天津市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一階段數(shù)學(xué)訓(xùn)練試題含詳解

1、試卷主標(biāo)題姓名：_ 班級：_考號：_一、選擇題（共18題）1、 已知集合 ， ，則 （ ） A B C D 2、 已知 ，條件 ： ，條件 ： ，則 是 的（ ） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 3、 某校抽取 名學(xué)生做體能測認(rèn)，其中百米測試中，成績?nèi)拷橛?秒與 秒之間，將測試結(jié)果分成五組：第一組 ，第二組 ， ，第五組 如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于 即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為 人，則 的估計值是（ ） A B C D 4、 函數(shù) ， 圖象大致為 A B C D 5、 已知正方體 的表面積為 ，若圓錐的底面圓周經(jīng)過

2、四個頂點，圓錐的頂點在棱 上，則該圓錐的體積為（ ） A B C D 6、 已知 是定義在 上的偶函數(shù)，且在 上是增函數(shù) . 設(shè) ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ） A B C D 7、 已知 Q 為雙曲線 ( ， ) 的右頂點， M 為雙曲線右支上一點，若點 M 關(guān)于雙曲線中心 O 的對稱點為 N ，設(shè)直線 QM ， QN 的傾斜角分別為 ， 且 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 8、 已知函數(shù) 的圖象的一條對稱軸為 , 則下列結(jié)論中正確的是（ ） A 是 圖象的一個對稱中心 B 是最小正周期為 的奇函數(shù) C 在 上單調(diào)遞增 D 先將函數(shù) 圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的 ，然

3、后把所得函數(shù)圖象再向左平移 個單位長度，即可得到函數(shù) 的圖象 9、 已知函數(shù) ，若方程 有且只有三個不同的實數(shù)根，則 的取值范圍是 A B C D 10、 已知集合 ， ，則 （ ） A B C D 11、 設(shè) ，則 “ ” 是 “ ” 的（ ） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 12、 設(shè) ， ， ，則（ ） A B C D 13、 某學(xué)校組織部分學(xué)生參加體能測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次是 ， ， ， . 若低于 60 分的人數(shù)是 18 人，則參加體能測試的學(xué)生人數(shù)是（ ） A 45 B 48 C 50 D 60 14、 函數(shù)

4、的最小正周期是 ，若其圖象向左平移 個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù) 的圖象 A 關(guān)于點 對稱 B 關(guān)于直線 對稱 C 關(guān)于點 對稱 D 關(guān)于直線 對稱 15、 函數(shù) 的圖象大致是（ ） A B C D 16、 已知向量 ， ，若 ， ，則 的最大值為 A B C 4 D 5 17、 定義域為 的函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時， ，若當(dāng) 時，不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ） A B C D 18、 已知 是定義在 上的函數(shù)，且滿足 ； 曲線 關(guān)于點 對稱； 當(dāng) 時 ，若 在 上有 5 個零點，則實數(shù) 的取值范圍為 A B C D 二、填空題（共12題）1、 已知直線 與圓 交于 、 兩點，直

5、線 垂直平分弦 ，則 的值為 _ ，弦 的長為 _. 2、 某大學(xué)志愿者協(xié)會有 6 名男同學(xué)， 4 名女同學(xué)，在這 10 名同學(xué)中， 3 名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院，現(xiàn)從這 10 名同學(xué)中隨機選取 3 名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教 . 選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率 _ ，設(shè) 為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則 的數(shù)學(xué)期望為 _. 3、 在四邊形 中， ， ， ， ， 為 的中點， ，則 _ ；設(shè)點 為線段 上的動點，則 最小值為 _ 4、 已知復(fù)數(shù) 是純虛數(shù) ( 其中是 虛數(shù)單位 ) ，則實數(shù) 的值為 _. 5、 二項式 的展開式

6、中常數(shù)項為 -20 ，則含 項的系數(shù)為 _. （用數(shù)字作答） 6、 已知 ， ，則 的最小值為 _. 7、 如圖，在 中， ， ， 為 上一點，且滿足 ，若 的面積為 ，則 的最小值為 _ 8、 已知 ， 為虛數(shù)單位，若 為實數(shù)，則 的值為 _ 9、 在二項式 的展開式中， 的系數(shù)為 _ 10、 袋中裝有 5 個同樣大小的球，編號為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出 3 個球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為 ，則 等于 _. 11、 已知 ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，則 的取值范圍是 _. 12、 已知正數(shù) 滿足 ，則 的最小值為 _ 三、解答題（共10題）1、 在 中，已知

7、（ 1 ）求角 B 的大?。?（ 2 ）若 ， 的面積為 ，求 的值 2、 如圖，在四棱錐 中， 底面 ABCD ， ， ， ， ，點 E 為棱 PC 的中點 . （ 1 ）證明： ： （ 2 ）求直線 BE 與平面 PBD 所成角的正弦值： （ 3 ）若 F 為棱 PC 上一點， 且滿足 ，求二面角 的余弦值 . 3、 已知 ， 分別是橢圓 ： 的左，右焦點，點 在橢圓 上，且拋物線 的焦點是橢圓 的一個焦點 （ 1 ）求 , 的值： （ 2 ）過點 作不與 軸重合的直線 ，設(shè) 與圓 相交于 A ， B 兩點，且與橢圓 相交于 C ， D 兩點，當(dāng) 時，求 的面積 4、 已知數(shù)列 ， ， ，

8、是數(shù)列 的前 項和，已知對于任意 ，都有 ，數(shù)列 是等差數(shù)列， ，且 ， ， 成等比數(shù)列 . （ 1 ）求數(shù)列 和 的通項公式 . （ 2 ）記 ，求數(shù)列 的前 項和 . （ 3 ） . 5、 已知函數(shù) . （ 1 ）若 ，求 的最小值； （ 2 ）當(dāng) 時，若不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍； （ 3 ）當(dāng) 時，證明 . 6、 在 中， 分別為三個內(nèi)角 的對邊，且 . （ 1 ）求角 的大?。?（ 2 ）若 求 和 的值 . 7、 已知函數(shù) () 求 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間； () 在 中， 分別是角 的對邊， 為銳角，若 ， 且 的面積為 ，求 的最小值 . 8、 如圖，在四棱錐 中，底面

9、為正方形， ， 平面 ， 、 分別為 、 的中點 . （ 1 ）證明： 平面 ； （ 2 ）求直線 與平面 所成角的正弦值； （ 3 ）求二面角 的余弦值 . 9、 已知等差數(shù)列 的公差為正數(shù)， ，其前 項和為 ，數(shù)列 為等比數(shù)列， ，且 ， . （ 1 ）求數(shù)列 與 的通項公式； （ 2 ）求數(shù)列 的前 項和 . （ 3 ）設(shè) ， ，求數(shù)列 的前 項和 . 10、 已知函數(shù) （ 1 ） 若 ，求 的圖象在 處的切線方程； （ 2 ）若 在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍； （ 3 ）若 存在兩個極值點 ，求證 : =參考答案=一、選擇題1、 C 【分析】 先由對數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，

10、再求交集 . 【詳解】 ， 即 故選： C 2、 B 【分析】 根據(jù)充分性、必要性的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可 . 【詳解】 若 ，則有 ，因此有 ，故 ； 反之，若 ，當(dāng)其中有負數(shù)時， 不成立，故 是 的必要不充分條件 . 故選： B 3、 B 【分析】 利用 左邊的矩形面積之和為 列等式可求得實數(shù) 的值 . 【詳解】 優(yōu)秀人數(shù)所占的頻率為 ， 測試結(jié)果位于 的頻率為 ，測試結(jié)果位于 的頻率為 ，所以， ， 由題意可得 ，解得 . 故選： B. 4、 D 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點對選項進行排除，由此得出正確選項 . 【詳解】 ，故函數(shù)為奇函數(shù)，

11、圖像關(guān)于原點對稱，排除 選項 . 由 排除 選項 . 由 ，排除 C 選項，故本小題選 D. 【點睛】 本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題 . 5、 C 【分析】 根據(jù)正方體的表面積求出 ，再求出圓錐的底面積和高代入圓錐的體積公式即可得到結(jié)果 . 【詳解】 設(shè)正方體 的棱長為 ，則 ，所以 ， 所以圓錐的底面半徑為 ，所以底面積為 ， 又圓錐的高為 ，所以圓錐的體積為 . 故選： C 【點睛】 本題考查了正方體與圓錐的組合體，考查了正方體的表面積，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題 . 6、 A 【分析】 利用偶函數(shù)的對稱性分析函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

12、數(shù)的單調(diào)性比較出 的大小關(guān)系從而比較函數(shù)值的大小關(guān)系 . 【詳解】 由題意可知 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù) . 因為 ， ， ， 所以 ，故 . 故選： A 【點睛】 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性及對稱性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題 . 7、 B 【分析】 設(shè)出點 M 的坐標(biāo)，根據(jù)條件可得點 N ， Q 坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式及 Q 在雙曲線上的條件列式計算即得 . 【詳解】 依題意，設(shè) ，則 ，又 ，即直線 QM ， QN 的斜率乘積為 ，而 Q ( a ， 0) ， 于是得 ，又 M 為雙曲線右支上一點，即 ， ， 因此， ，化簡得 ，則

13、， 所以雙曲線的離心率為 . 故選： B 8、 A 【分析】 化簡函數(shù) ，將 代入得函數(shù)最值，可求得 ，進而可得 ，通過計算 ，可判斷 A ； 通過計算 ，可判斷 B ； 當(dāng) 時， ，可得 在 上的單調(diào)性，可判斷 C ； 通過振幅變換和平移變換，可判斷 D. 【詳解】 ， 當(dāng) 時， 取到最值，即 解得 ， . ，則 是 圖像的一個對稱中心，故 A 正確； ，故 不是奇函數(shù)，故 B 錯誤； 當(dāng) 時， ，又 在 上先增后減，則 在 上先增后減，故 C 錯誤； 將函數(shù) 圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的 ，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移 個單位長度，得 ，故 D 錯誤 . 故選： A 9、 D 【分析】

14、先將 有且只有三個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有三個交點的問題，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求出結(jié)果 . 【詳解】 由 得 ，即 ，設(shè) ， , 的頂點 在直線 上，而 與 的交點坐標(biāo)為 , , 聯(lián)立 , 可得 , 由 ，得 ， 結(jié)合函數(shù) ， 的圖像可得，要使 有且只有三個不同的實數(shù)根，只需 . 故選 D. 【點睛】 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，通常情況下，需要構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和圖像來處理，屬于中檔試題 . 10、 B 【分析】 由交集的定義求解即可 【詳解】 ， ， 則 ， 故選： B 11、 A 【詳解】 ，但 ，不滿足 ，所以是充分不必要條件，選 A. 【考點】 充要條件 【名師點睛】本題考

15、查充要條件的判斷，若 ，則 是 的充分條件，若 ，則 是 的必要條件，若 ，則 是 的充要條件；從集合的角度看，若 ，則 是 的充分條件，若 ，則 是 的必要條件，若 ，則 是 的充要條件，若 是 的真子集，則 是 的充分不必要條件，若 是 的真子集，則 是 的必要不充分條件 . 12、 A 【分析】 先利用換底公式將對數(shù)都化為以 2 為底 , 利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較 , 再由中間值 1 可得三者的大小關(guān)系 . 【詳解】 ， ， ，因此 ，故選： A. 【點睛】 本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小 , 屬于基礎(chǔ)題 . 13、 D 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)

16、與樣本容量的關(guān)系，即可求出該班的學(xué)生數(shù) . 【詳解】 解：根據(jù)頻率分布直方圖，得低于 60 分的頻率是（ 0.005 0.01 ） 20 0.3 ， 所以該班的學(xué)生人數(shù)為 . 故選： D. 【點睛】 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率頻數(shù) / 樣本容量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 14、 A 【分析】 根據(jù)函數(shù) 的最小正周期是 ，求得 ，即 ，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得 ，利用三角函數(shù)的對稱性，求得 ，得到函數(shù) ，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解 . 【詳解】 由題意，函數(shù) 的最小正周期是 ，即 ，解得 ， 所以 ， 將函數(shù) 的向左平移 個單位后得到函數(shù) 因為 為偶函數(shù)，所以 ，即 ，

17、 解得 ，因為 ，所以 ， 所以 ，令 ，解得 ， 令 ，則 ，所以函數(shù) 關(guān)于 對稱，故選 A. 【點睛】 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題 . 15、 C 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和值域即可判斷 . 【詳解】 所以 為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于 軸對稱，故排除 B ， 當(dāng) 時， 故排除 A ，當(dāng) 時， 故排除 D 故選： C . 16、 A 【分析】 設(shè) ，由 可得點 的軌跡方程，再對 兩邊平方，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，

18、即可得答案 . 【詳解】 設(shè) ， ， ， ， 整理得： . ， ， 當(dāng) 時， 的最大值為 ， 的最大值為 . 故選： A. 【點睛】 本題考查向量模的最值、模的坐標(biāo)運算、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標(biāo)法的運用 . 17、 B 【分析】 先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再根據(jù)函數(shù)解析式以及單調(diào)性求對應(yīng)函數(shù)最值，最后解不等式得結(jié)果 . 【詳解】 因為當(dāng) 時，不等式 恒成立，所以 ， 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，因此當(dāng) 時， ，選 B. 【點睛】 對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是

19、含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決 . 但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法 . 18、 B 【詳解】 因為曲線 關(guān)于點 對稱， 所以曲線 關(guān)于點 對稱，所以 在 R 上是奇函數(shù)， 所以 ，又因為 ，所以 ， 而 在 上恰有 個零點， 故 時， 有一個零點， 所以 時， ， 所以 在 上有一個不同的解 . 令 ，則 ， 所以 在 上減函數(shù)，在 上是增函數(shù)； 而 ， 而 ，所以 ， 故 或 ，故選 B. 二、填空題1、 【分析】 由題意可知直線 與

20、直線 垂直，可求得 的值，并且直線 過圓心，可求得實數(shù) 的值，然后將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)和半徑，并計算出圓心到直線 的距離，利用勾股定理可求得弦 的長 . 【詳解】 由題意可知，直線 與直線 垂直， ，可得 ， 由于方程 表示的曲線為圓，則 ，解得 ， 且圓 的圓心坐標(biāo)為 ，圓心在直線 上， 所以， ，解得 ， 所以，圓的方程為 ，即 ， 圓心坐標(biāo)為 ，半徑長為 ， 圓心到直線 的距離為 ， 因此， . 故答案為： ； . 【點睛】 本題考查利用兩直線垂直求參數(shù)，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算，解答的關(guān)鍵就是求出圓的方程，考查計算能力，屬于中檔題 . 2、 【分析】 利用排列

21、組合求出所有基本事件數(shù)及符合要求的基本事件數(shù)，代入古典概型概率公式即可求得選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；由題意結(jié)合超幾何分布概率公式可求得分布列，再由期望公式即可得解 . 【詳解】 設(shè) “ 選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院 ” 為事件 ， 則 ； 隨機變量 的所有可能值為 的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以 的數(shù)學(xué)期望 . 故答案為： ； . 【點睛】 本題考查了超幾何分布概率公式的求解，考查了離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求解，屬于中檔題 . 3、 【分析】 以 為基底，將 用基底表示，根據(jù)已知結(jié)合向量的數(shù)量積運算律，可求出 ；設(shè) 用基底表示，求出 關(guān)于 的二次函

22、數(shù)，即可求出其最小值 . 【詳解】 為 的中點， ， ， ， ， ， ， ； 設(shè) ， ， ， 時， 取得最小值為 . 故答案為： ； . 【點睛】 本題考查向量基本定理、向量的數(shù)量積運算，考查計算求解能力，屬于中檔題 . 4、 【分析】 先把復(fù)數(shù) 化成復(fù)數(shù)的一般形式，再由純虛數(shù)的定義可求 . 【詳解】 解：因為復(fù)數(shù) ， 由于它為純虛數(shù)，所以 ，且 ，則 ， 故答案是： . 【點睛】 掌握復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義是解題關(guān)鍵 . 5、 【分析】 先寫出二項式 的展開式的通項公式，由通項公式結(jié)合條件先求出參數(shù) ，再根據(jù)通項公式可求出答案 . 【詳解】 二項式 的展開式的通項公式為 當(dāng) 時，為常數(shù)

23、項 . 則 ， 令 ，得 ，所以含 項的系數(shù) . 故答案為： -6 6、 2 【分析】 由 可得答案 . 【詳解】 因為 ， ，所以 ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立， 所以 最小值為 2. 故答案為： 2. 【點睛】 易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件： （ 1 ） “ 一正二定三相等 ”“ 一正 ” 就是各項必須為正數(shù)； （ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值； （ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值

24、，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方 . 7、 【分析】 由三角形的面積公式可求得 ，設(shè) ，可得 ，結(jié)合 可求得 ，可得出 ，進而可得出 ，利用基本不等式可求得 的最小值 . 【詳解】 ， ， ， ， 設(shè) ， ， 又 ，則 ，解得 ，則 ， 因此， ，即 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立， 因此， 的最小值為 . 故答案為： . 【點睛】 本題考查線段長最值的求解，同時也考查了利用向量的線性運算求參數(shù)，也考查了基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題 . 8、 -2 【詳解】 為實數(shù)， 則 . 【考點】 復(fù)數(shù)的分類 【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只

25、需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程 ( 不等式 ) 組即可 復(fù)數(shù) ， 當(dāng) 時， 為虛數(shù)， 當(dāng) 時， 為實數(shù)， 當(dāng) 時， 為純虛數(shù) . 9、 . 【分析】 由題意結(jié)合二項式定理展開式的通項公式得到 的值，然后求解 的系數(shù)即可 . 【詳解】 結(jié)合二項式定理的通項公式有： ， 令 可得： ，則 的系數(shù)為： . 【點睛】 （ 1 ）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中 和 的隱含條件，即 、 均為非負整數(shù)，且 ，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等） ) ；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再

26、求所求解的項 （ 2 ）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解 10、 4.5 【分析】 由題意 的可能取值為 3 ， 4 ， 5 ，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 【詳解】 袋中裝有 5 個同樣大小的球，編號為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出 3 個球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為 ， 的可能取值為 3 ， 4 ， 5 ， ， ， ， ， 故答案為： 4.5 【點睛】 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，求解時注意排列組合知識的合理運用 11、 . 【分析】 由條件得出 ，進而求得 ，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出 ，即可得正實數(shù) 的取值范圍 【

27、詳解】 解：由題可知， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， 可得函數(shù)的半個周期大于或等于 ，即 ， 則 ， ， 由 ， 解得： ， ， 而 ，所以當(dāng) 時， ， 則正實數(shù) 的取值范圍是 ， 故答案為： 【點睛】 本題考查由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，涉及正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題 12、 9 【分析】 由已知條件得出 ，將代數(shù)式 與 相乘，展開后利用基本不等式可求得 的最小值 . 【詳解】 因為正數(shù) 滿足 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時，等號成立 . 故答案為： 9 【點睛】 易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件： （ 1 ） “ 一正二定三相

28、等 ”“ 一正 ” 就是各項必須為正數(shù)； （ 2 ） “ 二定 ” 就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值； （ 3 ） “ 三相等 ” 是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方 . 三、解答題1、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）根據(jù)和的正弦公式化簡可得 ，即可得出角 B ； （ 2 ）根據(jù)面積公式求出 ，由余弦定理求出 ，由正弦定理求出 ，繼而求出 ，再由二倍角公式即可求出 . 【詳解】 解：（ 1 ）在 中， ， 所以 即 ， 所

29、以 又 ，所以 ， 又 ，所以 （ 2 ）可得 ，解得 ， 在 中，由余弦定理， 得 ， 所以 由正弦定理，得 ， 所以 因為 ， 所以 ，所以 所以 ， 所以 【點睛】 本題考查和的正弦公式的應(yīng)用，考查正余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解正余弦定理，正確理解邊角關(guān)系 . 2、 （ 1 ）證明見解析；（ 2 ） ；（ 3 ） . 【分析】 （ 1 ）以點 A 為原點， 分別為 軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，只需證明 即可； （ 2 ）求平面 PBD 的法向量 ，然后利用公式 即可求出答案； （ 3 ）根據(jù)題意利用 表示出向量 的坐標(biāo)，然后利用條件 ，求出 的值，從而可求

30、出面 FAB 和面 ABP 的法向量，利用公式 即可求出答案 . 【詳解】 （ 1 ）以點 A 為原點， 分別為 軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . 可得 ， ， ， ，由 E 為棱 PC 的中點，得 ， 向量 ， ，故 ， 所以 . （ 2 ）向量 ， ， . 設(shè) 為平面 PBD 的法向量，則 ，即 ， 令 ，得 為平面 PBD 的一個法向量， 所以 ， 所以直線 BE 與平面 PBD 所成角的正弦值為 . （ 3 ）向量 ， ， ， . 因為點 F 在棱 PC 上， ， ， 所以 ， 由 ，得 ，因此 ，解得 ， 即 ， 設(shè) 為平面 FAB 的法向量，則 ，即 令 ，得 為平面 FAB

31、 的一個法向量 . 取平面 ABP 的法向量 ，則 ， 經(jīng)觀察知二面角 是銳角，所以其余弦值為 . 3、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出 ， ； （ 2 ）設(shè)直線 方程為 ，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出 ，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積 【詳解】 （ 1 ） 焦點為 F （ 1 ， 0 ），則 F 1 （ 1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ）， ，解得 ， 1 ， 1 ， （ ）由已知，可設(shè)直線 方程為 ， ， 聯(lián)立 得 ，易知 0 ，則 因為 ，所以 1 ，解得 聯(lián)立 ，得 ， 8 0 設(shè)

32、 ，則 【點睛】 本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題 意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力 4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） . 【分析】 (1) 由遞推公式 探討出數(shù)列 任意相鄰兩項的關(guān)系得 ，由等差數(shù)列 的已知求出其首項和公差得 ； (2) 由 (1) 求出數(shù)列 的通項公式，再分組求和得解； (3) 對和式 從首項起依次每兩項一組并項求和，再利用錯位相減法求解即得 . 【詳解】 （ 1 ）因 ， 時， ， 則有 ，即 ，而 時， ，即 ， 是首項 ，公比為 3 的等比數(shù)列，從而 ； 設(shè)等差數(shù)列 的公差 d ，而

33、 ，依題意 ， ， ， ，所以 ； （ 2 ）由 (1) 知 ， 當(dāng) n 為偶數(shù)時， 當(dāng) n 為奇數(shù)時， （ 3 ） 所以 是數(shù)列 的前 n 項和， 設(shè) 的前項和為 ， ， ， 即 ， . 【點睛】 思路點睛：給出 S n 與 a n 的遞推關(guān)系，求 a n ，常用思路是：一是利用 轉(zhuǎn)化為 a n 的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為 S n 的遞推關(guān)系，先求出 S n 與 n 之間的關(guān)系，再求 a n . 5、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）證明見解析 . 【分析】 （ 1 ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于 的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的最小值； （ 2 ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根

34、據(jù)不等式 恒成立，分 和 兩種情況求出 的范圍； （ 3 ）要證 ，只需證 成立，然后構(gòu)造函數(shù) ，證明 即可 【詳解】 解：（ 1 ）當(dāng) 時， ，所以 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 所以 （ 2 ）由條件得 ，令 ，則 . 當(dāng) 時，在 上， ， 單調(diào)遞增 ，即 ， 在 上為增函數(shù)， ， 時滿足條件 . 當(dāng) 時，令 解得 ，在 上， ， 單調(diào)遞減， 當(dāng) 時，有 ，即 ， 在 上為減函數(shù)， ，不合題意 . 綜上實數(shù) 的取值范圍為 . （ 3 ）由（ 2 ）得，當(dāng) ， 時， ，即 ， 要證不等式 ，只需證明 ，只需證明 ， 只需證 ， 設(shè) ，則 ， 當(dāng) 時， 恒成立，故 在

35、 上單調(diào)遞增， 又 ， 恒成立 . 原不等式成立 . 【點睛】 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極 ( 最 ) 值問題處理 6、 （ 1 ） ； （ 2 ） . 【分析】 （ 1 ） 化為 ，由余弦定理可得 ，從而可得結(jié)果；（ 2 ）由余弦定理求得 ，再由正弦定理求得 ，根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合兩角差的正弦公式可得結(jié)果 . 【詳解】 （ 1 ）由已知，得： ， 由余弦定理，得： ， ， 即 ，又 , 所以 . （ 2 ） ， 又 ， ， , ， .

36、 【點睛】 本題主要考查正弦定理余弦定理的應(yīng)用以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題 . 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到 7、 () ； () . 【分析】 () 首先化簡三角函數(shù)式，由化簡的三角函數(shù)式得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，然后與 進行交集運算可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； () 首先化簡 求得 A 的大小，然后利用面積公式確定 的值，最后由基本不等式可得 的最小值 . 【詳解】 () ， 由 可得： . 設(shè) ， 則 ，故 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間為 . () 由 可得： ， 化簡可得： ，又 ，解得： . 由題意可得： ，解得： . ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立