不定積分習(xí)題

1、習(xí)題課(六)內(nèi)容：不定積分的概念及積分方法根本要求：1.理解原函數(shù)與不定積分的概念.2 .掌握不定積分的性質(zhì)及不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3 .掌握不定積分的積分方法.4 .會求簡單的有理函數(shù)、無理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分. 內(nèi)容與方法精講：1 .原函數(shù)與不定積分的概念1 .原函數(shù)定義：在區(qū)間I上假設(shè)F (x) f(x)(即dF(x) f(x)dx),稱函數(shù)F(x) 是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).2 .原函數(shù)存在的條件：假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間I上連續(xù).那么f (x)在區(qū)間I上有原函數(shù).3 .不定積分：函數(shù) f (x)在區(qū)間I上的所有原函數(shù) F(x) C稱為f (x)在區(qū)間I上 的不定

2、積分,記作 f(x)dx F (x) C.4 .不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：(1) 先積分再求導(dǎo)(或微分)f(x)dx f(x),或 d f(x)dx f(x)dx；(2) 先求導(dǎo)(或微分)再積分F (x)dx F(x) C,或dF(x) F(x) C.5 .不定積分的線性性：(1) kf (x)dx k f (x)dx ；(2) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx.2 .根本積分公式(略)3 .不定積分的方法1 .拆項(xiàng)積分法：利用不定積分的線性性,將一個復(fù)雜的不定積分拆成假設(shè)干個根本積分公 式中的積分,從而進(jìn)行積分.(關(guān)鍵表達(dá)在拆項(xiàng)上,例如：通過有理化；利用三角公式；在分子上加一

3、項(xiàng),減一項(xiàng)等都是常用的手段)2 .湊微分法：f (x) (x)dx f (x)d (x) F (x) C.主要用來解決復(fù)合函數(shù)的積分 確切地說是復(fù)合函數(shù)與之間變量導(dǎo)數(shù)之積的積分要熟練常用的幾個湊微分式子：1(1) f (ax b)dx 一 f (ax b)d(ax b) (a 0)； a0)；,i 一, i .、. i , , i ., ., i .、,(2) x f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) (a a(3)f (ln x)dx f(lnx)dlnx; x(4) exf (ex)dxf(ex)dex；一、 f (arctanx),-2-dxf (arctanx)d ar

4、ctanx ;1 x2(6)f (arcsin x)1 x2dxf (arcsin x)d arcsin x; f (sin x) cosxdx f (sinx)dsinx ；(8)f (cosx)sin xdxf (cosx)dcosx；2(9) f (tan x) sec xdx f (tan x) d tan x ;df (x)f(x)ln f(x) C.(10) f (secx) secxtan xdxf (secx) d secx ；f (x)(11) dxf(x)史換元積分法加二！.力男新多用于解決無理函數(shù)的積分.要掌握幾個常用的固定換元:換幾名稱被積函數(shù)特點(diǎn)具體換元公式換兀目的含

5、有da2 x2x asint二角換兀去根號化含有Vx2a2x atant為有理函含有x atantx a sect數(shù)或二角根式換元含有uaxbt v ax b函數(shù)有理根式換兀人士 1 ax b含有n cx dt陰式的積分倒代換分母哥次比分子嘉次較高x t降低分母哥次4.分部積分法：u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx或 u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)主要用來解決兩類不同的簡單函數(shù)乘積的積分.關(guān)鍵是掌握好u(x)與v (x)的選取,原那么是v (x)好找原函數(shù),u(x)的導(dǎo)數(shù)簡單,積分 u(x)v(x)dx積分u(x)v (x)dx容易(至少

6、不難).要掌握以下幾種常見類型的分部積分：被積函數(shù)類型條件u( x)取作v (x)取作目的哥函數(shù)X三角函數(shù)正整數(shù)次募哥函數(shù)三角函數(shù)降低哥次哥函數(shù)X指數(shù)函數(shù)正整數(shù)次募哥函數(shù)指數(shù)函數(shù)降低哥次哥函數(shù)X對數(shù)函數(shù)實(shí)數(shù)次哥對數(shù)函數(shù)哥函數(shù)去掉對數(shù)函數(shù)哥函數(shù)X反三角函數(shù)實(shí)數(shù)次哥反三角函數(shù)哥函數(shù)去掉反三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)X三角函數(shù)u(x)與v(x)任取,用兩次分部積分,出現(xiàn)“打回頭四.幾類特殊函數(shù)的積分例題精講1,假設(shè) f (x)dx (x 1)e3.設(shè)函數(shù)f (x),sin x, C,求函數(shù) f (x).解：(此題考核導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系.給出不定積分,求被積函數(shù),只需對等式兩邊求導(dǎo))xxx對等式兩邊同日求導(dǎo),有 f

7、(x) e (x 1)e xe .2.假設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f (tanx 當(dāng) x 0時,F(x) f (x)dx ( x)dx - C；2 x) sec2 x ,且 f(0) 1,求函數(shù) f (x).解：(此題也是考核導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系.給出導(dǎo)數(shù),求原函數(shù),只需對等式兩邊求積分.此題要注意積分變量是 tan2 x ,或先將式子f (tan2 x) sec2 x改寫為f (x) 1 x ,再兩邊求積分)對等式兩邊同時求積分,有2、,2(1 tan x)d tan x22、,22, ,2f (tan x) f (tan x)d tan x sec xd tan x21 .2 . 2 一tan

8、x - (tan x) C.一,-1 2_1 2所以,f (x) Cx 萬 x,由 f (0) 1,得 C1 ,于是 f(x) 1 x -x .x 0, 求不定積分f(x)dx.x 0.當(dāng) x 0時,F(x)f (x)dx sin xdx cosx C1.解：(這是分段函數(shù)求不定積分問題,要注意原函數(shù)F (x) f (x)dx.在分界點(diǎn)處應(yīng)連續(xù))有 F(0 )F(0 ) F(0),有Cx 0,x 0.x所以, f (x)dx一C,21 cosx C, 4.假設(shè)f (x)的一個原函數(shù)為ln2x ,求不定積分 xf (x)dx.解：(盡管這也是考核原函數(shù)概念的題目,但是由于在被積函數(shù)中出現(xiàn)了一個函

9、數(shù)與f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)乘積的形式,因此首先要進(jìn)行分部積分)由 f(x)的一個原函數(shù)為 ln 2 x ,即 f (x)dx ln2 x C,所以 f (x)21n x .是,xf (x)dx xf (x)2f (x)dx 2ln x In x C.5 .設(shè)函數(shù)F(x)是f(x)在x 0時的一個原函數(shù),滿足xxef (x)F(x) 2,且2(1 x)2F(0) 1, F(x) 0.求函數(shù)f(x).解：(此題還是考核原函數(shù)概念.由于在條件f(x)F(x)xxe一2中同時出現(xiàn)了f (x)2(1 x)2與F(x),為方便都統(tǒng)一于 F (x),然后再積分)由F(x)是f(x)的一個原函數(shù)及f (x

10、) F (x)xxe22(1 x)2xxe,有 F(x)F(x) 22(1 x)2對上式兩邊同時求積分,得F2(x)2F (x)F(x)dxxxe .2 dx2(1 x)1 x ,.xe d( 2由 F(0)x1 xe1 及 F(x)所以,f (x) F (x)(10 ,得 C 0 ,x/2美-)xe2(1 x)3/2 .6.求以下不定積分 (本例都是典型的、常見的湊微分類型,有些題目要經(jīng)過屢次湊微分)(2)(5)1n xx J ln x(2dx/ x x 4 (e e )dx.4 x2 arcsinx(4)arctan 三1 x2dx ；tan x .dx ；cosx(6)ln tan x

11、, dx.sin xcosxln x解：(1 ),dxx、1 ln x(11ln x)ln x1d(1 ln x)(2)x(e(3)(4)(6).1 Indxx、4e )1/ 2x 773(e 1)11二 / 2x7724(e 1)4x Ie dxd(1 x(e2x 1)4212x/ 2x7-4 d(e(e 1)1_C 6 (e2x 1)3dx4 x2 arcsin 21arctan三1 x2dx1 (x)21arctan 夕,dxx21 G)2arctand arctan-tanxcosxsin xln tanxsin x cosxln x) 2(1lnx)3/23(e： 1)41d (e2

12、x 1) (e2x1)41)2x1 3e12(e2xarcsin 22 . 1 In x C .3 o1)3 Cd arcsin 2arcsing.xln arcsin 21 kG) 1 G)2 x-(arctan-)dx2 Cocosx % cosx3(cosx) 2d cosxC.cosx, ln tanx ,dx -dxtanxcos xln tanx ., dtanx tanx12 .ln tanxdln tanx ln tanx 2C.7.求以下不定積分本例都是有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)的積分不一定都拆成局部分式/ y、x3 1(1)-dx ;x 1(2)x(xdx 1)2 ;(3)d

13、xx8(1x2) 解：此題除了利用局部分式,沒有太好的方法.x3 1；dxx3 131n31n11n 3(13x13(2x 1)dx)dx x 1d(x 2)(；)2(x 如1231n(x1)1 arctanv3(x i)-73一2一(x 1)12arctan2?C.R(xn)(2)(此題屬于 -dx型,可以湊成R(xn)dxn 型)dxx(x3 1)2dx3x3(x3 1)233(x 1) x(3)(此題由于分母的哥次相對于分子的哥次較高,133/ 3x (xdx3-3x1)2 d(x3F xdx31A因此應(yīng)當(dāng)用到代換dtFdxx8 (1 x2己ti7 t-t-dt1 tt arctant)

14、(t6t4t2 1士)dt7x7 5x513x3,1-arctan- C.x8.求以下不定積分(本例都是三角函數(shù)有理式的積分,能不用萬能代換的,盡量不用萬能代換,通常都可以用湊微分求解)sin xcosx , (D -dx ;1 sin x(2)2sin x tan x4 cos xdx ；dx ；sin2x 2 cosx(4)sinx .dx.sinx cosx解：(1)(此題屬于f (sin x) cosxdx 型)sin xcosx1 sindxsinx4- sin xdsinx 1 2d sin2 x1 (sin2 x)21., . 2 、-arctan(sin x) C.(2)(此題

15、屬于R(sin2x,2cos x,tanx)dx型,可作代換tanx t.也可以直接湊微分)一 2sin xtan x ,4dxcos x(tan2 x2sec xtan x)d tan x3 X 2(tan x tan xtan x)d tan x,4tan x4,一3tan x tan x C.(3)(此題有兩個關(guān)鍵點(diǎn),一是要統(tǒng)一角度,二是要將分母上的兩項(xiàng)之和化為一項(xiàng))dxsin 2x 2cosx 2dxcosx(sin x 1)1z 32(sec x sec xtanx)dx -(secxtanx1 (secxtanx In secx4tanx) 1sec2 x1 sin x .3 dx

16、 cos xIn secx tanx)1 sinx 1C (24 cos x4此題解法很多,下面僅介紹幾種有代表型的解法方法一：此題可以通過拆項(xiàng)的方法求解sin x dx 1 (sin x cosx) (sin x cosx)dxsin x cosx 21d(sin x cos x)-Lx 2 sin x cosxsin x cosx方法二伴侶型積分：記11sin xsin x sin x sin xcosxdx cosxcosx , dxcosx兩式相加,得In sin x cosx)sin x , dx, sin x cosxdx x C.C.d (sin x cosx)sin xcosx

17、1 secxdsecx2In secx tanx) C.1 sin x一(1 2 sin xcosxsin x cosxdx.cosx、I)dxcosxIn sin x cos x C.sinx , dx sin x cosxI12(xIn sin xcosx) C.方法三：為將分母化為一項(xiàng),分子、分母同乘cosx2sin x , sin xcosx sin xdx 22sin x cos x cos x sin xsin 2x 1 cos2x , dxcos2x1_ 11. 1_一(1tan 2xsec2x)dx(xIn cos2x222In tan 2x sec2x) C1,.-(x In

18、 sin xcosx) C.方法四：分子、分母同乘2/2 ,通過兩角和公式將分母喚為一項(xiàng),那么sinx , dxsin x cosx1 sin(x2/ 4) cos(x / 4), dxsin(x1 , .-(dx cot(x/4)d(x/4)1 .2(x ln sin x cosx) C.(C/4)11-(x In sin(x /4) C1-1C1 31n 2).方法五：分子、分母同除cosx,然后令ttanx,貝U x arctant ,dxdt1 t2于是sin x , dx sin x cosxtan x , dx1 tan x1 , ,1 一(arctant ln(122t2) ln

19、1 t)tdt 1 (口 _X)dt (1 t)(1 t2)21 t21 t八 1,.、八C (x In sin x cosx) C.x方法k：用萬能代換,令 tan u ,那么2sinx ,4udu/ 1dx 2(2sinx cosx (1 u )(1 2u u )1 u1,2、1,八 2 八arctanu -ln(1 u ) -ln 1 2u u C22u1 u21 u 2uj)du12 x一x ln(1 tan2 -) ln122x 2tan2tan2- C.29.求以下不定積分(本例都是無理函數(shù)積分,如果能夠通過湊微分求解,當(dāng)然最好；如果不能用湊微分求解,就要設(shè)法去根號)(1)x3 v

20、14 x2dx；(3)xdx解：(1)此題屬于f(x2)xdx類型,直接湊微分即可,當(dāng)然也可以用三角代換x 2sint方法一:x3 4 x2dx4 (4 x2) . 4 x2dx24(4 x2)1/2d(4 x2) 1(452 5/2 x )423/2二(4 x )3C.方法二：令 x 2sint ,貝U dx 2cost ,于2 ,cc .x dx 32 sin32t costdt 32/ 4(cos2 、,cos t)d cost32 cos5 t532 cos31 C35(42 )5/2f(4x2)3/2 C.(2)方法一 :x0 時,令 x sect(0 t/2),dxx i x2 1

21、sect tant , dtsect tantdtc arccos- C.x一 dx1x 0時,方法類似,結(jié)果為廠_ arccosj C.X、x2 1x方法二：此題也可以通過雙曲函數(shù)代換到達(dá)去根號的目的.當(dāng) x 0時,令 x cht (t 0),(當(dāng)dx ch t , dsh t 廠出Fx、x2 1 ch t 1 sh t方法三：此題特別,作代換 x2 1當(dāng)x 0時,令Vx2 1 t ,那么xdxtdt 出x、x2 1t(1 t2)1 t2當(dāng)x 0時,方法類似,令Jx2 1x 0時,方法類似,結(jié)果相同)2 arctan(sh t) C arctan. x 1 C.t ,也可以到達(dá)去根號的目的.

22、2tdt1 t ,dx 2,1 t2arctan t C arctan . x2 1 C.,那么xv1 t2 ,結(jié)果相同dxx x2 1_dt_,1 t2當(dāng)x 0時,dxx x x2 1dt1 t2arcsin t C,1-arcsin 一 C .x方法四：由于分母上x的哥次比分子上 x的哥次高一些,因此可考慮倒代換,人 1dt令x 7那么dx 干.于是,當(dāng)x 0時,有八.1 八arcsin t C arcsin 一 C . x(3)此題解法也較多,各種解法的目的都是取根號.方法一：按R(x, n；,a-b-)dx類型作. cx ddx2tdt(1 t2)2于是dt1 t2C.arctan t

23、 2 C arctan1 t2方法二：分子、分母同乘 x,轉(zhuǎn)化為 R(x, Vax2 bx c)dx型xdxx d(x 1/2)dx2 xd(x x2)(1/2)2 (x 1/2)21 2xdxx x212-arcsin(2x 1) x x C.xdx 一 注：轉(zhuǎn)化為. 后,也可以用代換 x. x x21 1sint22求解方法三：令x.2 ,sin t ,貝U dx 2sintcostdt ,arcsin xc 2 ,2 sin t costdt (1 cos 2t)dt costx x2 C.4此題不是常見的典型題,這里出現(xiàn)了復(fù)合函數(shù),當(dāng)時看不到解法時,可以考慮用中間變量作代換進(jìn)行試解.如

24、該題可考慮的換元有:x2、t Vx、t 1 3x2或t V1 Vx2 ,通過試解,發(fā)現(xiàn)第二和第四種換元更好一些.2 一3t dt ,于方法一：不妨設(shè)x 0 x 0時也類似令t 次,那么x t3, dxxdxt2)5/2.t5dt31 t23 (1 t22 2_22)22(1 t2) 1)()d(11 t2t2)51I.注：轉(zhuǎn)化為方法二：令txdx2(1 t2)3/23.1 t2CC.、5/232、3/2)2(1 x ), 5 ,3 1出后也可以再作代換 t tanu求解 ,1 t2V1 Vx2 ,那么 xv1(t2 1)3 , dx3t43.3x2)5/210.求以下不定積分c c t 52t

25、33 (t 1)出 3(gT t) C本例都屬于分部積分類型C.xcosx(1)-3sin xarcsin x .一,dx；,1 xxln x .()2.3/2 dx ;(1 x )arctan xxeXdx(4)用；(5 ).,x (1 x )e* * x 1(6)1ndeX)dx.解：1此題屬于募函數(shù)正整數(shù)次哥x三角函數(shù)類型的積分,要試圖先將三角函數(shù)湊到微分號后面,即先求出三角函數(shù)局部的積分.xcosx ,3 dx sin xxd sin x 1,1, 3二 xdsin x2 sin xdx 1 x)二(cotx)sin x2 sin xC.2此題屬于募函數(shù)非正整數(shù)次哥X對數(shù)函數(shù)類型的積分

26、,要試圖先將備函數(shù)湊到微分號后面,微分號外面只留對數(shù)函數(shù).xln xZ 23/2(1 x )dx1 ln xd (1 x2) 2(1 x2)3/21ln xln xd.1 x21 x2dxx“1 x2ln x d (1/ x).1 x21 (1/x)2ln x1nLi f CC.ln x ,1. 1 x2ln1 x2 (1 x ) x13此題屬于募函數(shù)非正整數(shù)次哥x反三角函數(shù)類型的積分,要試圖先將備函數(shù)湊到微分號后面,微分號外面只留反三角函數(shù).arcsin x , 八dx 21 xarcsin xd 1 x 2.1 x arcsin x1 ( x)2 xdx2 1 x arcsin . xW

27、2v1 x arcsin 7 x 2Jx C .x4此題也屬于募函數(shù)非正整數(shù)次哥X反三角函數(shù)類型的積分,直接將募函數(shù)湊到微分號后面有一定困難,可以先單獨(dú)進(jìn)行這局部的積分.由于T)dx x1,一 arctan x C,所以 xarctanxx2(1 x(arctanxx(arctanxx-dx ),2 arctan,2 arctanarctan x, .J ,、arctanxd(- arctanx)xx)x)(x(xarctanx)-x2)dx xdx2 xarctanxdarctanxarctan2 x2Iln-212x2xC.5此題屬于募函數(shù)正整數(shù)次哥X指數(shù)函數(shù)類型的積分,要試圖先將指數(shù)函數(shù)

28、湊到微分號后面.xexdxxd(ex 1)一 ex 12 xd . ex 12(x. ex 1.ex 1dx)對積分 vex 1dx ,令Jexln(1t2) , dx2tdt2 ,1 t2、ei 2 霽22(. ex 1 arctan. ex 1)(1C/2.2(tarctant)xexdxx d2(x 2), e 1 ex 14arctan ex 1)C.6此題比擬特殊,困難在于含有對數(shù)函數(shù),這時可以先將對數(shù)以外的東西湊到微分號內(nèi)微分號外只留對數(shù)函數(shù),通過分部積分進(jìn)行試解.ln(1 ex)xeln(1 ex)dxln(1 ex)deln(1 ex)/ 11 a x9 rv)dexeln(1

29、 ex)exdxxxe (1 e )11.求以下不定積分本例又是一種積分類型.積分的即原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示ln(1 ex) C.在這種積分中,其中有一局部是不能進(jìn)行,這一局部暫時不要管它,先對其它局部進(jìn)行積分,在積分過程中會產(chǎn)生出不能進(jìn)行積分的局部的相反的值,從而將那局部抵消掉解：1ln x 1 , 一2一dx；ln2xln x 12dx ln xdxln x(2) e2x(1 tanx)2dx.dx 2 ln xx( )1dx ln x ln x xdx 2 ln xdxdx2, 2In x In x In xxIn xC.(2)e2x(1 tanx) 一 arctanxdxe2x(1 2tanx tan2 x)dx2x,2e (sec x 2tan x)dx2x2x ,e d tan x 2 e tan xdx2 x_ 2x_ 2xe tan x 2 e tan xdx 2 e tan xdx2x , e tan x C.同步練習(xí):/3 3 3 -、(-x4 - x x C )54