點(diǎn)到直線距離公式的另外幾種推導(dǎo)方法

1、點(diǎn)到直線距離公式的另外幾種推導(dǎo)方法“點(diǎn)到直線的距離公式”是新課標(biāo)人教版必修 2數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，教材在推到公式之后給出“請 研究一下，如何用其它方法推導(dǎo)上面的距離公式”的伏筆，因此，筆者給出另外幾種推導(dǎo)方法，供 大家參考。1點(diǎn)到直線的距離公式在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P (x0,yo),直線l: Ax+By+C=0(A . Bw0).設(shè)點(diǎn)P (x0,yo)至U直線l 的距離為d,則dAxoJBy0 2clA2 B2設(shè)點(diǎn)P0(xo，y0)為已知直線l : Ax + By+C =0外一點(diǎn)，如何求它到該直線的距離？解：設(shè)過點(diǎn)P0且與已知直線l垂直的直線為I',垂足為D(x, y),點(diǎn)到l點(diǎn)距

2、離為d ,則d = P0D由 Ax By C =0= ki又因?yàn)?/ ll,所以，k/ = B；1 A B代入點(diǎn)斜式，行： y - y0 (x - x0), A即，Bx - Ay Ay0 - Bx0 = 0,Ay+C”得:Bx - Ay Ay0 - Bx。= 0,_2_ _ 2_B x0 - ABy 0 - ACA y° - ABx 0 - BC22，y 22A2 B2A2 B2- A(Ax° By0 C)x0 =22，A2 B2y - y0- B(Ax0 By0 C)22A2 B2d(x - x0)2 (y - y0)2/22- A(Ax° By° C

3、) - B(Ax° By° C).ILA2 B2, ILA2 B22二(Ax° By° C) A2 B2_ Ax° + By°：C|.A2 B2.即，直線外一已知點(diǎn) P0到已知直線1的距離公式為：Ax° By° CA2B2當(dāng)A=0或B=0,上面的公式依然適用。當(dāng)然，也可以不用上面的距離公式，即當(dāng)A=0 且 Bw 0時(shí),1. C . C直線 1： y=, d= - - y0B B.C ,一y0 +一;當(dāng) A豐 0, B=0 時(shí), BCx0 =Ax C x0A證法二：如圖1,過P作直線1 ' / 1 ,設(shè)直線1

4、'和1分別交x軸于點(diǎn)M、線1于點(diǎn)H ,則MH就等于點(diǎn)P到直線1的距離，記為d .設(shè)直線1'的方程為Ax + By + C ' = 0 ,由于點(diǎn)N，過M作MH _L直圖11'C'= -(A%+ By0)p(X0,y0)在直線 I'上，AX0 + By0 + C'=0,.加'： Ax+ By (A%+ By0) =令 y =0,得XMAxo By。在直線i ：Ax+ By+ C = 0 中,令 y =0,得XNMNXMAh By° C設(shè)直線i的傾斜角為8 ,則 tane =2且 /MNH =冗B: tan1 = -=1 ta

5、n2 二-1a2B2A2 B2B2B2A2 B2 ,A2A2 B2,sin1 二，A2 B2=MNAX0 By° Csin MNH|A|=MN sin(n-8 )=AX0 By° CAX0 By° Csin1Ja2 b2 A2 B2說明：在證法二中，先將點(diǎn) P到直線I距離轉(zhuǎn)化成過點(diǎn) P的且與I平行的直線I'與I的距離，并通過特殊位置X軸上的線段 MN的長，利用三角函數(shù)解決了問題， 體現(xiàn)化斜為直的思想. 當(dāng)然,也可以對證法二進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓瘉碜C明點(diǎn)到直線的距離公式，由興趣的讀者不妨去試一試.2公式的另外幾種推導(dǎo)方法方法1利用直角三角形的面積公式丫 A . BW

6、0, 直線I必與兩坐標(biāo)軸相交，如圖 1, 作PM | X軸交直線I于M ,作PN | y軸交直線I于N, 作PQ! I于Q,則d = I PQ I , d既是點(diǎn)P到直線I的距離，又是RtMPN勺高. d=PM |.|pnMN一_ By。_ C _ Ax。_ C設(shè) M （xi,yo）, N （x0,y2）, M、NC l,勿求出 x1=,y2=ABAx0 By0 CI PM I = I xi-x0 I = I IAI PN I = I y2-y0 IAx。+By° +C BI MN I =V|PM|2 +|PN|2 =VA +B - I Axo+Byo+C I 'AB將代入（）

7、得:d=Ax。 By。C,A2B2（A2+B2W 0）.方法2利用兩點(diǎn)間的距離公式教材指出，由PQ! l可知直線PQ的斜率為,可求出PQ所在直線的方程，從而可求出交點(diǎn)PA的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求IPQ I。"這種方法思路自然，但運(yùn)算較繁”，可是，如果在推導(dǎo)過程中注意運(yùn)算技巧，也并不繁瑣！方法21如圖1,設(shè)Q （ a,b）,則d= I PQ I = J（a-x。）2 +（b-y。）2 ,易得直線PQ的方程為 y-yo=BA（x-x。），即 Bx-Ay=Bx o-Ay。.從而有 “Ba - Ab = Bx。- Ay。Aa Bb C =。2B x。- ABy0 - AC解N ,a=”

8、2, a-x 0=A2 B2AAU，b-yA2 B2B（Ax0 By。 C）0=-A2 B2d= I PQ=-.（a -x。）2 （b - y。）2| Ax。十 By。+C,A2 B2（A2+B2w。）.方法22如圖1,由方法2-1有| b y。_ Ba - x。A =Aa Bb C 二。A（a-x。） B（b-y。）=-（Ax。 By。C）B（a-x。）-AS-y。）：。由（1）2+（2）2得：/2+82）*。）2+/2+82）（忤丫。）2=依*。+8丫。+02,"）2+（"丫 0）2=_2（Ax。 By。C）A2 B2d= 1 PQ 1 = jl（ a x。）2 +（b

9、 y。）2iAxa+a （A2+B2R.,A2 B2方法3利用換元法在方法 22 中，設(shè) b-yo=B t, a-xo=A t,代入彳#(A2+B2) t=-(Ax 0+By+C)t=-Ax0 By0 CA2B2 d = PQI =J(ax。)2 +(by。)2 =$A2 + B2_ Ax。 By。 C.A2 B2(A2+B2W0).方法4利用向量法顯然，直線l的法向量n= (A, B),設(shè)Pi (xi,yi)是直線l上與Q不重合的任意一點(diǎn)，當(dāng)n, P1P為銳角時(shí),d= I PQ I = PP cos e (如圖 2);當(dāng)n,P1P為鈍角時(shí),d= I PQ I = P1P cos( K - 6)P P cos 日=P P I cos 6 I(如圖3).無論直線l的法向量n= (A, B)的方向如何,均有d= I PQ I = P1P I cos 日 I .又,: nP1P=