2005年高考.湖南卷.理科數(shù)學試題精析詳解

1、2005 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(湖南理工農(nóng)醫(yī)類)試題精析詳解一、選擇題(5 分 10=50 分)1復數(shù) z= i + i2+ i3+ i4的值是()A - 1B 0C. 1D i評述:本題考查復數(shù)，復數(shù)的意義及其運算?！舅悸伏c撥】本題涉及利用復數(shù)的性質(zhì)進行復數(shù)的簡單計算【正確解答】z = i i2i3ii -i *1=0,選 B.【解后反思】對于復數(shù)的簡單計算，應緊扣復數(shù)的定義，在復數(shù)的較復雜運算中，要把復數(shù)運算和 三角函數(shù)結(jié)合在一起，可以適當化簡計算過程.2函數(shù) f(x) = d -2x的定義域是()A ( 8,0 B.0,+ )C. ( 8,0)D (-m,+m)評述:本題考

2、查函數(shù)的定義域，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等到知識點?！舅悸伏c撥】本題涉及是函數(shù)的定義域問題即函數(shù)存在的條件問題【正確解答】解法 1:由題意知，1 -2x_ 0，則x豈0.選 A解法 2:用特值法令X=0,得 A、B、D 再令x=1,去掉 B、D，可以輕易得到答案.選 A.【解后反思】函數(shù)的定義域的問題是高考數(shù)學的一個熱點，關(guān)于函數(shù)的定義域的常規(guī)問題有如下幾種情況分母不能為零 開偶次根的因式要大于或等于零，注意偶次根號下的因式是可以等于零(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于零，底數(shù)要大于零且不等于1(4)指數(shù)函數(shù)的底也要大于零且不等于1,如果碰到多種情況，應求它們的交集此外用特殊值法代入也是解決關(guān)于復雜的定義域的選

3、擇 題是一種比較好的方法.3已知數(shù)列l(wèi)og2(an 1) (n N )為等差數(shù)列，且 a1= 3, a2= 5,貝 Vrm(-)=()a?a1a2a - an31A 2B C 1D -22評析:本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式和求和公式及數(shù)列極限相關(guān)交匯知識?！舅悸伏c撥】本題是涉及到數(shù)列與極限的混和題，運用等差數(shù)列的性質(zhì)與公式來化簡，求出數(shù)列的一個關(guān)系式，最后利用無窮極限的運算性質(zhì)完成【解法 1 】由題意知，2log2(an-1) = log2(an.1 -1) log2(and-1)，得:(an-1)2= (an 1-1)-1)，得an-1是一個等比數(shù)列，得由等比數(shù)列無窮數(shù)列極限得：n

4、j：(111)=1.”a2a3 _a2an書Yn選 C.解法 2:由題意得：4222log2= log2log?2d，求得 d=1,則log2(an-1) = 1 (n1)1二n這個等式代入所要求的式子，進行初步化簡，最后再利用極限的運算法則，就可以得到正確的答案x - 2乞0,4.已知點 P (x, y)在不等式組y-1蘭0，表示的平面區(qū)域上運動，則z = x y 的取值范an-1=2，所以1nn 1-2 12 -1= 2n,即 an2n又由2n所以+- + . .+a3 _a2an 1 _an1 12(1PJ212n所以lim(-nT a2 a-ia3a21) =lim (1二)=1.故選

5、 c。an1ann=2n【解后反思】，解決此類問題，一般都要找出數(shù)列中前后項隱含的關(guān)當然，如果是等比數(shù)列和等差數(shù)列就更好啦,如果不是，就要求出它們之間存在的遞推關(guān)系，并將1an 1一an/ +2y 2色0圍是評述:本題考查了性規(guī)劃中最優(yōu)解問題，“由角點法”可求得目標函數(shù)的取值范圍。A . 2， 1 B . 2，1C. 1, 2D. 1，2【思路點撥】本題是涉及線性規(guī)劃的知識，精確作圖是本題目得到正確答案的保準【正確解答】已知不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示.z = x- y的取值范圍即為直線X - y = k的截距的范圍，所以所求的范圍為1 , 2,選 C.解法 2:由線性約束條件畫出可行域，

6、救出三個角點分別為(0, 1), (2, 1) (2, 0)代入目標函數(shù)救出z=x-y 的取值范圍為【解后反思】線性規(guī)劃是高中數(shù)學進行應用化的一種重要題型,也是工程材料最優(yōu)化的重要方法，近年來已逐漸成為高考數(shù)學的一個熱點，在多個省份的高考試卷中已把線性規(guī)劃作為大題出現(xiàn)必將成為以后高考要考查一個內(nèi)容請同學平時在做這類問題時，要多加注意，爭取得全分，線性規(guī)劃在做的過程中，要注意步驟(1)要將線性約束條件進行圖形化，畫出它的圖(2)畫出線性目標函數(shù)在最初狀態(tài)(3)然后將線性目標函數(shù)的原始直線，在線性約束圖在進行適當移動，根據(jù)題目要求，以及線性規(guī)劃的性質(zhì)可以求解，請同學們要注要線性規(guī)劃的一個小竅門約束

7、條件的交點處5.如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 1 , O 是底面，A1BQ1D1的中心，貝 U O 到平面 AB C1D1的距離為()評述:本題考查立體幾何中“點面距離”轉(zhuǎn)化為“線面距離”求解?！舅悸伏c撥】本題目涉及立體幾何的點面距離及正方體中線面角的若干關(guān)系【正確解答】分別取AB，A1B1，C1D1的中點E,F,G，則O到平面ABC1D1的距離為O到GE的解法 2:取 B1C1的中點 M,連 BQ 交 BC1于O,取OC的中點 N,連 MN ,則 MN _BC1又在正方體 ABCD-A1B1C1D1中 OM 平行于平面 ABC1D1。則 O 到平面 ABC1D1距離轉(zhuǎn)化為

8、 M 到平面 ABC1D1的距離，即 MN= ，故選 B。般來說最值往往在線性距離，所求距離選 B.【思路點撥】本題是涉及線性規(guī)劃的知識，精確作圖是本題目得到正確答案的保準4【解后反思】立體幾何有兩大問題：(1)求角(2)求邊即求長度或距離，無論是求哪一種情況都要往往把所要求先找出來，圖上沒有就要將之作出，然后證明它就是我們要求的，最后再通過種種方法 求出來6.設(shè)fo(x)= sinx,fl(x) = fo(X),f2(x) = fl(x),， fn+1(X)=fn(x) ,n N，則f2005(x)=()A . sinxB . sinxC. cosxD. cosx評述:本題考查了正余弦的導數(shù)

9、問題，及相關(guān)函數(shù)同期性變化及求值問題。【思路點撥】本題目涉及三角函數(shù)在導數(shù)作用下存在一種有規(guī)律的性質(zhì)，我們巧妙利用列舉法找出其中蘊含中的周期性【正確解答】f0(x) = sinx, fj(x) = f0(x) = cosx, f2(x) = f(x) = sinxf3(x)二f2(x)二-cosx, f4(x)二f3(x)二sin x, 由此繼續(xù)求導下去，四個一循環(huán)，.fn(X)的周期為 4又 20054 = 501 余 1,所以 f2005(x) = f/(x) = -sinx.故選B.【解后反思】我們在解決一些比較龐大的數(shù)學問題或項數(shù)比較多的時候，大部分同學可能也意識 到其中可能存在周期性

10、或其他規(guī)律性的東西 .可以總是找不出，或沒有頭緒，這個時候我們不能怕 麻煩，就用列舉法，多寫幾項，就可以把握住這種類型的題目.2 27.已知雙曲線 務(wù)每=1 (a0, b0)的右焦點為 F,右準線與一條漸近線交于點A , a ba2OAF 的面積為(O 為原點)，則兩條漸近線的夾角為()2A . 30oB . 45oC. 60oD. 90o評析:本題考查雙曲線中焦距，準線方程，漸進線方程，三角形面積，漸進線夾角等知識的綜合運用.【思路點撥】本題目涉及的是雙曲線的相關(guān)參數(shù)問題【正確解答】雙曲線2 22務(wù)-占=1(a 0,b 0)的焦點F(c,0),右準線方程x二色，漸近線a2b2cKy二一x設(shè)F

11、(c,0),a2 2aab1ababaz口A( ,),SOAFc，得a - b,cc2c22雙曲線的漸近線為y =x，兩條漸近線的夾角為90.選 D.【解后反思】對于這一類型的圓錐曲線題目，我們應多多記憶圓錐曲線定義及性質(zhì)，因為所有的這一切都是本題目的隱含條件，都是可以用的.關(guān)于求雙曲線的漸近線有一個小竅門，把等式的右邊的 1 變?yōu)?0,所求的方程就是雙曲線的漸近線方程x1&集合 A = x|v0, B = x | x-b|va，若“ a = 1” 是“ AnB豐的充分條件，x +1則 b 的取值范圍是（）A2Wbv0B.0vb2C.3vbv-1 D1,【解后反思】從近些年的立體幾何高

12、考題來看，挖掘其中的隱藏條件往往是解題的關(guān)鍵，譬如所求二面角的平面角有的就隱藏在圖形之中，這時就不要再作平面角了.一般來講，每個題的結(jié)論都隱藏在已知條件之中，因此拿來題后要對已知條件認真分析，抓住各條件彼此之間的聯(lián)系i8.（本小題滿分 i4 分）所以COST- cos： ： ：n,|n| | BOi|J3即二面角 O AC Oi的大小是arccos .4解法二（I）證明 由題設(shè)知 OA 丄 OOi, OB 丄 OOi,所以/ AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA 丄 OB.從而 AO 丄平面 OBCOi,OC 是 AC 在面 OBCOi內(nèi)的射影.因為tan . OOB=竺=3tan O

13、QC=OiC3，OOiOQ 3所以/ OOiB=60。，/ OiOC=30 ，從而 OC 丄 BOi由三垂線定理得 AC 丄 BOi.（II ）解 由（I） AC 丄 BOi, OCXBOi,知 BO平面 AOC.設(shè) OCnOiB=E，過點 E 作 EF 丄 AC 于 F,連結(jié) OiF （如圖 4）,則 EF 是 OiF 在平面 AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得 OiF 丄 AC.所以/ OiFE 是二面角 O AC Oi的平面角.由題設(shè)知 OA=3 , OOi=-.,3, OiC=i,所以O(shè)iA=OA2OOi2=2.3, AChjOiA2OiC2二、i3,從而OiFOiA OiC 3AC i3

14、又OiE=O：32所以sinOE二巫OiF4OiF即二面角 OAC Oi的大小是arcsZBO1= _n某城市有甲、乙、丙 3 個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4, 0.5, 0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)E表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.(I)求E的分布及數(shù)學期望；(H)記“函數(shù) f(x) = x2-3Ex+ 1 在區(qū)間2,+s )上單調(diào)遞增”為事件 A，求事件 A 的 概率【思路點撥】本題涉及數(shù)理統(tǒng)計中期望與概率的有關(guān)知識【正確解答】(I)分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件 Ai,A2,A3.

15、由已知Ai,A2, A3相互獨立，P(Ai) =0.4, P (A2)=0.5,P (A3) =0.6.客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0, 1, 2, 3.相應地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為 3, 2, 1, 0，所以的可能取值為 1, 3.P (=3) =P (A1 A2 A3) + P (AA2A)=P (A1) P (A2) P (A3) +P (A1)P(A2)P(A3)=2 X0.40.5E.6=0.24,P (=1 ) =1 - 0.24=0.76.E =100.76+3 0.24=1.48.39(n)解法一因為f(x) =(x )212,243所以函數(shù)f (x) =x2-3

16、x -1在區(qū)間一，：)上單調(diào)遞增，2要使f (x)在2,=)上單調(diào)遞增，當且僅當3b0）的左.右焦點為 Fl、F2,離心率為 e.直線a bl: y= ex+ a 與 x 軸.y 軸分別交于點 A、B, M 是直線 I 與橢圓 C 的一個公共點，P 是點 Fi關(guān) 于直線 I 的對稱點，設(shè)AM=入AB.2（I）證明：入=1e;（n）確定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形【思路點撥】本題涉及橢圓的相關(guān)系數(shù)與向量的問題【正確解答】（I）證法一：因為 A、B 分別是直線 I:y = ex a與 x 軸、 y 軸的交點，所以 A、Ay二 ex arIB 的坐標分別是（，0）,（0, a）.由xeb2所

17、以點 M 的坐標是（一 C,）.這一類題目要求學生生熟練掌握數(shù)a,2y2得 +丄=1 a2b2 l,x - -c,b2這里 c = Ja2+ b2.y ca b2a由AM =，AB得(- c ,) = ( , a).e aea解得墾=1證法二：因為B 分別是直線 I:y 軸的交點，所以 A、B 的坐標分a別是(-一,0),(0,a).設(shè) Me的坐標是（Xo，y。）,由AM AB得（X。X0= (九-1)ey0二a.因為點 M 在橢圓上，所以a2(T)2(.a)2即_e( a)-b2=1,所以存 廠 1.e 1 -e4 2 2 2e - 2(1 - )e (1 - )=0,解得e =1（n）解法

18、一：因為 PFI,所以/ PFIF2=90 + / BAFi為鈍角，要使 PFg 為等腰三角1形，必有 |PFI|=|FIF2|,即| PF1|=c.1|e(-c) 0 a | a - ec|設(shè)點 Fi到 I 的距離為 d，由| PR |= d =2Jl + e2J1+e21e2122得e.所以e ,于是=1 - e .d e233即當，時, PF1F2為等腰三角形3解法二：因為 PR 丄 I，所以/ PF1F2=90 + / BAF1為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形，必有 |PF1|=|F1F2|,e2- 3X0 = 2彳C,解得e!y 2(_e2)ay0_ e21【解后反思】本題是一道

19、解析幾何題， 這一類問題要抓緊題目中的隱含條件，將題目中的“交點”、“中點”等都要變成等式或不等式，結(jié)合向量的簡單運算，第一小問就解決，第二小問不但要深入討論題目，并且要結(jié)合結(jié)論，使研究具有方法性，一般來說，解決數(shù)學問題，我們既要從大題的條件 入手,建立各種等式又要從結(jié)論入手，樹立解題的一種方法性.20.（本小題滿分 14 分）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響 用 Xn表示某魚群在第 n 年年初的總量，n N*，且 X10.不考慮 其它因素，設(shè)在第 n 年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與 xn2成正比，這些比

20、例系數(shù)依次為正常數(shù) a, b, c.（I）求 Xn+1與 Xn的關(guān)系式;由門|=|市e212Ce21兩邊同時除以2 2(e -1)e21221二e 從而e =-3即當 PF1F2為等腰三角形設(shè)點 P 的坐標是（x0,y0）,(H)猜測：當且僅當 X1, a, b, c 滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明)(H)設(shè) a= 2, b = 1,為保證對任意 ( 0,2),都有 Xn0, n N*，則捕撈強度 b 的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論 【思路點撥】本題涉及數(shù)列的基礎(chǔ)知識和考查數(shù)學能力的題目【正確解答】(I)從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群的繁殖量為 axn，被捕

21、撈量為 bxn，死亡量為2 2CXn,因此 Xn 1-Xn=aXn-bXn-CXn, n 二 N * .(*) 即 Xn i =Xn(a -b 1 -ex*), n 二 N * .(*)(II )若每年年初魚群總量保持不變，貝 UXn恒等于 X!,n N*,從而由(* )式得xn(a -b -cxn)恒等于0, n N*,所以a -b - ex! = 0即捲 口因為 xi0，所以 ab.a . b猜測：當且僅當 ab,且x1時，每年年初魚群的總量保持不變c(川)若 b 的值使得 xn0, n N*由 Xn+1=Xn(3 b Xn), n N*,知0Xn3 b,n N*,特別地，有 0X13 b

22、.即 0b0.又因為 Xk+1=Xk(2 Xk)= (Xk 1) +1 10,n N* ,則捕撈強度 b 的最大允許值是 1.【解后反思】這一類題需要平時多看，多做.多問，多想才行，只有平時刻苦練習，才能在極短的時間 準確完成，這些問題往往有多個小問，每個小問之間，有很強的邏輯關(guān)系，可以說本身就蘊藏解題思 想,往往后者需要前者的結(jié)論，才能解出，有時我們可以直接使用剛才證的結(jié)論 .此外，高超的解題 技巧和解題能力也是成功的關(guān)健 .21.(本小題滿分 14 分)12已知函數(shù) f(x)= Inx, g(x) = ax2+ bx,0.2(I)若 b= 2,且 h(x) = f(x) g(x)存在單調(diào)遞

23、減區(qū)間，求a 的取值范圍；(H)設(shè)函數(shù) f(x)的圖象 Cl與函數(shù) g(x)圖象 C2交于點 P、Q，過線段 PQ 的中點作 x 軸的垂線分別交 Ci，C2于點 M、N，證明 Ci在點 M 處的切線與 C2在點 N 處的切線不平行.【思路點撥】本題涉及多種類型的函數(shù)知識，是利用各類型之間的橫向關(guān)系的題目12【正確解答】 (I)b=2時，h(x) = l nxax-2x，1則h (x) ax -2 =x因為函數(shù) h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h(x)0 時，貝 U ax2+2x 10 有 x0 的解.2 21當 a0 時，y=ax +2x 1 為開口向上的拋物線，ax +2x 10 總有 x0 的解；2當 a0 總有 x0 的解;2則厶=4+4a0,且方程ax +2x仁0至少有一正根此時，1a0.綜上所述，a 的取值范圍為(1,0)U(0,+8).(II)證法一 設(shè)點 P、Q 的坐標分別是(X1, y1),則點 M、N 的橫坐標為x2ax 2x -1x(