中考培優(yōu)競(jìng)賽專題經(jīng)典講義第28講存在性問題之平行四邊形

1、第28講存在性問題之平行四邊形此類問題一般從平行四邊形的性質(zhì)著手對(duì)邊平行且相等構(gòu)造全等；對(duì)角線互相平分利用中點(diǎn)公式【例題講解】1例題1做口圖,一次函數(shù)y= x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn) 拋物線y= x解：(1) Ty= x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)， ? A B 點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,2),B(4,0), 將 x=0,y=2 代 y= x2+bx+c 得 c=2. 將 x=4,y=0 代 y= x2+ bx+c 得 0= 16+4b+2,解得 b =- 2+bx+c過A、B兩地， 2(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線 AB于M,交這個(gè)拋物線于

2、N,求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn) D的坐標(biāo)？?拋物線解析式為:y= - x2+ 7 x+2;2如答圖1,設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E,則 E(t,0),BE=4 t,tan/ABO= A -OB 42/ 1 1ME = BE tan / ABO=(4 t) X =2 t22又N點(diǎn)在拋物線上,且XN=t,yN= - t2+ t+222 712MN=yN ME = t2+t+2 (2 t)= t2+4t 22當(dāng)t=2時(shí),MN有最大值4.由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊

3、形D點(diǎn)的可能位置有三種情形如答圖2所示:(i)當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為(0,a)由 AD=MN, 得 | a 1| =4, 解得 a 1 =6,a 2 =2,從而 D 為(0,6) 或 D(0, 2),(i i)當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知 D3為DiN與D2M的交點(diǎn)，易得DiN的方程為y= 1 X+6Q 2M的方程為y= 3 x 22 2由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),(0, 2)或(4,4).【單動(dòng)點(diǎn)】例題2?在直角坐標(biāo)系中，已知A( 2,4),B(2,2),C(1, 1),當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形時(shí)求點(diǎn)D的坐標(biāo).y A* B A O .x

4、C【分析】我們知道，平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ，所以我們可以利用這個(gè)性質(zhì)幾何中點(diǎn)公式來解決這類問 題.中點(diǎn)公式：若A(Xi,yi),B(X2,y2),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(Xl竺，上 糾.2 2【解析】如下圖，當(dāng)BD與AC為對(duì)角線時(shí)，BD與AC互相平分 所以AB的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)根據(jù)A、C坐1 31 3標(biāo)可計(jì)算出M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 ,-),再根據(jù)BD的中點(diǎn)也為M(-,-),即可算出D1( 3,1),同理可計(jì)算出2 22 2D2( 1,7),D3(5, 3).【總結(jié)】我們可以把過程再簡(jiǎn)單化一點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，在算D1時(shí)利用中點(diǎn)公式均需要除 2,所以為了方便快捷直接省略這一步，所以就是A點(diǎn)、C點(diǎn)的橫坐

5、標(biāo)相加=B點(diǎn)、Di點(diǎn)的橫坐標(biāo)相加(即Xa+Xc=Xb+Xdi),記住這個(gè) 方法, 連圖都不用畫了！【雙動(dòng)點(diǎn)】 例題3寸直角坐標(biāo)系中，已知有一條直線y= - x+3,A(0,1),B(1,0),在直線上y= 3 x+3找一點(diǎn)C,x軸上有一占八、44D,當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)？【分析】本題中有兩個(gè)不確定的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D,根據(jù)上一例題，我們只需將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn) ，這個(gè)問題就 可以解決了 ？m+3),根據(jù)上一例題講述的中點(diǎn)法,即可把三個(gè)點(diǎn)D都用m表示出來，分別為Di(1 一33 2), D2( m 1, 一 m+4) , D3(m+l, - m+2),因?yàn)辄c(diǎn)D

6、在x軸上，所以縱坐標(biāo)為 0,即可算出m. 44【鞏固訓(xùn)練】1?如圖，已知 AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A( 2,3)、B( 6,0)、C( 1,0).(1) 將AABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A的坐標(biāo)請(qǐng)直接寫出：以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).-1A l/J乙I1 1 BC02.如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點(diǎn)為C.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,點(diǎn)M(m, 2)是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由；(2)求證: ABC是等腰直角三角形；(3)已知點(diǎn)D在x軸上，那么拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,

7、求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.3及口圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(一 3,0)，經(jīng)過B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D( 2,- 3).求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和直線 BD的函數(shù)關(guān)系式;過x軸上的點(diǎn)E(a,0)(E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè))作直線EF BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDEF是平行 四邊形？如果存在，求出滿足條件的a;如果不存在，請(qǐng)說明理由。D2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點(diǎn)為C?(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,點(diǎn)M(m, 2)是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由；(2)求證: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知點(diǎn) D 在

8、 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點(diǎn) P, 使得以B 、 C 、 D 、 P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,求出點(diǎn)P 的坐標(biāo) ;若不存在 ,請(qǐng)說明理由 .OA3.如圖)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(一 3,0)，經(jīng)過B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D( 2, 3).(1) 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和直線BD 的函數(shù)關(guān)系式；過x軸上的點(diǎn)E(a,O)(E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè))作直線EF BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDEF是平 行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a;如果不存在，請(qǐng)說明理由。AB2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點(diǎn)為

9、C? y(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,點(diǎn)M(m, 2)是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由；(2)求證: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知點(diǎn) D 在 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點(diǎn) P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在 ,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由 ?OA3領(lǐng)口圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(一 3,0)，經(jīng)過B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D(2,3).(1) 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和直線BD 的函數(shù)關(guān)系式；(2)過x軸上的點(diǎn)E(a,0)(E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè))作直線EF BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDEF是平行AB2 .如圖，已知拋物線y=x2 4x+3與x軸交于A、B,頂點(diǎn)為C?， 求出滿足條件的a; 如果不存在， 請(qǐng)說明理由。yO(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,點(diǎn)M(m, 2)是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由；(2)求證: ABC是等腰直角三角形；3 3) 已知點(diǎn) D 在 x 軸上 , 那么拋物線上是否存在點(diǎn) P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在 ,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) ;若不存在 ,請(qǐng)說明理由 ?OA3領(lǐng)口圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(一 3,0)，經(jīng)過B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D(2,3).