奶制品的生產(chǎn)與銷售

1、奶制品的生產(chǎn)與銷售一、問題提出問題一：加工廠用牛奶生產(chǎn)用、心兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12 小時(shí)加工成3公斤A1，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤A*根據(jù)市 場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A二能全部售出，且每公斤由獲利24元，每公斤A二獲利 16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí) 間為480小時(shí)，并且設(shè)備甲每天至多能加工100公斤A1，設(shè)備乙的加工能 力沒有限制。試為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)戈力使每天獲利最大，并進(jìn)一步討 論以下3個(gè)附加問題：1）若用35元可以購(gòu)買到1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資？若投資，每天 最多購(gòu)買多少桶牛奶？2）若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，付給臨時(shí)工人

2、的工資最多是 每小時(shí)幾元？3）由于市場(chǎng)需求變化，每公斤4的獲利增加到30元，應(yīng)否改變生產(chǎn) 計(jì)劃？問題二：?jiǎn)栴}1給出的A1,A2兩種奶制品的生產(chǎn)條件、利潤(rùn)，及工廠的“資源”限制全 都不變。為增加工廠的獲利，開發(fā)了奶制品的深加工技術(shù)：用2小時(shí)和3元加工 費(fèi)，可將1公斤A1加工成0. 8公斤高級(jí)奶制品Bi,也可以將1公斤花加工成0. 75 公斤高級(jí)奶制品每公斤及能獲利44元，每公斤R能獲利32元。試為該廠 制定一個(gè)生產(chǎn)銷售計(jì)劃，使每天的凈利潤(rùn)最大，并討論一下問題（1）若投資30元可以增加供應(yīng)一桶牛奶，投資3元可以增加1小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間, 應(yīng)否做這些投資？若每天投資150元，可賺回多少？（2）每公斤高級(jí)奶

3、制品的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)制定的生產(chǎn)銷售計(jì) 劃有無影響？若每公斤及獲利下降10%,計(jì)劃應(yīng)該變化嗎？二、模型假設(shè)和符號(hào)說明2.1模型假設(shè)（1）假設(shè)加即兩種奶制品每公斤的獲利是與它們各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每桶牛 奶加工出An A：的數(shù)量和所需的時(shí)間是與它們各自的產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；（2）假設(shè)人,晟每公斤的獲利是與它們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每桶牛奶加工出Ax,A： 的數(shù)量和所需的時(shí)間是與它們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；（3）假設(shè)加工A,生的牛奶的桶數(shù)可以是任意常數(shù)。2. 2符號(hào)說明An %:牛奶的兩種類型X1:每天用于生產(chǎn)A1的牛奶的桶數(shù)X.每天用于生產(chǎn)A2的牛奶的桶數(shù)三、問題分析與模型建立問題一：數(shù)學(xué)模

4、型 設(shè)每天用&桶牛奶生產(chǎn)A1 ,用小桶牛奶生產(chǎn)A2目標(biāo)函數(shù) 設(shè)每天獲利為z元。x：桶牛奶可生產(chǎn)3x,公斤A1,獲利24*3%, 出桶牛奶可生產(chǎn)4x2公斤A2,獲利16*4治，故z=72x464x2約束條件觥料&應(yīng) 生產(chǎn)%、人的原料（牛奶）總量不超過每天的供應(yīng)50桶，即 Xi+xW50勞動(dòng)時(shí)間生產(chǎn)“、命的總加工時(shí)間不超過每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間480 小時(shí)，即12x8x480設(shè)備能力A1的產(chǎn)量不得超過設(shè)備中每天的加工能力100小時(shí)，即 3x100非負(fù)約束Xi、X?均不能為負(fù)值,即Xi-0, X220 綜上所述可得)/ 7 7 )z )/1 2 3 4 5/lx zf zf /V z(xMax z

5、=72x:+64x: s. t. Xi+x?W50 12xx+8x：480 3x000 Xi20, xcO問題二：數(shù)學(xué)模型:設(shè)每天銷售X,公斤Ao X：公斤A3, 一公斤Br X,公斤B：,用Xs公斤 人加工B：, 用公斤用加工B2 （增設(shè)Xs, 由可使模型簡(jiǎn)單）。目標(biāo)函數(shù)：設(shè)每天凈利潤(rùn)為z,容易寫出目標(biāo)函數(shù)： z = 24&+16及+44先+32乂3先 一 3X6約束條件：原料供應(yīng)：每天生產(chǎn)X1+Xs公斤,用牛奶(Xi+X$) /3桶，A,每天生產(chǎn)XrN 公斤，用牛奶(X2+XJ/4桶，二者之和不得超過每天的供應(yīng)量50桶。即(X1+X5) /3+(X2+X6)/450勞動(dòng)時(shí)間：每天生產(chǎn)kAa

6、的時(shí)間分別為4 (VXs)和2(及+Xj,加工B”B二的時(shí)間分別 為2X5和2X6,兩者之和不得超過總的勞動(dòng)時(shí)間480小時(shí)。設(shè)備能力：川的產(chǎn)量兄+Xs不能超過甲類設(shè)備每天的加工能力100公斤。非負(fù)約束：Xi, X2&均為負(fù)。附加約束：1公斤加工成0. 8公斤Bl,故X3=0. 8Xs,類似的XfO. 75X6綜上所述有：Max z=24 x, +16 x2 +44 x5 +32 x4 -3 x5-3 幾(6)s. t. (xl+x5)/3+(x2+x6)/4W50(7)4 (xl+x5) +2 (x2+x6)+2x5+2x6480 (8)xl+x5W100(9)x3=0. 8x5(10)x4=

7、0.75x6(11)xl, x2, x3, x4, x5, x620(12)四、模型求解問題一：用鼠標(biāo)單擊菜單中的求解命令(SOLVE)就可以得到解答，結(jié)果窗口顯示如 下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)VARIABLEXIX2ROW3360. 000REDUCED COST0.0000000. 000000DUAL PRICESVALUE20. 00000030.000000SLACK OR SURPLUS2)3)4)NO. ITERATIONS二計(jì)算結(jié)果分析:0. 0000000. 00000040. 000000248

8、.0000002.0000000. 000000“LP OPTIMUM FOUND AT STEP20表示單純形法在兩次迭代（旋轉(zhuǎn)）后得到 最優(yōu)“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1） 3360.000” 表示最優(yōu)目標(biāo)值為 3360. 000（LINDO中將目標(biāo)函數(shù)自動(dòng)看作第1行，從第二行開始才是真正的約束條件）?！癡ALUE”給出最優(yōu)解中各變量（VARIABLE）的值：x：=20. 000000, x：=30. 000000c“REDUCED COST”的含義是（對(duì)MAX型問題）：基變量的REDUCED COST值為 0,對(duì)于非基變量，相應(yīng)的REDUCED COST值表示當(dāng)非

9、基變量增加一個(gè)單位時(shí)（其 它非基變量保持不變）目標(biāo)函數(shù)減少的量。本例中兩個(gè)變量都是基變量。SLACK OR SURPLUS給出松弛（或剩余）變量的值，表示約束是否取等式 約束；第2、笫3行松弛變量均為0,說明對(duì)于最優(yōu)解而言，兩個(gè)約束均取等式 約束；第4行松弛變量為40. 000000,說明對(duì)于最優(yōu)解而言，這個(gè)約束取不等式 約束?！癉UAL PRICES”給出約束的影子價(jià)格（也稱為對(duì)偶價(jià)格）的值：第2、第3、 第4行（約束）對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格分別48. 000000, 2. 000000, 0. 0000000 敏感性分析：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED

10、:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEXI72.00000024.0000008. 000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250. 00000010.0000006.6666673480.00000003.33333280.0000004100. 000000INFINITY40.000000“GURRENT COEF “(敏

11、感性分析)的 “ALLOWABLE INCREASE”（允許的增加量）和ALLOWABLE DECREASE”（允許的減少量）給出了最優(yōu)解不變條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù) 的允許變化X圍：XI的系數(shù)為（72-8, 72+24）即（64, 96）。并且，xl系數(shù)的允許X圍需要x2 的系數(shù)保持64不變。X2的系數(shù)為（64-16, 64+8）即（48, 72）。同理，x2系數(shù)的允許X圍需要xl 的系數(shù)保持72不變。CURRENT RHS”則是對(duì)“影子價(jià)格”的進(jìn)一步約束。牛奶的需求量滿足（50-6, 50+10）即（44, 60）o并且,牛奶的允許X圍需要?jiǎng)趧?dòng)時(shí)間保持480小時(shí)不變。勞動(dòng)時(shí)間的需求量滿足（480

12、-80, 480+53）即（400, 533） 同理，勞動(dòng)時(shí)間的允許X圍需要牛奶的用量保持50桶不變。對(duì)附加問題的回答：（1）因?yàn)橐煌芭Ｄ痰挠白觾r(jià)格為48, 3548,所以應(yīng)該進(jìn)行這個(gè)投資。另外， 在敏感性分析中對(duì)“影子價(jià)格”的進(jìn)一步分析表明，每天最多購(gòu)買10桶 牛奶。（2）因?yàn)橐粋€(gè)小時(shí)的勞動(dòng)時(shí)間的影子價(jià)格為2,所以付給臨時(shí)工人的工資最多 是每小時(shí)2。另外，在敏感性分析中對(duì)“影子價(jià)格”的進(jìn)一步分析表明， 每天最多增加勞動(dòng)時(shí)間53小時(shí)。（3）若每公斤”的獲利增加到三十元，則X1系數(shù)變?yōu)?0,根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析, X1的允許X圍為（64, 96）在允許X圍內(nèi)，所以不應(yīng)該改變生產(chǎn)計(jì)劃問題二:就可以得到

13、解答，結(jié)果窗口顯示如用鼠標(biāo)單擊菜單中的求解命令（SOLVE） 下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCED COSTXI0. 0000001.680000X2168.0000000. 000000X319.2000010. 000000X40. 0000000. 000000X524.0000000. 000000X60. 0000001.520000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0. 0000003. 1600003)0. 0000003.

14、2600004)76.0000000.0000005)0. 00000044.0000006)0. 00000032.000000NO. ITERATIONS二2附件1模型源代碼max 72x1+64x2st2)xl+x2503)12xl+8x24804)3x1 100附件2.模型答案LP OPTIMUM FOUND AT STEP2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTXI20.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO. ITERATIONS=2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGES8 / 7VARIABLEXIX2CURRENTCOEF 72.00000