植樹問題公式

1、植樹問題公式單邊植樹（兩端都植）:距離T可隔數(shù)+1=棵數(shù)單邊植樹（只植一端）:距離T可隔數(shù)=棵數(shù)單邊植樹（兩端都不植）:距離T可隔數(shù)-1=棵數(shù)雙邊擊!樹（兩端都植）：（距離T司隔數(shù)+1） x 2=數(shù)雙邊擊!樹（只植一端）：（距離T可隔數(shù)）x端數(shù)雙邊擊!樹（兩端都不植）：（距離T可隔數(shù)-1） x能效循環(huán)植樹：距離T司隔數(shù)=棵數(shù)解釋 :1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:株數(shù)= 段數(shù)+1=全長 距+1全長啾距x株數(shù)-1）株距= 全長+株數(shù)-1）如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么 :株數(shù)二段數(shù)=全長 或距 全長啾距琳數(shù)株距= 全長書數(shù)

2、如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么 :株數(shù)二 段數(shù)-1=全長 距-1全長啾距x株數(shù)+1）株距= 全長+株數(shù)+1）2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)二段數(shù)=全長 或距全長啾距琳數(shù)株距= 全長書數(shù)植樹問題折疊書上的知識1 .植樹問題是在一定的線路上，根據(jù)總路程、間隔長和棵數(shù)進行植樹的問題。折疊專題分析一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。1、 如果植樹線路的兩端都要植樹， 那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多 1， 即 : 棵數(shù)=間隔數(shù) +1。2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即: 棵數(shù) =間隔數(shù)。3、 如果植樹線路的兩端都不植樹， 那么植樹的棵數(shù)比要分的

3、段數(shù)少1 ， 即 :棵數(shù)=間隔數(shù)-1 。 4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多 1 ，再乘二，即 :棵樹=段數(shù)+1 再乘二。二、在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即:棵數(shù)=間隔數(shù)。三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)-1）邊數(shù)。1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么 ：株數(shù)= 段數(shù)+1=全長 距+1全長啾距x株數(shù)-1）株距= 全長+株數(shù)-1）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么 ：株數(shù)二段數(shù)=全長 或距全長啾距琳數(shù)株距= 全長書數(shù)盈虧問題的公式（盈+虧）刑次分配量之差=參加

4、分配的份數(shù)（大盈-小盈）的次分配量之差=參加分配的份數(shù)（大虧-小虧）的次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問題的公式相遇路程=速度和沖目遇時間相遇時間=相遇路程 電度和速度和二相遇路程中目遇時間例題折疊例 1長方形場地:一個長84 米， 寬 54 米的長方形蘋果園中， 蘋果樹的株距是2 米， 行距是 3米 .這個蘋果園共種蘋果樹多少棵?解:解法一 :一行能種多少棵？84 + 2=4鰥）.|這塊地能種蘋果樹多少行？54 + 3=18（）.這塊地共種蘋果樹多少棵？42 X 18=75鰥）.如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同 :（84 + 3） X （54 + 2）=28 X 2）=756（解法二 :

5、這塊地的面積是多少平方米呢？84 X 54=4536（方米）. 一棵蘋果樹占地多少平方米呢？2X 3=6f方米）. 這塊地能種蘋果樹多少棵呢 ？4536+ 6=75鰥）.當(dāng)長方形土地的長、 寬分別能被株距、 行距整除時， 可用上述兩種方法中的任意一種來解 ;當(dāng)長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解法來解.但有些問題從表面上看， 并沒有出現(xiàn)"植樹"二字，但題目實質(zhì)上是反映封閉線段或不封閉線段長度、 分隔點、 每段長度三者之間的關(guān)系。 鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。 所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。 上樓梯問題， 就是把每上一層樓梯所需的時間

6、看成一個時間間隔，那么：上樓所需總時間=（終點層-起始層）海層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質(zhì)上都是植樹問題折疊例 2直線場地:在一條公路的兩旁植樹，每隔3 米植一棵，植到頭還剩 3 棵 ;每隔 2.5 米植一棵，植到頭還缺少37 棵，求這條公路的長度。解法一:（代數(shù)解法）設(shè)一共有 x 棵樹【 （x-3）/2-1 】 X3=【 （x+37）/2-1】 X2.5x=205公路長 : 【(205-3)/2-1】 X3=300 得 :公路長度為300 米解法二:(算術(shù)解法)這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮:首先，我們在兩邊起點處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長沒有關(guān)系，以后每栽下

7、一棵樹，不論栽在哪一側(cè)，植樹的路線 (不是路)就增加一個間距，為了簡單起見，我們按單側(cè)植樹來考慮。當(dāng)按3 米的間距植樹時，最后剩下3棵，也就是說植樹的路線要比路長出3個間距，3X3=9t,當(dāng)按2.5米的間距植樹時，最后還缺37棵樹，也就是說植樹的路線比路短了37個間距，2.5 X37=92.5K兩次相差 9+92.5=101.5米， 兩次植樹的間距相差是3-2.5=0.5 米， 據(jù)此可以求出樹的棵數(shù) :(不包括起點的 2 棵 ) 101.5 - 0.5=203() 知道了樹的棵數(shù)，就可以求出植樹路線的長度了 : 3X (203-3)=60郵)或 2.5 X (203+37)=600()因為是雙

8、側(cè)植樹，所以路長為 :600 + 2=30%)綜合算式為 :3X(3 X 3+2.5 X 37) + (3-2.5)-3=30廓)或 2.5 X(3 X 3+2.5 X 37) + (3-235)+32=300() 答 :(略) 折疊例 3圓形場地 (難題 ):有一個圓形花壇， 繞它走一圈是120 米。 如果在花壇周圍每隔 6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2 株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦?可栽月季花多少株?每 2 株緊相鄰的月季花相距多少米解:解:根據(jù)棵數(shù)=全長T可隔可求出栽丁香花的株數(shù)：120 + 6=2麻)由于是在每相鄰的 2 株丁香花之間栽2 株月季花， 丁香花的株數(shù)

9、與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，可栽月季花:2X 20=4咻)由于 2 株丁香花之間的 2 株月季花是緊相鄰的， 而 2 株丁香花之間的距離被2 株月季花分為 3 等份，因此緊相鄰2 株月季花之間距離為 :6+ 3=2)答 :可栽丁香花20 株，可栽月季花40 株， 2株緊相鄰月季花之間相距2 米。折疊例 4在圓形水池邊植樹， 把樹植在距離岸邊均為 3 米的圓周上， 按弧長計算， 每隔 2 米植一棵樹，共植了 314 棵。水池的周長是多少米?(適于六年級程度)解 :先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是:2X 314=62瞇)這個圓的直徑是:628+ 3.14=20%)由于

10、樹是植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，所以圓形水池的直徑是:200-3 X 2=194()圓形水池的周長是：194 X 3.14=609.俅） 綜合算式：（2 X 314+3.14-3 X 2） X 3.14=（200-6） X 3.14 =194 X 3.14 =609.16（米） 折疊例5 個人觀點，歡迎探討：（千里獨行） 小明家門前有一條10米長的水溝，在溝的一側(cè)每隔2米栽一棵樹，一共可栽幾棵 ？（兩端都植樹） 按常規(guī)解法，答案應(yīng)該是6（10 +2+柳，同理，如果小光家門前也有一段10米長的水溝，同樣可以栽6棵，也就是兩家一共可以栽12棵，這并看不出有什么不妥。但是，當(dāng)小明與小光家是鄰居

11、時，我們再計算一下：兩家的水溝總長是 20米，20+2+1=11棵），也就 是兩家一共可以栽11棵樹，結(jié)果比上次計算少了一棵（本人稱之為"鄰里沖突"）,這是因 為在端點處有兩棵樹"重合”了，這兩棵樹的間距為 0,與題中要求間距2米不符，因此， 可以看出兩端植樹是不妥當(dāng)?shù)?。但如果兩端都不植樹，又會出現(xiàn)公共點沒有樹鄰近的兩 棵樹間距4米的情況，仍與題意不符。那么一端植樹又會怎樣呢企種要求是無法實現(xiàn)的，因為當(dāng)一方在與鄰家相接的端點上植上樹后，就會使鄰家地段兩端都有樹存在，還是不合題意。因此，要求在端點上植樹（或不植樹）都會出現(xiàn)矛盾，這樣的計算方法也不能正確的反映出各個數(shù)

12、量間的關(guān)系。數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)目茖W(xué)，出題者固然可以任意給定條件，但用不同的計算方法得出的結(jié)果應(yīng)該是相同的，當(dāng)計算結(jié)果出現(xiàn)矛盾時，應(yīng)該找出問題的原因所在，不能簡單的用"兩樹重合”來解釋解釋。再按照"棵樹=段數(shù)”的方法計算一下：小明家可栽樹：10 -2=5（） 小光家可栽樹：10+2=5（） 兩家一共可栽樹10棵。當(dāng)兩家是鄰居時，可栽樹：（10+10） +2=制兩次計算結(jié)果相同，因此可以說這種計算方法才能正確的反映出各個數(shù)量之間的關(guān)系。為什么說常規(guī)的解法不夠正確呢？那是因為在常規(guī)解法中，只考慮了植樹路段為一家獨有的情況，多栽或少栽一棵都不會出現(xiàn)"爭議"，也就無

13、法判定栽法是否妥當(dāng)。然而當(dāng)植樹路段為多家共有時就會出現(xiàn)一方或雙方將樹栽到了公共端點上的情況，從理論上講這是不正確的。相對于“路邊加一"，"樓間減一"也無道理，因為完全可以按 "間距2米"栽 下5棵而不是4棵樹，至于端點處的兩棵樹與樓相距只有1米的情況，與題意并不矛盾：1、要求"間距2米”可以認為每棵樹需要 2米的生長空間，端點的樹和中間的樹同樣都 具有2米的空間；2、如果把"樓"也看做"樹"而使間距不足，那么則是因為"他”將樹栽倒了公共端點上而侵 占了 “我"的空間，&quo

14、t;我"并沒有栽錯。（點擊圖片可放大）匚1反過來想，如果要將已有的若干棵樹平均分給幾家，不論這些樹是直線分布還是平面分布，無疑是要把分割點（端點）確定在兩棵樹之間而不是在某一棵樹上，至于在某些情況 下（比如劃分衛(wèi)生分擔(dān)區(qū)或除雪 ）將端點確定在路邊現(xiàn)有標(biāo)志物（如電桿或樹）上，那是因為分割的對象是"路"而不是"樹"，這時以固有標(biāo)志物為界限，具有簡單方便、標(biāo)志物不 易移動和消失的好處。"棵數(shù) =段數(shù) " 的算法不僅適用于"路邊 " ，同樣適用于"樓間 " 、 " 四周（圓周）"和 "