勾股定理幾種證明方法

1、勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）aaba 3bbbaaccbabba做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即2 1 b 4 ab2【證法2】4 ab整理得a2 b2二 c2（鄒元治證明）cccc以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積ab等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀， 使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C G D三點(diǎn)在一條直線上.v Rt HAE 坐 R

2、t EBF, / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的 正方形.它的面積等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98.又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于2 1（a+b 丫 =4 漢一ab+c2222 2. a b-c .【證法3】（趙爽證明）以a

3、、b為直角邊（b>a）,以c為斜B邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角1 ab三角形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 900.2 EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于 ba .%2ab+（ba）2"2a2 b2二 c2【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為

4、斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2 .把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、e、B三點(diǎn)在一條直線上v Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一個(gè)等腰直角三角形,c1 2c它的面積等于2.又 v / DAE = 90o,/ EBC = 90o, AD/ BC ABCD是 一個(gè)直角梯形，它的面積等于111_（a+b 丫 = 2H_ab+_c2 222 .f（a+bfa2 b2【證法5】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等

5、的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使 D E、F在一條直線上. 點(diǎn)P八、v D、E、F在一條直線上，且Rt GEF幻Rt EBD,a、b，斜邊長為c.把它 過C作AC的延長線交DF于/ EGF = / BED/ EGF + / GEF = 90°,/ BED + / GEF = 90°, / BEG =18(090o= 90o. 又T AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.G(a bH / ABC + / CBE = 90o.v Rt ABC 坐 Rt EBD, / ABC = / EBD/ EB

6、D + / CBE = 90o.即/ CBD= 9(0.又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a . BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則c2 =S 2 ab2a2 b2二 c2，斜邊長為 C三點(diǎn)在一條【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （b>a）c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、EJrNlbapb直線上.過點(diǎn)Q作QP/ BC交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BML PQ垂足為M；再過點(diǎn) F作FNL PQ垂足為N

7、v / BCA = 90o , QP/ BC / MPC = 90o ,v BM 丄 PQ / BMP = 90o, BCPM是一個(gè)矩形，即/ MBC = 90qv / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM : 又 v / BMP =/ ABC=90o,Z BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可證Rt QNF坐Rt AEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H C B三點(diǎn)

8、在一條直線上，連結(jié)GBF CD 過 C作 CL± DE 交AB于點(diǎn)M交DE于點(diǎn) L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = / GAD FAB 芻 GAD1 2av FAB的面積等于2, GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM勺面積二a2. 同理可證，矩形 MLEE的面積二b2.v正方形ADEB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB勺面積 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.【證法8】(楊作玫證明)做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b (b>a),斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作A

9、F丄AC AF交GT 于F, AF交DT于R.過B作BP丄AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為DaHP453cQ79 c 28 Rc 61 cE, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c , Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形, 所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,從而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt B

10、CA , Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA. 又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b a)用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖)，則以c為邊長的正方形的面積為2c-SiS2S3S4S5.S8 + S3 + S4=1 b 亠b 一

11、a 丨 a 亠b - a_ b2 一1 ab2 = 2 ,2S3S4 二 bab - Sg 2把代入，得2 2cSi S2 b Si2=b S2 S9 =2b - S8-S8S8S9b2 a2.S5 - S8' S9用數(shù)字表示/ BHT = 90o,qa2 b2 =c2【證法9(李銳證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b(b>a)，斜邊的長為c.做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A E、G三點(diǎn)在一條直線上面積的編號(hào)（如圖）.v / TBE = / ABH = 900, / TBH = / ABE又 v / BTH = / BEA = 900,BT

12、 = BE = b , Rt HBT 坐 Rt ABE HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 900, Rt HGF坐 Rt BDC 即 S7 =S2.過 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 900,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S S5.

13、由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR又v/ QMF = / ARC = 900, QM = AR = a, Rt QMF坐 Rt ARC 即 S S6.2 2 2c2= S1S2S3S4S5a2二 S1S6 b2二 S3 S,S8又vS7 = S2S8 = S5S4 = S6, , , a2 b2 =SiS6S3S,S8=S1S4S3S2S52 =c即 a2 +b2 =c2.【證法10】（利用反證法證明

14、）如圖，在Rt A ABC中，設(shè)直角邊AG BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過 點(diǎn)C作CDL AB垂足是D假設(shè)a2 bc2，即假設(shè) AC2 BCAB2，則由AB2 二 AB AB 二 AB AD BD =AB 4 AD AB * BD可知 AC2 式 ABAD，或者 BC2 式 ABBD.即 AD： AO AC AB 或者 BD： BO BC AB在 A ADC和 A ACB中,v / A = / A,若 AD: AO AC AB/ ADCZ ACB 在 A CDB和 A ACB中, v Z B = Z B,若 BD BC BC AB,則Z CDBZ ACB又v Z ACB = 90

15、o, Z AD字90o,Z CD字90o.這與作法CDLAB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假設(shè)不能成立. a2+b2=c2.【證法15】（辛卜松證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為2 2 2（a+b"a +b +2曲；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，貝卩正方形 ABCD勺面積為(a + b f =4 沃】ab +c22=2ab + c2.a2 b2 2ab =2ab c2 a2 +b2 =c2.使E、Bc5bACbac7E b D H

16、a Ma34cG2a【證法11】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（b>a），斜邊的長為c.做兩個(gè)邊長分別為 b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀， 示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA DC； 貝卩AD = c .v EM = EH + HM = b + a , ED = a DM = EM-ED = b a a = b .又v / CMD = 90o； CM = a, / AED = 90o, AE = b , Rt AED 坐 Rt DMC / EAD = / MDC DC = AD = c .v / ADE + / ADC+Z MDC =180,a、H、M三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表Z ADE + Z MDC =Z ADE + Z EAD = 90o,Z ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA則ABCD一個(gè)邊長為c的正方形.v Z BAF + Z FAD = Z DAE + Z FAD = 90o, Z BAF=/ DAE連結(jié)FB,在 ABF和 ADE中，v AB =AD =