù)集的映射映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射這里要注意：在映射中，要求元素的對(duì)應(yīng)形式是 “多對(duì)一 ”或 “一對(duì)一 ”

4、，一一映射中元素的對(duì)應(yīng)形式必須是 “一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ” 6函數(shù)的表示方法：表示函數(shù)常用的方法有列表法、解析法和圖象法三種列表法：通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法圖象法：對(duì)于函數(shù)y=f (x) (xCA)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都有唯一的y 值與它對(duì)應(yīng).把這兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x, y)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，即P(x, y),則所有這些點(diǎn)的集合F叫做函數(shù)y=f (x)的圖象，即F P(x,y)|y f(x),x A 這就是說(shuō)， 如果 F 是函數(shù) y=f( x) 的圖像， 則圖像上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)( x, y)都滿足函數(shù)關(guān)系y=f (x)；反之,滿足函數(shù)關(guān)系y=f (x)的

5、點(diǎn)(x, y)都在圖象F 上這種用 “圖形 ” 表示函數(shù)的方法叫做圖象法解析法：如果在函數(shù)y=f (x) ( xCA)中，f (x)是用代數(shù)式(或解析式) 來(lái)表達(dá)的，則這種表示函數(shù)的方法叫做解析法(也稱為公式法) 7分段函數(shù)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x 的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)，如 y x , x 0,1 ； y=|x|； y=|x 1|2 x, x 1,28求函數(shù)定義域：確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素，就是定義域和函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則 f ，定義域是自變量x 的取值范圍，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究一個(gè)函數(shù)，首先要確定它的定義域，即 “主角 ” 自變量的

6、“活動(dòng)舞臺(tái) ” 在中學(xué)階段，所研究的函數(shù)大都是能用解析式表示的，如果未加特殊說(shuō)明，函數(shù)的定義域就是指能使函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x 的集合，在實(shí)際問(wèn)題中，還必須考慮x 所代表的具體量的允許范圍求函數(shù)的定義域，一般要遵循以下幾條原則：(1)若f (x)為整式，則函數(shù)的定義域?yàn)?R.(2)若f (x)為分式，則要求分母不為 0.(3)若f (x)為對(duì)數(shù)形式，則要求真數(shù)大于 0.(4)若f (x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式即偶次根式，則要求被開(kāi)方式非負(fù).止匕外，函數(shù)解析式涉及零指數(shù)幕或負(fù)指數(shù)幕時(shí)，注意底數(shù)(式)不能為 0; 涉及到分?jǐn)?shù)指數(shù)幕時(shí)，注意底數(shù)大于 0;如果函數(shù)f (x)是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子經(jīng)由 求

7、和、差、積、商構(gòu)成的，則其定義域是使每個(gè)式子都有意義的實(shí)數(shù)集合，實(shí) 際上是一個(gè)不等式組的解集合.例題精講例 1. (1)函數(shù)f(x) -2x= lg(3x 1)的定義域是 1 x(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1, 1,求f(log2x)的定義域.(3)一一2x x2函數(shù)f(x) (3 2x)0的定義域是(lg(2x 1)變式題：已知函數(shù)f (x)=；3x 1的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍ax ax 3是()1B. 12<a00C. 12<a<0D. a0 -3例2.求函數(shù)的解析式(1) 已知 f (x)是二次函數(shù)，且滿足 f (x+1) + f (x 1) =2x2

8、4x,求 f (x).練習(xí)：已知f(x)是一次函數(shù)，且f(x 1) f(x 1) 2x 3,則f(x)1(2)已知 f(x)酒足 2f(x) f(-) 3x,求 f(x)。 x練習(xí)：已知 f(x) 2f( x) 3x 2,則 f (x) 1 c 1(3)已知 f(x -) x3 F，求 f (x)； x x練習(xí)：已知 f (x 1) x2 2x 3,則 f (x) 2(4)已知 f ( 1) 1g x ,求 f (x); x練習(xí)：已知 f(3x 1) 9x2 6x 5,則 f(x) 例3求下列函數(shù)的值域(1) f(x)= x2 2x3,x 2, 4(2) f(x)= x2 2x3,x 3, 4

9、(3) f (x) = sin2x 2sinx 3, x R2_x2 2x(4) y 2 (復(fù)合函數(shù))(5) y x 471 x ；(注：總結(jié)y ax b 疝d型值域，)y x 1 x2(6) y3x 1；x 2 y |x 1| |x 4|；(8) y2x2 x 2x2 x 1(9) y22x x2x 11(x2)；/ .、1 sin x一、 lx 2 占力士(10) y o f (x) 的值域?yàn)? cosx3 2|x|針對(duì)訓(xùn)練1 .設(shè)A, B都是正整數(shù)集N*,映射f: A-B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,則在映射f下，象20的原象是A. 2B. 3C. 4D. 52,下列各組函數(shù)中

10、表示相同函數(shù)的一組是A . f (x) Vx2, g(x) 10g 2 2xx2 4C. f (x) , g(x) x 2x 22B. f (x) lgx , g(x) 2lg xD. f (x) x3, g(t) t33.函數(shù)y=f (x)的圖像與直線x=a ( a R)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A. 0B. 1C. 0或 1D.可多于14.函數(shù)f (x)示x Jx的定義域?yàn)锳. x|x 1B. x|x 0C. x| x 1或xD.x |0 x5.函數(shù)y-2x 3x 4的定義域?yàn)锳. 4, 1 (0, 1B.4, 0)C.(0, 1D.4, 0)6.函數(shù)y lg 1的定義域是A. x|x<0 x&g

11、t;1B.x|x>1C. x|0<x<1x|x<07.f (x)的解析式可取為8.9.y=0.3x的值域?yàn)锳. (0,)A.1,1B.B.B.10.若f(x)A.11.設(shè)f(x)x 12e10g 3(xA.2x1 x2C.2x2 xD.2x1 x21,C.,1D.0,1(1,1C.1,1)D.(1, 1)則方程f (4x) = x的根是B.C.D.1)B.2 ,則f (f (2)的值為2C. 2D.12.定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f(x)log 2(4 x)f (x 1) f(x2)答案例11,13例 2 f (x) = x2 2x 1例 3 (1) y 3,5 (

12、2) y 4,12 (3)A.1B. 2C. 1D. 213.用 mina, b, c表示 a, b, c三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè) f (x) =min22 18.已知函數(shù)f(x) x 2x a，若當(dāng)x 1, 時(shí)f(x) >0恒成立，求a的取值 范圍., x+2, 10 x (x 0x>0),則f (x)的最大值為A. 4B. 5C. 6D. 714,設(shè)函數(shù)f(x) x2 4x 6 (x 0),則不等式f (x) > f (1)的解集是x 6 (x 0)A. ( 3,1)U(3,) B. ( 3,1) U(2,) C.(1,1) U(3,)D. (, 3)U(1,3)15 .已知

13、函數(shù) f(x) x2 |x 2|,則 f (1) =.一一3xx116 .已知函數(shù)f(x) 3x1,若 f (x) =2,貝Ux =x x 14x 4 x 1 .17.函數(shù)f(x)2的圖像和函數(shù)g (x) = log2x的圖像的父點(diǎn)個(gè)數(shù)是x 4x 3, x 1y 4,0 (4) y 0,2針對(duì)訓(xùn)練1. C 2. D13. C 14.3. C 4. DA 15. 25. D 6. D 7. C 8. D9. C 10. A 11. C 12. B16. log3217. 318. a> 3高考鏈接模擬實(shí)戰(zhàn)（11北京理）如果log12log 1 y20,那么A、(A) y x 1(B)x（1

14、1北京文）已知函數(shù)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)06全國(guó)文）B、(C)1(D)1 y x4 （05北京文）函數(shù)f(x)2, x(x31) ,x2若關(guān)于2x的方程f （x） =k有兩個(gè)k的取值范圍是,1知 f(x2f(x)C、3x5（09北京文）已知函數(shù)f（x） 3 , x,1)2xD、的定義域?yàn)?, 若 f(x)1,6 （08全國(guó)）圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為Ay3|x21 |(0< x< 2)_3 3 ,B. y |x 1 | (00x&2)2 22,則x3 ,，一 一C.y 3 |x 11 (0< x< 2)D.y 1 |x 11 (0< x< 2)7 (2009北京文)已知函數(shù)f(x)3 , x 若 f(x) 2 ,則 x x, x 1,(2009北京理)若函數(shù) f(x),1.x(，x 03則不等式|f(x)|1八1的解集為38.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=5,則1，、，-,則實(shí)數(shù)2給出下列四個(gè)命題：方程fg(x) 0有且僅有6個(gè)根方程ff(x) 0有且僅有5個(gè)根其中正確的命題是方程gf(x) 0有且僅有3個(gè)根方程gg(x) 0有且僅有4個(gè)根.(將所有正確的命題序號(hào)填在橫線上)答案：1D