平面向量的正交分解和坐標表示的教學案例

1、平面向量的正交分解及坐標表示的教學案例一.案例要解決的教學困惑：在高中數(shù)學教材中，很多知識，若是學生記住結論，學生就能夠解決一系列的數(shù)學題 目。關于這種知識的教學一直困擾我好久。究竟是簡單地讓學生記住一個公式，一個結論, 或是純粹地仿照技術，仍是要讓學生通過不斷的試探、探討、實踐，試探總結出公式和結 論呢？新的一般數(shù)學課程標準指出：“學生的數(shù)學學習活動不該只限于對概念、結論 和技術的經(jīng)歷、仿照和同意，獨立試探、自主探討、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都 是學習數(shù)學的重要方式。”“教師不僅是知識的教授者，而且是學生學習的引導者、組織者 和合作者?！北景咐_實是為了針對解決如此的困惑而展開的教學試

2、探。二.教材分析：【教材中所處位置】：向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示，實現(xiàn)了向量運算完全代 數(shù)化，實現(xiàn)了數(shù)與形的結合。中學數(shù)學教材新增向量的內容目的之一是將幾何問題的證明 轉化為學生熟知的數(shù)量運算。而向量的坐標運算是實現(xiàn)上述目的的“基礎設施建設”。（強 調向量應用意識）【課時安排】:節(jié)平面向量的大體定理及坐標表示要緊四部份內容1.平面向量的坐標表示, 2.平面向量的正交分解及坐標表示，3.平行向量的坐標運算，4.平面向量共線的坐標表示。 考慮到學生的同意能力，本教學設計將內容2, 3安排為一個課時?！窘虒W目標】L知識目標：使學生明白得平面向量坐標的概念，了解直角坐標系中平面向量代數(shù)化的進

3、程（幾何表 示-線性表示-坐標表示），會寫出直角坐標系內給定的向量坐標，會作出已知坐標表 示的向量；把握平面向量的坐標運算，能正確表述向量的加法、減法和實數(shù)與向量積的坐標運算法 那么，并能運用它們進行向量的坐標運算，明確一個向量的坐標等于此向量的有向線段終 點的坐標減去始點的坐標。2 .能力目標：通過體驗直角坐標系中平面向量的坐標表示的實現(xiàn)進程，激發(fā)學生的探討精神，增強 學生知識的應用意識；通過具體問題的分析解決，滲透數(shù)形結合數(shù)學思想，提高學生從一樣到特殊的歸納能力。3 .德育目標：在數(shù)學中體會知識的形成進程，感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一?！窘虒W重點】：平面向量的坐標表示及坐標運算沖破方法：滲透從特殊

4、到一樣的化歸，數(shù)形結合的思想.【教學難點】：對平面向量的坐標表示生成進程的明白得沖破方法：設置鋪墊，蓄勢成渠，注意進程分析.盡管束材中涉及平面向量坐標表示的筆墨不多，但其中值得體會明白得的東西仍是比 較多，比較有“內涵”。因為之前所學的概念、概念、定理在那個地址取得了綜合應用， 一起作用得出了平面向量的坐標表示。第一課時用意表現(xiàn)知識的形成進程；笫二課時向量 坐標運算應用和向量平行的坐標表示。三.學情分析：關于學生來講，向量是個新內容。前面學生已經(jīng)把握了向量的物理背景和概念，向量 的幾何表示，向量加減法及幾何意義。學生對這塊知識的學習是模棱兩可的，知識的把握 是浮在表面上的。因此，在本課的教學當

5、中教師引導學生取得對問題本質的熟悉是一個具 有挑戰(zhàn)性的教學活動.因此企圖在一節(jié)課中就實現(xiàn)學生聯(lián)系各個模塊知識靈活運用是不現(xiàn) 實的.只有在爾后的學習中，不斷領會、反思、運用活動慢慢深刻明白得并運用它們.教 學中，教師要采取適當?shù)姆绞剑⒁鈫l(fā)引導，不要以自己的方式代替學生的方式，不是 簡單地告知他們如何寫出向量的坐標.要注意引導學生踴躍參與知識形成的關節(jié)點處的討 論、交流等活動，引導學生總結知識取得進程中的思想方式.不要簡化知識發(fā)生進程的教 學，而把中心放在練習強化上.要避免練習中知識的面太大而產生負遷移而阻礙明白得知 識的本質.4 .教學問題診斷分析1 .通過以往該課的教學，大多學生只是麻木地

6、記住向量的坐標是如何表示，全然不去 明白得其發(fā)生進程。記住結果，學生盡管能夠利用它求一系列題目，但如此無益于學生思 維深度性和活躍性的訓練。2 .向量的坐標表示的形成進程比較枯燥，為了提高學生學習的信心和愛好，教師需要有 一個比較有新意的引入。3 .該課時在新舊教材中不同并非大，但如何表現(xiàn)新課程的“新”呢？我以為應該從課 型上進行改變，討論、合作探討的學習方式能激發(fā)學生學習的主動性，課堂上，在教師引 導下教師與學生；學生與學生彼此討論合作探討，使教師與學生、學生與學生之間面對面在一路學習，增進彼此靠近感，排除學生的焦慮心理，學生的主動性受到了激發(fā)，使全班 學生都能取得成績感。另外，教師只起引導

7、作用，把絕大部份發(fā)言時刻讓給學生，討論中 有了更多的學生在發(fā)言，因此，在這種探討性學習中，學生說的機遇是傳統(tǒng)數(shù)學課堂的兒 倍乃至十幾倍。整個課堂氣氛很輕松、烈火，突出了學生的主體地位，調動了學生學習的 主動性。5 .教學方式：啟發(fā)式談話法教 具：多媒體課件講課類型：新講課6 .教學進程：(i ).課題引入(采納多媒體)自我介紹，從姓氏“陳”字引出向量話題課件展現(xiàn)“向量化”的方塊字：筆畫順序-方向線段長度一大小提問：是不是存在相等的向量？存在，有哪些？學生：長度相等且方向相同的向量即為相等的向量教師：強調自由向量一僅由大小和方向確信，與起點位置無關.引入直角坐標系-X軸、y軸、原點、單位長度平面

8、內每一個點都能夠用一對實數(shù)(即它的坐標)來表示，那么 平面直角坐標系內的每一個向量是不是也能夠用一對實數(shù)來 表示？若是能夠，會是如何？板書課題：平而向量的坐標表示及運算設計用意：利用向量化的方塊字引入，比較生活化有新意，激發(fā)學生的學習愛好和學習情感，為新課的自然引入提供契機.另外，教師要抓住每一次在新課中溫習舊知的機遇。(ii).新課講解I.平面向量的坐標表示與x軸正方向相同的單位向量- 1與y軸正方向相同的單位向量教師讓學生把書本翻到95頁并講解正交分解，并通過舉例物理 中的重力沿相互垂直的兩個方向分解，讓學生明白：若是取相互垂直的向量作為基底，會為咱們研窕問題帶來方便。CD = RE =

9、31,FH = 7j=1LK = -ijFG= -4J.AB=?,PQ = ?與x軸方向平行的向量能夠用實數(shù)與1的積表示與y軸方向平行的向量能夠用實數(shù)與的積表示提問：關于既不與x軸方向平行也不與y軸方向平行的向量，如：瓦，而還能用7、J表示嗎？怎么表示？學生：試探，并講出自己的方式。教師總結：不能“單獨”表示，嘗試“合作”表示，由此可鏈接哪 個知識點(涉及一個向量用另兩個向量線性表示)？學生：平面向量的基底表示單位向量7、1是同一平面內兩個不共線的向量，故可作為基底,;而且還具有不同于一樣基底的特殊性-單位向量I ；hJ1= 1 ： (ii).相互垂直;_l, J ； t由平面向量大體定理得/

10、 2.AB = ON = -2i - 2j實數(shù)對4，一是唯一的。設計用意：循序漸進地向學生拋出一個接一個的問題，在不知不覺中學生明白得了向量坐標表示的形 成進程。分解了本課的難點。平面向量的坐標表示問：在這直角坐標系中，你可否找到別離表示這些向量的相應實數(shù) 對？AB = -2；-2J,M7V = -/-7，PC = Z-J,(-2 , -2)(-1,-1)(1 , -1)BE = 3i + 0j,LK = -i + 0j,FG = 0i-4j(3 , 0)(-1 , 0)(0, -4)因此，平面直角坐標系內的每一個向量都能夠按上述方式找到唯一 的實數(shù)對與之對應.試讓學生說說是如何的方式.自習(

11、教材P95頁)向量坐標表示的概念特殊向量的坐標表示：i = (1,0),J = (0,1),6 = (0,0)設計用意：全面鋪墊后學生自習概念，形象思維幫忙抽象明白得，但淡化了平面向量大體定理的應用。通過自己學習向量坐標表示的概念，訓練學生自學能力，和學習的主動性。II.相關練習例1.(1)寫出向量就的坐標,并與礪的坐標進行比較：(2)寫出向量。己55的坐標學生：踴躍試探，獨立完成以后請一同窗說出解題進程教師板演：解：(1)由圖知前=麗BC=2i + 3j,OA = 2i + 3j.BC=O4 = (2,3)(2) OC = 5/ + ),OB = 3/-2OC = (5,l),OB = (3

12、,-2)教師提問：(1)比較心與次的坐標，你能得出什么結論？學生經(jīng)歷觀看、歸納的進程后取得：相等的向量的坐標相同(2)比較向量次，厲,方的坐標與點A.BC的坐標，你又能取得什么結論?“必然”仍是“偶然”？ “偶然”當中的“必然”又是什么？學生經(jīng)歷觀看、婦納的注程后取得：以原點0為起點的向的坐標與點A的坐標相同設計用意：該題一方面檢查學生是不是能夠寫出向量的坐標，另一方面，通過該題取得上述兩個重要的結論。許多結論不該該讓學生死記硬背，而應該通過具體的實例，從中觀看歸納取得。HL平面向量的坐標運算平面向量的運算若是用坐標表示是如何呢？由圖可知OC = OB + BC平而向量的坐標運算(5, 1)

13、= (3, -2) + (2, 3)教師給出:已知4 =（X|，凹）3 =（,>2），求 +bb學生觀看后，試探，并得出a-b = xi + y j)-(x2i + y2j) = (xi-x2)i + (y-y2)j 一 < > -a+b = (xj + yj) + (x2i + y2j) = (xi+x2)i + (y+y2)j：.a+b = (x +x2>yl+y2).a-b = (xi -x2,yi-y2)并請學生總結向量坐標的加減運算方式:兩個向量和與差的坐標別離等于這兩個向量相應坐標的和與差 教師給出：已知a =（M，H）以及實數(shù)4求4。學生通過類比取得蘇=4

14、 +3）=疝；+辦=（枕念）并總結得出:實數(shù)與向量的積的坐標表示:實數(shù)與向量的枳的坐標等于用那個實數(shù)乘原先向量的相應坐標設計用意：滲透特殊到一樣，猜想到證明的數(shù)學思想;BC = OC-OB向量無，歷的坐標與點B.C的坐標相同(2, 3) = (5, 1)-(3,-1)教師要注意板書推導進程，減法和實數(shù)與向量的積運算可讓學生自己證明.教師給出：已知4彳）, 8（%,乃），依照平而向量坐標加減法運算求AB的坐標學生類比特殊取得一樣結果：AB = OB-OA = (x2,y2)-(xi,y)=(x2-xry2-yl)一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標IV .相關練習例2.己

15、知立=(2)3=(一3,4),：面+反一及3% +廊勺坐標解:"+7 = (2,1)+(-3,4) = (-1,5), Z= (2,1)(一3,4) = (5-3)3%+4辦=3(2,1)+4(3,4) = (6,3)+ (-12,16) = (-6,19)設計用意：讓學生鞏固向量坐標的運算，并讓學生體會通過坐標表示向量的幾何運算轉為小學的算術.(iii) .課堂小結：回憶反思所學內容，你有那些體會和收成？課內師生能夠在課內一起回憶與反思本節(jié)課的收成，課外也能夠以數(shù)學小作文的形式或利用校園 網(wǎng)絡上的論壇，BBS,博客等讓學生就自己熟悉最深刻的某一個點或某一個具體問題談談自己的 心得體

16、會，或提出自己的問題.設計用意：提出一個問題比解決一個問題更重要.通過師生的一起回憶反思，增強師生交流，拓展師 生互動的空間，發(fā)揮學生的主體作用，使學生有所思，有所悟.培育學生的學習探討能力， 歸納總結能力.(iv) .作業(yè)布置作業(yè)本2.3.2八.知識結構向垃化的方塊字“陳”引入1» 向量的坐標表東的形成進程呵“簡單的向量坐標加減運算九.【課后反思】通過這節(jié)課的實驗，使自己對數(shù)學教育的熟悉上有了提高，課程標準指出：學生應“通 過不同形式的自主學習、探討活動，體驗數(shù)學發(fā)覺和制造的歷程”，這事實上對咱們教師 提出了更高的要求：“教師不僅是知識的教授者，而且也是學生學習的引導者，組織者和

17、合作者”，因此，上課不止是教會學生如何利用結論，更重若是教會學生如何取得結論。 本課是我對這一要求的一種探討與嘗試。現(xiàn)總結為以下三個方面。1、扮演好“引導者”的角色為了激發(fā)學生學習的熱情，我以自己姓氏引入，極大調動了學生的踴躍性，為整節(jié)課 的課堂成效作了一個專門好的鋪墊。那個環(huán)節(jié)讓我感受到：關于一些“繁、難、偏、舊”的學習內容，單純的機械式同意 學習既無法表現(xiàn)數(shù)學知識的背景與應用，也無法引發(fā)學生的學習愛好。相反，關于這些內 容，若是咱們能夠多試探一下，從學生的生活體會和已有的知識背景動身，向他們提供充 分的從事數(shù)學活動和交流的機遇，引導他們在自主探討的進程中真正明白得和把握大體的 數(shù)學知識與技術、數(shù)學思想和方式，同時取得普遍的數(shù)學活動體會，讓學生感覺到自己是 數(shù)學學習的主人。2、扮演好“組織者”的角色在教學進程中，光作好一個“引導者”的角色是不夠的。不管過去仍是此刻，咱們所 面對的學生層次總有不同，知識背景，實際能力存在不同，組織好教學內容及學習進程， 因材施教永久是咱們教師需要考慮的問題。同時在現(xiàn)代技術的背景下，數(shù)學教學中也顯現(xiàn) 了愈來愈多的新技術手腕，這些都是對傳統(tǒng)教學手腕的有利補充，如何用好這些手腕，一 樣需要咱們教師用心將其整合到教學進程中去，以期讓所有學生都能從中或多或