高中數(shù)學(xué)常用公式大全

1、高中數(shù)學(xué)常用公式大全1 .元素與集合的關(guān)系x A x CUA,x CUAx A.2 .德摩根公式Cu(AI B) Cu AUCuB;Cu(AU B) CU AI CU B .3 .集合a1,a2,L ,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n - 1個；非空子集有2n - 1個；非空的真子集有2n-2個.4 .二次函數(shù)的解析式的三種形式一般式 f(x)ax2 bx c(a 0)；2(2)頂點式 f (x) a(x h) k(a 0)；(3)零點式 f(x) a(x x1)(x x2)(a 0).5 .方程f(x) 0在(k1, k2)上有且只有一個實根，與f(k1)f(k2) 0不等價，前者是后

2、者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程ax2bx c0(a 0)有且只有一個實根在(K*2)內(nèi),等價于f(k1)f(k2) 0,或 f(K) 0 且 Kb k1k 2k1k2b，或f (k2)0且 k2.2a 22 2a6.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f (x)2ax bx c(a0)在閉區(qū)間 p,q上的最值只能在 xb2a處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(可畫圖解決問題)當(dāng) a>0 時，若 x p,q ,則 f(x)min 2abx p,q , f(x)max max f(p), f (q) 2a. . b一(2)當(dāng) a<0 時，右 x p,q ,則 f(x)min2af

3、 ( =),f(x)max max f(p), f(q)； 2a，f (x)min min f(p), f(q).bmin f (p), f (q)，右 x p,q ,則2af (x)max max f(p), f(q) , f(x)minmin f(p), f (q)7.真值表Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假:真真:真假假假真假假8.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多個至少有兩個不K至少有n個至多后(n 1)個小于不小于至多后n個至少有(n 1)個對所有x, 成立存在某x , 不成立p或qp且q對任何x , 不成立存在某x , 成立p

4、且qp或 q10.充要條件(1)充分條件:p q ,則p是q充分條件.(2)必要條件：若p ,則p是q必要條件.(3)充要條件：若q,且q p,則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然 11.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)x1 x2 a,b,x1 x2那么(x1x2)f(x)f(x2)02(x)-垣豆0f (x)在 a,b 上是增函數(shù)；xi x2(xix2)f(xi)f(x2)0f(f(*)0f(x)在 a,b 上是減函數(shù).xi x2(2)設(shè)函數(shù)y f (x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x) 0,則f(x)為增函數(shù)；如果f (x) 0,則f (x)為減函數(shù).12 .如果函數(shù)f(

5、x)和g(x)都是減函數(shù) 則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)f(x) g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y f(uDu g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y fg(x)是增函數(shù).13 .奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).14 .兩個函數(shù)圖象的對稱性x 0(即y軸)對稱.y=x對稱。(1)函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f ( x)的圖象關(guān)于直線(2)同底的指數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線15.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)f(x)f (

6、x a),則f (x)的周期T=a ;整理范本16 .分?jǐn)?shù)指數(shù)哥m(1)a彳_1_n m、aa 0,m, n1).m(2) a %(a 0,m, n1).17 .根式的性質(zhì)(1) (n/a)n a.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，n/ana；當(dāng)n為偶數(shù)時,nan |a|a, a 0 a,a 018.有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)r s r s , a a a (a 0, r, s Q).(2) (ar)sars(a 0,r,s Q).(ab)r arbr(a 0,b 0, r Q).注：若a>0, p是一個無理數(shù)，則 ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)，對于無 理數(shù)指數(shù)哥都適用.19 .指數(shù)式與

7、對數(shù)式的互化式logaN babN (a 0,a 1,N0).20 .對數(shù)的換底公式log a N 10g m N (a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N0).0月m 1,n 1, N 0).logma推論 log mbn logab (a 0,且 a 1 ,m,n m21 .對數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a>0, aw 1, M>0, N>0,則(1)loga(MN) logaM logaN； M(2) log a log a M loga N ; N(3) loga M n nloga M (n R).22.數(shù)列的同項公式與前 n項的和的關(guān)系5, n 1ancsn sn

8、 1,n 2(數(shù)列an的前n項的和為sna1a2an ).23.等差數(shù)列的通項公式an a (n 1)d dn其前n項和公式為snn(aan)nain(n2a1%d(nd : n2/1小(ai -d)n.24.等比數(shù)列的通項公式 an詞1£qn(n N*)；其前n項的和公式為sne 1或、aanq,q1 qna1，q 1n2,q 125.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.22sin cos 1 , tan27 .正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：28 .和角與差角公式sin=,cos奇變偶不變，符號看象限。sin()sin cos cos sincos()cos cos msin sintan(tan

9、tan1 mtan tanasin bcos = .a2 b2sin（）b（輔助角所在象限由點（a,b）的象限決定，tan ）.a29 .二倍角公式sin 2 sin cos .c22c 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sintan 22 tan1 tan230 .三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y sin( x),x R 及函數(shù) y cos( X),xC R(A,為常數(shù)，且AW0,3>0）的周期函數(shù) y tan( x ) , x為常數(shù)，且AW0, 3>0）的周期T31 .正弦定理sin A sin B32 .余弦定理sin C2R.a2 b2 c2 2c cos A;2c2

10、 a2 2ca cosB ；c2a2 b2 2abcosC.33.面積定理1 ,1 . .1a、b、c邊上的高）(1) S -aha -bhb -chc (ha、兒、hc分別表不222“、一1,-1 ,. a 1. r(2) S absin C -bcsin A -casinB.34 .三角形內(nèi)角和定理在 ABC 中，有 A B C C (A B)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)35 .實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)入、科為實數(shù)，那么(1)結(jié)合律：入(舊)二(入刷(2)第一分配律：(H »a=啟+舊；(3)第二分配律：入(a+b尸啟+

11、b.36 .向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：a b= b a (交換律)；37 ) ( a) b=(a b)=a b= a ( b);38 ) (a+ b) c= a c + b -c.37 .平面向量基本定理如果修、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)灰、上，使得a= %e1+不e2.不共線白向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.38 .向量平行的坐標(biāo)表不設(shè) a=(x1,y1),b= (x2,y2)，且 b 0,則aPb(b0)x1y2x2yl0.39 . a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a - b=|a|b|cos 0 .40 . a b的幾何意

12、義數(shù)量積a,b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.41 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a=(x，y1),b= (x2, y?),則 a+b= (x1 x?,1 y).(2)設(shè) a=(x，y1)，b= 乂，y2),則 a-b=(x x2, y 幻.uur uur uuu設(shè)AM*), B%*),則 AB OB OA 乂 。丫2y)(4)設(shè) a=(x, y), R ,則 a= ( x, y).設(shè) a=(x1, y1) ,b= (x2, y2),則 a b= (x1x2 y/).42 .兩向量的夾角公式x % y1y2COS / 2222 (a=(x1, y)，b= (x2,y2)

13、.x1y1 、頭2 y243 .平面兩點間的距離公式uuuuuuuuudA,B=|AB| Jab ABJ(X2XT(y_yl)(A(Xi,yi), B(X2,y2).44 .向量的平行與垂直設(shè) a=(xi,yi) ,b=(X2, y2),且 b 0,則A|b b=后 x1y2 x2yl 0 .a b(a 0) a b=0x1x2 y1y2 0.45 .三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為 A(x1,y 1)、B(x2,y 2)、C(x3,y 3)，則4ABC的重心的坐標(biāo)是G(xx2x346 .三角形四“心”向量形式的充要條件設(shè)。為 ABC所在平面上一點，角 A,B,C所對邊長分別為

14、a,b,c,則(1)。為ABC的外心UUU2OAUUU2OBuuur2 OC .UUUuuu uuur r(2)。為ABC的重心OAOB OC 0.uuruuruuiruuuuiur uuu(3)。為ABC的垂心OAOB OBOC OC OAUUUuuuuiurr(4)。為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC 0.47.常用不等式:(1) a,b Ra2 b2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時取"=”號).(2) a,b Rab 而(當(dāng)且僅當(dāng)a= b時取"=”號).2(3) a3 b3 c3 3abc(a 0,b 0,c 0).(4) a b a b a b .48.均值定理已知x

15、,y都是正數(shù)，則有(1)若積xy是定值p ,則當(dāng)x y時和x y有最小值2jp ; 1 2 (2)若和x y是定值s,則當(dāng)x y時積xy有最大值s2.4bx c同同號兩根之49 .一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0),如果 a 與 ax2號，則其解集在兩根之外；如果 a與ax2 bx c異號，則其解集在兩根之間.簡言之: 外，異號兩根之間.x1 x x2(x x1)( x x2) 0( X x2);x x1,或x x2(x x1)(x x2) 0(x1 x2).50 .含有絕對值的不等式 當(dāng)a> 0時，有 22x axa22x axa51.指數(shù)不

16、等式與對數(shù)不等式 當(dāng)a 1時， af(x)ag(x)f(x) g(x)；f(x) 0 lOga f (x) lOga g(x) g(x) 0 f(x) g(x) (2)當(dāng) 0 a 1時， f (X) g (X) a a f (x) g(x);f (x) 0 lOga f (x) lOga g(x) g(x) 0 f(x) g(x)1.1. 斜率公式y(tǒng)2 y ,k 2-( PM»)、B(x2,y2). X2 X53 .直線的五種方程(1)點斜式 y yi k(x Xi)(直線l過點P(x1，y1)，且斜率為k).(2)斜截式 y kx b(b為直線l在y軸上的截距).y y1x x1(

17、3)兩點式 (yiy2)(R(x，yi)、P2(x2,y2)(x x2).y2 yiX2 xix y(4)截距式 y i(a b分別為直線的橫、縱截距，a、b 0)a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同日寸為0).54 .兩條直線的平行和垂直若 li : ykix bi,I2: yk?xb2 IJII2kik2,1bl b2；l2i.(2)若 hAxBiyCi0,l2：A2xB2y C20,且 Ai、A2、Bi、B2都不為零ABiCiLUL7二k；A2B2C2 l l2AiA2 BiB2 0;55 .四種常用直線系方程(i)定點直線系方程：經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方

18、程為y y k(x x°)(除直線x x0)，其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點F0(x0,y0)的直線系方程為 A(x x°) B(y y0) 0,其中A,B是待定的 系數(shù).(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線li: Aix Biy Ci 0 ,l2 : A2x B2y C2 0的交點的直線系方程為(Aix Biy Ci)(A2x B2y C2) 0(除I2),其中入是待定的系數(shù).(3)平行直線系方程：直線 y kx b中當(dāng)斜率k 一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線Ax By C 0平行的直線系方程是 Ax By 0(0),入是參變量.(4)垂直直線系方程：與直線 Ax B

19、y C 0 (Aw0, BW0)垂直的直線系方程是 Bx Ay 0, 入是參變量.56 .點到直線的距離|Ax0 By0 C Id-0%點 P(x°, y°),直線 l ： Ax By C 0 ).1. B257. Ax By C 0或 0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l: Ax By C 0,則Ax By C 0或 0所表示的平面區(qū)域是：若B0,當(dāng)B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與AxByC異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.若B0,當(dāng)A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之，同

20、號在右，異號在左.58. (Ax By Ci)(A2x B2y C2) 0或0所表示的平面區(qū)域0),則設(shè)曲線 C:(AxBy Ci)(A2XB2y C2)0 ( AA2B1B2(AxB1yC1)(A2xB2yC2)(AxB1yC1)(A2xB2yC2)(AxB1yC1)(A2xB2yC2)59.圓的四種方程2(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a) (y0或0所表示的平面區(qū)域是：0所表示的平面區(qū)域上下兩部分;0所表示的平面區(qū)域上下兩部分22b) r .(2)圓的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F >0)60.點與圓的位置關(guān)系2. 22點P(X0, y°)與圓(x a)

21、 (y b) r的位置關(guān)系有三種若 d .,(a %)2 (b %)2,則d r 點P在圓外；d r 點P在圓上；dr 點P在圓內(nèi).61 .直線與圓的位置關(guān)系r2的位置關(guān)系有三種直線 Ax By C 0與圓(x a)2 (y b)2 d r 相離 0;d r 相切 0;d r 相交 0.其中dAa Bb C A2B262 .兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為。1,。2,半徑分別為ri,2, 。1。2ddr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線r1r2d r1 r2相交2條公切線dr1r2內(nèi)切1條公切線；0 dri r2內(nèi)含無公切線.63 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)22b 0)的

22、內(nèi)部 組與1.a b64 .橢圓的的內(nèi)外部22(1)點 P(x0,y°)在橢圓 將 一 1(a a b(2)點P(x0,y°)在橢圓2x2ab21(a0)的外部2 x02a65 .雙曲線的內(nèi)外部2 x 點P(x0,y0)在雙曲線 a2y1(a 0,b 0)的內(nèi)部2 包 2 a2 左 b11.2. , x(2)點P(x0,y0)在雙曲線-2 a2 y b21(a 0,b 0)的外部2 x0ayt2b21.66 .雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2 x (1)若雙曲線方程為-2 a2L 1 b2漸近線方程:2 y_ b2(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為2 x -2 a2 y b2

23、2(3)若雙曲線與與a2 y_ b21有公共漸近線，可設(shè)為2 y_ b2(0 ,焦點在x軸上,0 ,焦點在y軸上)67.拋物線y22 px的焦半徑公式拋物線y22 px( p 0)焦半徑CFX0過焦點弦長CDppxx222xix2p.268.拋物線y2 Px上的動點可設(shè)為2p(,y )或 P(2pt2,2pt)或 2pP(xo, y。)，其中 y。2pxo.69.拋物線的內(nèi)外部2_ 2_一點P(x0,y°)在拋物線y 2 px( p 0)的內(nèi)部 y 2 px( p 0).22點 P(x0,y°)在拋物線 y2 2px(p 0)的外部y2 2px(p 0).(2)點P(x0,

24、y°)在拋物線y22 px( p 0)的內(nèi)部2 px(p 0).2點P(x0, y°)在拋物線y2px(p 0)的外部2 px(p 0).點P(x0,y°)在拋物線x22py(p 0)的內(nèi)部2py(p 0).2x 2py(p 0).2點P(x0, y°)在拋物線x 2py(p 0)的外部(4)點 P(x0,y°)在拋物線 x2 2py(p 0)的內(nèi)部x2 2py(p 0).2點P(x°, y°)在拋物線x22py(p20)的外部 x 2py( p 0).70.直線與圓錐曲線相交的弦長公式ABq(xiX2)2 (必y2)2 或

25、2'AB= d k x1 x2(弦端點 A (xi, yi), B(x2, y2),由方程kxF(x, y)b ,2c消去y得至ij ax bx c 0 , 00,為直(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)113.(1)(2)(3)(4)(5)線AB的傾斜角，k為直線的斜率)71 .證明直線與直線的平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;轉(zhuǎn)化為線面平行；轉(zhuǎn)化為線面垂直； 轉(zhuǎn)化為面面平行.72 .證明直線與平面的平行的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.73 .證明平面與平面平行的思考途徑(

26、1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.74 .證明直線與直線的垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為相交垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直；轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 .證明直線與平面垂直的思考途徑 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面； 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直75 .證明平面與平面的垂直的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.76 .空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a+ b=b + a.(2)

27、加法結(jié)合律：(a+ b) + c=a +(b + c).(3)數(shù)乘分配律：入(a+ b)= ?a+ Xb.77.共線向量定理對空間任意兩個向量P、A、B三點共線a、b(bw0),AP | ABa/ buur AP存在實數(shù)入使a= buuur tABuuirOPuuu uuu(1 t)OA tOB .AB|CDuuu uuuAB、CD共線且AB、CD不共線uur uuurAB tCD且AB、CD不共線.78 .球的半徑是R,貝U其體積V 4 R3, 3其表面積S 4 R2 .79 .柱體、錐體的體積1 _V柱體 -Sh ( S是枉體的底面積、h是枉體的局)1 _V錐體 Sh( S是錐體的底面積、h是錐體的tWj)80 .互斥事件A, B分別發(fā)生的概率的和P(A + B)=P(A) +P(B).81 .n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(Ai+A2+ An尸P(A"+P(A2)+ P(An).8