初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題

1、初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題：相關(guān)概念及定義二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y = ax2+bx+c （a,b,c是常數(shù)，a*0） 的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項 系數(shù)a#0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).二次函數(shù)y=ax2 bx-c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是 2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.二次函數(shù)各種形式之間的變換24ac -b4a二次函數(shù)y =ax2+bx+c用配方法可化成：y = a（x-

2、h ）2 + k的形式，其, b中 h = , k =2a二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y = ax2;Dy=ax2+k；y = a(x - h f ; y = a(x - h f +k ; y = ax2 +bx + c .二次函數(shù)解析式的表示方法一般式：y =ax2+bx+c （a, b , c 為常數(shù)，a/0）;頂點式：y=a（x-h）2+k （a, h , k 為常數(shù)，a#0）;兩根式：y =a（x-x,（x -x2）（a=0,為，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐 標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的 二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x

3、軸有交點，即b2-4ac20時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以 互化.二次函數(shù)y =ax2 bx c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y =ax2 +bx + c化為頂點式 y=a（x-h）2+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩 側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0, c卜以及（0, c）關(guān)于對稱軸對稱的點（2h,c）、與x軸的交點（為，0）, 62,0 ）（若與x軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點） 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.二次函數(shù)y = ax2

4、的性質(zhì)a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a >0向上(0，0)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時， y隨x的增大而減?。粁=0時，y有最小 值0 .a <0問卜(0, 0)y軸X。時，y隨x的增大而減小；x<o時， y隨x而增大而增大；x=o時，y有最大 值0 .二次函數(shù)y =ax2 , c的性質(zhì)a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a >0向上(0, c )y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減??；x=0時，y有最小 值c .a <0問卜(0, c)y軸x>0時，y隨x的增大而減??；x<0

5、時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大 值c .二次函數(shù)y=a(xhj的性質(zhì):a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a >0向上(h, 0)X=hxh時，y隨x的增大而增大；xch時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值0 .a <0問卜(h, 0)X=hx>h時，y隨x的增大而減??；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0 .二次函數(shù)y =a(x-h ) +k的性質(zhì)a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a >0向上(h, k)X=hxh時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減?。粁=h時，y有最小值k .a <0問卜

6、(h, k )X=hxh時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k .拋物線y =ax2+bx+c的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時, 開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.對稱軸：平行于y軸(或重合)的直線記作x = -9 .特別地，y軸記作,2a直線x = 0.頂點坐標(biāo)：(-b 4ac-b2、，)2a 4a頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同, 那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.拋物線y =ax2 bx c中，a, b

7、,c與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項系數(shù)a二次函數(shù)y =ax2+bx+c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a#0.(1)當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開 口越大；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開 口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a 的大小決定開口的大小.一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.(1)在a >0的前提下，當(dāng)b>0時，-旦父0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；2a當(dāng)b=0時，2=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當(dāng)b<0時，-2>0,即拋物

8、線對稱軸在y軸的右側(cè).2a 在a <0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b>0時，-2>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；2a當(dāng)b=0時，2=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當(dāng)b<0時，-2<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.總結(jié)：常數(shù)項c當(dāng)c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱 坐標(biāo)為正；當(dāng)c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與 y軸交點的縱 坐標(biāo)為0 ;當(dāng)c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸

9、交點的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法公式法：y = ax2 +bx + c = a x +小爺3對稱軸是直線p 22ab4ac-b2頂點是x = 2a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-hf+k的形式，得到頂點為（h, k）,對稱軸是直線x = h.運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點 是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：y =ax2 +bx

10、+ c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇 一般式.頂點式：y =a（x -h 2 + k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.交點式：已知圖像與 x軸的交點坐標(biāo) x1、x2 ,通常選用交點式：y =a x -x1 x -x2 .直線與拋物線的交點y軸與拋物線y =ax2 +bx +c得交點為（0, c）.與y軸平行的直線 x = h與拋物線y = ax2 + bx十c有且只有一個交點（h , ah 2 bh c）.拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y = ax2 +bx + c的圖像與x軸的兩個交點 的橫坐標(biāo)x1、x2,是對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c = 0的兩個實數(shù)根.拋 物線與x

11、軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點u Aa0u拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上）u A = 0u拋物線與x軸相切；沒有交點u <0u拋物線與x軸相離.平行于x軸的直線與拋物線的交點可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo) 相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ,則橫坐標(biāo)是ax2+bx+c = k的兩個實數(shù)根.一次函數(shù)y = kx + n（k#0）的圖像l與二次函數(shù)y =ax2+bx + c（a。0）的v=kxn圖像g的交點，由方程組r 2的解的數(shù)目來確定：方程y 二 ax bx c組有兩組不同的解時u l與G有兩個交點；方程組只有一組解時u

12、 l 與G只有一個交點；方程組無解時 u l與G沒有交點.拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y= ax2 +bx + c與x軸兩交點為A%,0） BQ2。），由于xi、x2是方程ax2+bx+c = 0的兩個根，故bx1x2 =，x1 x2aAB2 r2一=xix21= q(xix2) = "(xi x2) 4xix2= J11b bf4cb2 - 4ac 二二次函數(shù)圖象的對稱：二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或 頂點式表達(dá)關(guān)于x軸對稱y = ax + bxcf x軸對稱后，得到的解析式是2y =a(x h )十k關(guān)于x軸對稱后，得到的斛析式是 關(guān)于y軸對稱y =

13、ax + b汁為c于y軸對稱后，得到的解析式是2y=a(xh) +k關(guān)于y軸對稱后，得到的斛析式是 關(guān)于原點對稱y=ax bx戈訐原點對稱后，得到的解析式是y = a( x h十美于原點對稱后，得到的解析式是 關(guān)于頂點對稱y = a x bx關(guān)c于頂點對稱后，得到的解析式是2y =a(x-h ) +k關(guān)于頂點對稱后，得到的斛析式是 關(guān)于點(m, n。寸稱-2y = -ax -bx -c ;2y = a(x h ) -k ;2y =ax - bx c;2y=a(x + h”k;2,y = -axbx -c ；,2 ,y =-a(x+h j -k ；2 .b2 .y=-ax -bx+c- 2a2y

14、 = -a(x h) +k .關(guān)于點(m , n )對稱后得到的解析式是 如下：y=ax22 一 y=ax2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移兇個單位向上(k>0)或下(k<0)】平移因個單位向右(h>0)或左(h<0) 平移|k|個單位向右(h>0)或左(h<0) 平移|k|個單位向上(k>0)或下(k<0) 平移|k|個單位向右(h>0)或左(h<0)平移|k|個單位，、2 y=a(x-h)2* y=a(x-h)2+ky = -a x h -2m j -2n -k總結(jié)：根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋

15、物線的形狀一定 不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時, 可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原 拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對 稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.二次函數(shù)圖象的平移平移步驟：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,確定其頂點坐標(biāo)(h,k);保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k )處,具體平移方法平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移” 概括成八個字“左加右減，上加下減” .根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路1,

16、已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A ( J3 , 0), B (24,0), C (0,-3 )三點， 求拋物線的解析式。2,已知拋物線y=a(x-1) 2+4 ,經(jīng)過點A (2, 3),求拋物線的解析式。頂點式。1,已知拋物線y=x2-2ax+a2+b頂點為A (2, 1),求拋物線的解析式。2,已知拋物線y=4(x+a) 2-2a 的頂點為(3, 1),求拋物線的解析式。父點式。1,已知拋物線與x軸兩個交點分別為(3, 0) ,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b) 的解析式。2,已知拋物線線與x軸兩個交點(4, 0), (1, 0)求拋物線y=- a(x-2a)(x-b)2

17、的解析式。定點式。1,在直角坐標(biāo)系中，不論a取何值，拋物線y = -1 x2+5a x+2a 2經(jīng)過x軸 22上一定點Q,直線y =(a-2)x+2經(jīng)過點Q,求拋物線的解析式。2,拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m 與x軸的一定交點經(jīng)過直線 y=mx+m+4求拋物線 的解析式。3,拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2±B定點A,求拋物線的解析式。平移式。1,把拋物線y= -2x 2向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到 拋物線y=a( x-h) 2 +k,求此拋物線解析式。2,拋物線y= -x2+x-3向上平移，使拋物線經(jīng)過點C(0,2),求拋物線的解

18、析式. 距離式。1,拋物線y=ax2+4ax+1(a >0)與x軸的兩個交點間的距離為2,求拋物線的解析 式。2,已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m> 0)與x軸交于 A B兩點，與 軸交于C點， 且AB=BC求此拋物線的解析式。對稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂 點到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、已知拋物線y=-x2+ax+4,交x軸于A,B (點A在點B左邊)兩點，交y軸于, 一3點C,且OB-OA=3OC求此拋物線的解析式。4對稱式。1,平行四邊形 ABCD寸角線AC在x軸上，且 A (-10, 0

19、), AC=16 D (2, 6)。 AD交y軸于E,將三角形ABCCft x軸折疊，點B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E 三點的拋物線的解析式。2,求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸(或x軸)對稱的拋物線的解析式。切點式。1,已知直線y=ax-a2(aw0)與拋物線y=mX有唯一公共點，求拋物線的解析式。2,直線y=x+a與拋物線y=ax2+k的唯一公共點A (2, 1)，求拋物線的解析式。 判別式式。1、已知關(guān)于X的一元二次方程(m+1 x2+2(m+1)x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，求 拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、已知拋物線y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a的頂點

20、在x軸上，求拋物線的解析式。3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點，求拋物線的解析式。二次函數(shù)測試題一、選擇題(每小題 3分，共30分)1.拋物線y =(x1)2+3的對稱軸是()(A)直線x=1(B)直線x=3(C)直線x=1(D)直線x = 3122.對于拋物線 y = (x -5) +3,下列說法正確的是()3(A)開口向下，頂點坐標(biāo)(5,3)(B)開口向上，頂點坐標(biāo)(5,3)(C)開口向下，頂點坐標(biāo)(-5,3)(D)開口向上，頂點坐標(biāo)(-5,3)135123.右A( -,y1), B( -5,y2), C (1,y3)為二次函數(shù)y=x+4x5的圖象上的三點

21、，444則y1, y2, y3的大小關(guān)系是()(A)y1<y2<y3(B)丫2<%M丫3(C)y3<y1<y2(D)y1<y3<y24 .二次函數(shù)y = kx2-6x+3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()(A)k<3(B)k<3 且 k#0(C)k <3(D)k <3H k¥05 .拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移 2個單位，所得到的拋物線是 ()(A) y=3(x1)22(B) y=3(x + 1)22(C) y=3(x+1)2+2(D) y=3(x-1)2 + 26 .煙花廠為揚(yáng)州三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)特

22、別設(shè)計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度 h(m)與5 2_.一飛行時間t(s)的關(guān)系式是h = t +20t+1,若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則2從點火升空到引爆需要的時間為(A) 3s(B) 4s(C) 5s(D) 6s1 2 _ .一. 、 一x軸所7 .如圖所不是一次函數(shù) y=-X +2的圖象在x軸上方的一部分，對于這段圖象與2圍成的陰影部分的面積，你認(rèn)為與其最接近的值是(A) 4(C) 2 九(B)16B)3(D) 88 .如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形 (陰影部分)鐵皮備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩

23、邊長x, y應(yīng)分別為()(A)x=10,y =14(B)x=14, y=10(C)x=12,y =15(D)x=15, y = 129 .如圖，當(dāng)ab>0時，函數(shù)y=ax2與函數(shù)y=bx+a的圖象大致是()D10 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a W0)的圖像如圖所示，下列結(jié)論正確的是()(A) acv0(B)當(dāng) x=1 時,y >0(C)方程ax2+bx+c=0(a w 0)有兩個大于1的實數(shù)根(D)存在一個大于的實數(shù)xo,使得當(dāng)xvx0時,y隨x的增大而減小；當(dāng)x> xo時,y隨x的增大而增大.二、填空題(每小題3分，共18分)10.平移拋物線y= x2+2x-8,使它

24、經(jīng)過原點，寫出平移后拋物線的一個解析11.拋物線y = (m _2)x2 +2x + (m2 4)的圖象經(jīng)過原點，則 m =.12.將 y =(2x_1)(x+2)+1 化成 y= a(x + m)?+n 的形13.某商店經(jīng)營一種水產(chǎn)品，成本為每千克析，若按每千克 50元銷售，一個月能售出元，月銷售量就減少 10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，銷售單40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分500千克；銷售價每漲價定為 元時，獲得的利潤最多214 .已知一次函數(shù) y = ax +bx+c的圖象如圖所示，則點P(a, bc)在第 象限.15 .已知二次函數(shù) y = -x2 +2x +m的部分圖象如右圖所示， 則關(guān)

25、于x的一元二次方程 x2 +2x + m = 0的解為.16.老師給出一個二次函數(shù) ，甲，乙，丙三位同學(xué)各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限；乙：當(dāng) x<2時，y隨x的增大而減小.丙：函數(shù) 的圖像與坐標(biāo)軸只有兩個交點.已知這三位同學(xué)敘述都正確，請構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù)三、解答題(第17小題6分，第18、19小題各7分，共20分)17.已知一拋物線與x軸的交點是 A(2,0)、B(1, 0),且經(jīng)過點C (2, 8)。(1)求該拋物線的解析式;(2)求該拋物線的頂點坐標(biāo)。18 .已知拋物線y =x2 -2x + c的部分圖象如圖所示(1)求c的取值范圍;(

26、2)若拋物線經(jīng)過點(0,_1),試確定拋物線 y =x2 _2x+c的解析式;2 19 .一次函數(shù)y=ax +bx+c(a#0)的圖象如圖所不，根據(jù)圖象解答下列問題:(1)寫出方程ax2+bx+c = 0的兩個根；(2)寫出y隨x的增大而減小的自變量 x的取值范圍;(3)若方程ax2 +bx + c =k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.四、(第小題8分，共16分)20 .小李想用籬笆圍成一個周長為 60米的矩形場地，矩形面積 S (單位：平方米)隨矩形一 邊長x (單位：米)的變化而變化.(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時，矩形場地面積 S最大？最大面積是多少？21 .某商場將進(jìn)價為 30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少 10個。(1)請寫出每月售出書包的利潤y元與每個書包漲價 x元間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)每月的利潤為10000的利潤是否為該月最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是,請求出最大利潤