半角旋轉(zhuǎn)模型

1、內(nèi)容：半角旋轉(zhuǎn)模型，三垂直模型，以及旋轉(zhuǎn)相似模型探究：(1)如圖1 ,在正方形 ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且/ EAF = 45 °試判斷 BE、 DF與 EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié) 果：；(2) 如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)?在四邊形ABCD中，AB = AD，/ B+Z D= 180E；,1F分別是邊BC、CD上的點，且Z EAFd Z BAD”則U (1)問中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成2立，請給出證明，若不成立，請說明理由；(3) 在(2)問中，若將 AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點分別E、F運動到BC、CD延長線 上時，如圖3所示，其它條件不變

2、，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若變化，請給出結(jié)論并予 以證明.小偉遇到這樣一個問題如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，D，連結(jié) EF,求證：DE+BF=EF.圖2ADEB C圖3小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題他的方法是將 ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到 ABG (如圖2),此時GF即是DE+BF.請回答:在圖2中，/GAF的度數(shù)是DADkD參考小偉得至C的結(jié)論和思考問題的方法,解決下列問題:E(1)如圖3,在直角梯形 ABCD中，AD /BC (AD

3、 >BC),OB x B F C G B F C /D=90 圖 4AD=CD=10 ,圖是 CD 上一點,若 JBAE=45 ° ,DE=4 ,則 BE=(2)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B是x軸上一 動點，且點A ( 3 , 2),連結(jié)AB和AO,并以AB為邊向上作正方形ABCD,若C (x, y),試用含x的代數(shù)式表示y,已知：正方形ABCD中， MAN 45°,繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC(或它們的延長線)于點M、N (1)如圖1，當(dāng) MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，有BM DN MN 當(dāng)MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，如圖2，請問圖1

4、中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；(2)當(dāng) MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM, DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明.24 .如圖1 ,在等腰直角 ABC中，/BAC=90 °,AB=AC=2，點E是BC邊上一點，/DEF=45。且角的兩邊分別與邊 AB,射線CA交于點P, Q.(1) 如圖2,若點E為BC中點，將ZDEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點P, EF與CA的延長線交于點 Q.設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出自變量x的取值范圍；(2) 如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與B，

5、C重合)，且DE始終經(jīng)過 點A,EF與邊AC交于Q點.探究：在ZDEF運動過程中， AEQ能否構(gòu)成等腰三角 形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由.海淀25 .如圖DE2， AB1，兩個等腰直角三角板 ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，1 .將直線EB繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45，交直線AD于點M 將圖1中的三角板ABC沿直線I向右平移，設(shè)C、E兩點間的距離為k .D/L_ .4解答問題：(1) 當(dāng)點C與點F重合時，如圖2所示,可得處的值為；DM在平移過程中，jAM的值為(用含k的代數(shù)式表示)；DM(2) 將圖2中的三角板 ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變當(dāng)點A落在線段DF上

6、時，如圖3所示，請補全圖形，計算jAM的值;DM(3) 將圖1中的三角板 ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn) 度，0<90,原題中的其他條件保持不變計算如的值(用含k的代數(shù)式表示).DM昌平22.閱讀下面材料小偉遇到這樣一個問題：如圖1 ,在正三角形 ABC內(nèi)有一點 P,且PA=3 , PB=4 ,小偉是這樣思考的PC=5 ,求ZAPB的度數(shù).如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造 APC ,連接PP ,得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決圖1BC請你回答：圖1中ZAPB的度數(shù)等于 .參考小偉同學(xué)思考問題的方法 ，解決下列問題：(1)如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA= 2 2，PB=1，PD=，

7、則ZAPB的度數(shù)等于 ,正方形的邊長為 ;(2)如圖4,在正六邊形 ABCDEF內(nèi)有一點P,且PA= 2 , PB=1 , PF=13 ,則ZAPB的度數(shù)等于 ,正六邊形的邊長為 .通州24. ( 9分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點B(0, 3)，點C是x軸正半軸上一點，連結(jié) BC,過點C作直線CP/y軸.(1) 若含45。角的直角三角形如圖所示放置 .其中，一個頂點與點 O重合，直角頂點D 在線段BC上,另一個頂點E在CP上.求點C的坐標(biāo)；(2) 若含30。角的直角三角形一個頂點與點O重合，直角頂點D在線段BC 上,另一個 頂點E在CP上,求點C的坐標(biāo).yBPBBAEOr Cx Ox Ox

8、第24題圖備用圖備用圖(西城19)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，正方形PABC的邊長為1 ,將其沿x軸的正方向連續(xù)滾動，即先以頂點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 PABC順時針旋轉(zhuǎn)90。得到第二個正方形，再以頂點D為旋轉(zhuǎn)中心將第二個正方形順時針旋轉(zhuǎn)90得到第三個正方形，依此方法繼續(xù)滾動下去得到第四個正方形 ，第n個正方形.設(shè)滾動過程中的點 P的坐標(biāo)為(x, y).(1) 畫出第三個和第四個正方形的位置，并直接寫出第三個正方形中的點P的坐標(biāo)；(2) 畫出點P(x, y)運動的曲線(0總4),并直接寫出該曲線與x軸所圍成區(qū)域的面積.東城24.問題1：如圖1,在等腰梯形 ABCD中，AD /BC, A

9、B=BC=CD,點M , N分別在1AD, CD 上,若dMBN= ZABC,試探究線段 MN , AM , CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請2直接寫出你的猜想，不用證明；問題2 :如圖2,在四邊形 ABCD中，AB=BC,ZABC+ ZADC=180。，點M , N分別在DA, CD的延長線上，若ZMBN= - ZABC仍然成立，請你進(jìn)一步探究線段2MN ,專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考AM , CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明昌平24 .在厶ABC中，AB=4 , BC=6，/ACB=30 °，將 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn), 得到 Ai BCi.( 1)如圖1 ,當(dāng)點Ci在線段C

10、A的延長線上時，求/CCiAi的度數(shù)；(2) 如圖2,連接AAi, CCi.若厶CBG的面積為3,求厶ABAi的面積；(3) 如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在厶ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng)點是點Pi，直接寫出線段 ER長度的最大值與最小值圖3朝陽24 .在Rt ABC中，ZA=90 °, D、E分別為AB、AC上的點.(1)如圖 1 , CE=AB, BD=AE,過點 C作 CF/EB,且 CF= EB,連接 DF交 EB于點 G, eb連接BF,請你直接寫出一一的值；DC1，求k的值2(2)女口圖 2, CE=kAB, BD=kAE, _E

11、BDCC西城24 在Rt ABC中，/ACB=90 °,ABC=，點P在厶ABC的內(nèi)部.(1) 如圖 1, AB=2 AC, PB=3，點 M、N 分別在 AB、BC 邊上，則 cos = PMN周長的最小值為-(2) 如圖2，若條件AB=2AC不變，而PA= .2，PB= 10，PC=1，求厶ABC的面積；(3) 若 PA= m, PB= n , PC= k ,且 k mcosn sin ,直接寫出 ZAPB 的度數(shù).門頭溝24 .已知：在厶ABC中，AB= AC,點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，點 M 在線段 DF 上, 且 ZBAE=ZBDF,

12、ZABE=ZDBM .(1 ) 如圖1 ,/ABC = 45。時段 DM 與AE之間的數(shù)量關(guān)系(2 )女口圖2 ,ZABC = 60。時段 DM 與AE之間的數(shù)量關(guān)系（3如圖3,當(dāng) ABC(0 << 90 ）時，線段DM與AE之間的數(shù)量關(guān)系在（2）的條件下延長BM 至U P,使 MP = BM ,連結(jié) CP,若 AB= 7, AE=求sin ACP的值.圖1BDC圖2BDC圖3順義24 .如圖1 ,將三角板放在正方形 ABCD上,使三角板的直角頂點 E與正方形 ABCD的頂點A重合.三角板的一邊交 CD于點F ,另一邊交CB的延長線于點G.(1) 求證：EF EG ;(2) 如圖2

13、,移動三角板，使頂點E始終在正方形 ABCD的對角線AC上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3) 如圖3,將(2)中的正方形ABCD "改為 矩形ABCD "，且使三角板 的一邊經(jīng)過點 B ,其他條件不變，若AB a , BC b，求旦匚的值.EG朝陽22 閱讀下列材料小華遇到這樣一個問題 ，如圖1, ABC中，/ACB=30o , BC=6 , AC=5 ,在厶ABC內(nèi)部有一點 P,連接PA、PB、PC,求PA+ PB+ PC的最小值圖1A圖3小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段

14、 分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)兩點之間， 線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題他的做法是，如圖2,將厶APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60o ,得到 EDC,連接PD、BE則BE的長即為所求(1) 請你寫出圖2中，PA+ PB+ PC的最小值為 ;(2) 參考小華的思考問題的方法 ，解決下列問題：如圖3,菱形ABCD 中, ZABC=60o,在菱形 ABCD內(nèi)部有一點 P,請在圖3 中畫出并指明長度等于PA+ PB+ PC最小值的線段(保留畫圖痕跡，畫出一條即可)；若中菱形ABCD的邊長為4，

15、請直接寫出當(dāng)PA+ PB+ PC值最小時PB 的長豐臺24 .在Rt ABC中，AB=BC,/B=90。，將一塊等腰直角三角板的直角頂點0放在斜邊AC上，將三角板繞點 0旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)點0為AC中點時， 如圖1,三角板的兩直角邊分別交 AB, BC于E、F兩點，連接EF,猜想線段AE、 CF與EF之間存在的等量關(guān)系 （無需證明）； 如圖2,三角板的兩直角邊分別交 AB, BC延長線于E、F兩點，連接EF,判斷 中的猜想是否成立.若成立，請證明；若不成立，請說明理由；2）當(dāng)點0不是AC中點時，如圖3,三角板的兩直角邊分別交 AB, BC于E、F兩點，若A0 1AC 7求的值.OF 朝陽期末25已知：在 ABC中 ACB 90 , CD AB于點D，點E在AC上，BE交 CD于點G, EF BE交AB于點F。C圖2C如圖甲，當(dāng)AC BC時，且CE EA時，則有EF EG ;(1) 如圖乙，當(dāng)AC 2BC時，且CE EA時，則線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是：EF EG；(2) 如圖乙，當(dāng)AC 2BC時，且CE