中考培優(yōu)競賽專題經典講義第28講存在性問題之平行四邊形

1、第28講存在性問題之平行四邊形此類問題一般從平行四邊形的性質著手對邊平行且相等構造全等；對角線互相平分利用中點公式【例題講解】1例題1做口圖,一次函數y= x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點 拋物線y= x解：(1) Ty= x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點， ? A B 點的坐標為：A(0,2),B(4,0), 將 x=0,y=2 代 y= x2+bx+c 得 c=2. 將 x=4,y=0 代 y= x2+ bx+c 得 0= 16+4b+2,解得 b =- 2+bx+c過A、B兩地， 2(1)求這個拋物線的解析式；(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線 AB于M,交這個拋物線于

2、N,求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點 D的坐標？?拋物線解析式為:y= - x2+ 7 x+2;2如答圖1,設MN交x軸于點E,則 E(t,0),BE=4 t,tan/ABO= A -OB 42/ 1 1ME = BE tan / ABO=(4 t) X =2 t22又N點在拋物線上,且XN=t,yN= - t2+ t+222 712MN=yN ME = t2+t+2 (2 t)= t2+4t 22當t=2時,MN有最大值4.由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)以A、M、N、D為頂點作平行四邊

3、形D點的可能位置有三種情形如答圖2所示:(i)當D在y軸上時，設D的坐標為(0,a)由 AD=MN, 得 | a 1| =4, 解得 a 1 =6,a 2 =2,從而 D 為(0,6) 或 D(0, 2),(i i)當D不在y軸上時，由圖可知 D3為DiN與D2M的交點，易得DiN的方程為y= 1 X+6Q 2M的方程為y= 3 x 22 2由兩方程聯立解得D為(4,4)故所求的D點坐標為(0,6),(0, 2)或(4,4).【單動點】例題2?在直角坐標系中，已知A( 2,4),B(2,2),C(1, 1),當A、B、C、D四點組成的四邊形為平行四邊形時求點D的坐標.y A* B A O .x

4、C【分析】我們知道，平行四邊形的對角線互相平分 ，所以我們可以利用這個性質幾何中點公式來解決這類問 題.中點公式：若A(Xi,yi),B(X2,y2),則AB的中點坐標為(Xl竺，上 糾.2 2【解析】如下圖，當BD與AC為對角線時，BD與AC互相平分 所以AB的中點即為BD的中點根據A、C坐1 31 3標可計算出M點的坐標為(1 ,-),再根據BD的中點也為M(-,-),即可算出D1( 3,1),同理可計算出2 22 2D2( 1,7),D3(5, 3).【總結】我們可以把過程再簡單化一點，我們發(fā)現，在算D1時利用中點公式均需要除 2,所以為了方便快捷直接省略這一步，所以就是A點、C點的橫坐

5、標相加=B點、Di點的橫坐標相加(即Xa+Xc=Xb+Xdi),記住這個 方法, 連圖都不用畫了！【雙動點】 例題3寸直角坐標系中，已知有一條直線y= - x+3,A(0,1),B(1,0),在直線上y= 3 x+3找一點C,x軸上有一占八、44D,當以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形時,求點D的坐標？【分析】本題中有兩個不確定的點，點C和點D,根據上一例題，我們只需將雙動點轉化為單動點 ，這個問題就 可以解決了 ？m+3),根據上一例題講述的中點法,即可把三個點D都用m表示出來，分別為Di(1 一33 2), D2( m 1, 一 m+4) , D3(m+l, - m+2),因為點D

6、在x軸上，所以縱坐標為 0,即可算出m. 44【鞏固訓練】1?如圖，已知 AABC的三個頂點坐標為 A( 2,3)、B( 6,0)、C( 1,0).(1) 將AABC繞坐標原點。逆時針旋轉90 直接寫出點A的對應點 A的坐標請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.-1A l/J乙I1 1 BC02.如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點為C.(1)對于任意實數 m,點M(m, 2)是否在該拋物線上？請說明理由；(2)求證: ABC是等腰直角三角形；(3)已知點D在x軸上，那么拋物線上是否存在點P,使得以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,

7、求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.3及口圖,二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為(一 3,0)，經過B點的直線交拋物線于點D( 2,- 3).求拋物線的函數關系式和直線 BD的函數關系式;過x軸上的點E(a,0)(E點在B點的右側)作直線EF BD,交拋物線于點F,是否存在實數a使四邊形BDEF是平行 四邊形？如果存在，求出滿足條件的a;如果不存在，請說明理由。D2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點為C?(1)對于任意實數 m,點M(m, 2)是否在該拋物線上？請說明理由；(2)求證: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知點 D 在

8、 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點 P, 使得以B 、 C 、 D 、 P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出點P 的坐標 ;若不存在 ,請說明理由 .OA3.如圖)二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為(一 3,0)，經過B點的直線交拋物線于點D( 2, 3).(1) 求拋物線的函數關系式和直線BD 的函數關系式；過x軸上的點E(a,O)(E點在B點的右側)作直線EF BD,交拋物線于點F,是否存在實數a使四邊形BDEF是平 行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a;如果不存在，請說明理由。AB2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點為

9、C? y(1)對于任意實數 m,點M(m, 2)是否在該拋物線上？請說明理由；(2)求證: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知點 D 在 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點 P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在 ,求出點 P 的坐標;若不存在,請說明理由 ?OA3領口圖，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為(一 3,0)，經過B點的直線交拋物線于點D(2,3).(1) 求拋物線的函數關系式和直線BD 的函數關系式；(2)過x軸上的點E(a,0)(E點在B點的右側)作直線EF BD,交拋物線于點F,是否存在實數a使四邊形BDEF是平行AB2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點為C?， 求出滿足條件的a; 如果不存在， 請說明理由。yO(1)對于任意實數 m,點M(m, 2)是否在該拋物線上？請說明理由；(2)求證: ABC是等腰直角三角形；3 3) 已知點 D 在 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點 P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在 ,求出點 P 的坐標 ;若不存在 ,請說明理由 ?OA3領口圖，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為(一 3,0)，經過B點的直線交拋物線于點D(2,3).