等腰三角形三線合一典型題型

1、等 腰 三 角 形 三 線 合 一專 題訓(xùn)練姓名例1:如圖，四邊形 ABC砰,AB/ DG BE CE分別平分/ ABG / BCD且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC變 1:如圖，AB/ CD /A= 90° , AB= 2, BO 3, C4 1, E是 AD邊中點(diǎn)。求證：CEL BE變2:如圖，四邊形 ABC沖，AD/ BC E是CD上一點(diǎn)，且 AE BE分別平分/ BAD/ABCDML DBDC(1)求證：AE1 BE (2)求證：E是CD勺中點(diǎn)；(3)求證：A9BGABAC于M N,求證：(1) D陣DN等腰直角三角形，/ BAC=90,AB=AC.若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D

2、作DMNAC延長(zhǎng)線交于M N。問(wèn)DMf口 DN有何數(shù)量關(guān)系。(1)已知：如圖，AB=AC E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 BE=CF EF交BC于點(diǎn)D.求證：DE=DFA(2)已知：如圖，AB=AC E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),D,且D為EF的中點(diǎn). 求證：BE=CF且，EF交BC于點(diǎn)利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在 ABC中，AB=AC P為底邊BC上的一點(diǎn)，PD±AB于D, PE±AC于E,?CF± AB于F,那么PD+P冉 CF相等嗎？變1:若P點(diǎn)在直線BC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，則 PD PE與CF的關(guān)系又怎樣，請(qǐng) 你作圖，證

3、明。A1、已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4、9,則它的周長(zhǎng)為（）A17B22C1減 22D13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律11例 1.在 ABC中，AB=AC / 1 = 1 / ABC Z 2= 1 /ACB BD與 CE相交于點(diǎn) O,如圖，/ BOC的大小與/ A的大小有什么關(guān)系？若/ 1 = 1/ABC / 2=1/ACB則/ BOCW/A大小關(guān)系如何？若/ 1 = 1/ABC /2=1/ACB 貝U/BOCf/A大小關(guān)系如何？會(huì)用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例2.如圖，等腰三角形ABC中,AB=AC 一腰上的中線BD?等這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)

4、.利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA PB PC,?以BP為邊作/ PBQ=60 ,且BQ=BP連結(jié)CQ(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若PA PB: PC=3 4: 5,連結(jié)PQ試判斷 PQC勺形狀，并說(shuō)明理由.例1、等腰三角形底邊長(zhǎng)為 5cm,腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為差是3cm的兩部分,則腰長(zhǎng)為()A、2cmB 8cmC 2cm或 8cmD 不能確定例2、已知AD為4ABC的高，AB=AC 4ABC周長(zhǎng)為20cm, 4ADC的周長(zhǎng)為14cm,求AD的長(zhǎng)。例3、如圖，已知OE/ AB, OF/ AC,BC=3

5、/ABCffl /ACB的平分線相交于點(diǎn) Q 求 OEF的周長(zhǎng)。例4、如圖，已知等邊 ABC中，D為AC上中點(diǎn), 長(zhǎng)BC至ij E,使CE=CD連接DE，試說(shuō)明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為 個(gè)三角形是()則這A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等邊三角形D、等腰直角三角形 例6、（1）等腰三角形的腰長(zhǎng)為10,底邊上的高為6,則底邊的長(zhǎng)為。（2）直角三角形的周長(zhǎng)為12cm,斜邊白長(zhǎng)為5cm,則其面積為；（3）若直角三角形三邊為 1, 2, c,則c=。例7、下列說(shuō)法：若在 ABC中a2+b2乎c2,則4AB杯是直角三角形；若 ABC是直角三角形，/ C=9d,則a2+b2=c2

6、;若在 ABC中,a2+b2=c2,則/ C=9d;若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上）。例8、正三角形ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P,使彳# PAB APBCC PCAtB是等腰三角 形，則這樣的P點(diǎn)有（）（A） 1 個(gè)（B） 4 個(gè)（C） 7 個(gè)（D） 10 個(gè)例 9.四邊形 ABC碑,AB=BC, / AB（=/CDA90° , BH ADT點(diǎn) E,且四邊形 ABCD的面積為8,則BE=（）AP=4,A. 2B. 3 C. 2.2 D. 2.3例10.已知 ABC為正三角形，P為其內(nèi)一點(diǎn)，且BP=2打，CP=2貝

7、U4ABC的邊長(zhǎng)為（）(A) 2而(B) 2<7 (Q 4 (D) 4V2三.鞏固練習(xí)1、已知等腰三角形的一邊等于 5,另一邊等于9,求它的周長(zhǎng)。2、在 ABC中，AB=AC / B=4C0,則/ A=。3、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是 700,則它的頂角為。4、有一個(gè)內(nèi)角為40°的等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.140°呢5、如圖，在 RtAABC, / C= 105°,直線 BD交 AC于 D,/C把直角三角形沿著直線 BD翻折，點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上，D、T如果4AB虛等腰三角形，那么/ A等于（）,（A）40 o（B）30 o（C）25 o（D） 15&

8、#176;BA6、若 ABC三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則 ABC的形狀為（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等邊三角形7、判定兩個(gè)等腰三角形全等的條件可以是（）A、有一腰和一角對(duì)應(yīng)相等B、有兩邊對(duì)應(yīng)相等C、有頂角和一個(gè)底角對(duì)應(yīng)相等D、有兩角對(duì)應(yīng)相等8、等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（）A、頂角B、底角C頂角白一半D、底角的一半9、在等腰三角形 ABC中，/ A與/ B度數(shù)之比為5 ： 2,則/ A的度數(shù)是（）A、100° B、75° C 150° D、75° 或 100 1

9、0、如圖，P、Q是4ABC邊 BC上的兩點(diǎn)，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 則/ BAC=（）A、1250B、1300C、90°D 120011、如圖， ABC中，AB= AC, BD CE為中線，圖中共有等腰三角形（）個(gè)13、如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲(chóng) P在邊框AC上（端點(diǎn)A、 A C除外），設(shè)A甲蟲(chóng)P到另外兩邊距離之和為d,等邊三角形ABC的高為h,則d與h的大小關(guān)系是（）【解題方法指導(dǎo)】 例1.已知，如圖，AB= AO CD求證：/ B= 2/D例2.已知，如圖， ABC是等邊三角形，AD/BC, AD±BD, BO6,求AD的長(zhǎng)【考點(diǎn)指要】等腰三角形、

10、等邊三角形及含30 °角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計(jì)算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】例 1. （ 2005 年蘇州）如圖，等腰三角形 ABC的頂角為120° ,腰長(zhǎng)為10,則底邊上的高A4。例2.已知，如圖， ABC中，/ C= 90° , AB的垂直平分線交 AB于E,交AC于D, A況8, /A= 30° ,求 CD的長(zhǎng)。例3.已知，如圖， ABC是等邊三角形，E是AB上一點(diǎn)，D是AC上一點(diǎn)，且AE= CD,又BD

11、與CE交于點(diǎn)F,試求/ BFE的度數(shù)。【綜合測(cè)試】1 .已知，如圖，AB= AG /ABD= /ACD 求證：DB= DC2 .已知，如圖，D E是BC上兩點(diǎn)，AB= AC, AD= AE,求證：BD= CE3 .已知，如圖， ABC中，DE/BC, AB= AC,求證：AAAE4 .已知，如圖， ABC中,AB= AC, D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于 F,又 BD= CE,求證：DF= EF5 .已知，如圖，D是BC上一點(diǎn)， ABC BDEB是等邊三角形，求證： AD= CE6 .已知，如圖， ABC中，/ B= 90° , AC的垂直平分線交 AC于D,交B

12、C于E,又 Z O 15° , EO 10,求 AB的長(zhǎng)。例6、如圖11,在4ABC中，/ A= 90° , AB= AC，D為BC邊中點(diǎn)，E、F分別在 AB AC上，且 DEL DF,求證：AE+ AF是一個(gè)定值.證明：連接AD,V AB= AC, D為 BC中點(diǎn)，ADL BC. /BAC= 90° , AB= AC,. / B= / C= 45° ,/BA445° , / CA氏45° ,. AD= BD= CD. /EDF= 90° ,./ EDA / ADF= 90° ,又由 AD, BC得/ BD曰 /A

13、DE= 90° , . / BDE= / ADF在ABDE和AADF中，/ B= / DAF BD= AD, / BDE= /ADF BDEAADFBE= AF,. AE+ AF= AE+ BE= AB （定值）.思考：四邊形 AEDFB勺面積是否也是定值呢？為什么？例4、如圖9,已知AD為4ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F,且有BF= AC， FD= CD你認(rèn)為BE與AC之間有怎樣的位置關(guān)系你能證明它嗎？證明：線段BE!AC,理由如下：V ADL BC,二/AD& /ADC= 90/ FBA / BFD= 90° ,在 RtBDF和 RtADC, BF=

14、 AC, FD= CR RtABDF RtAADC丁./BFA / C,，/FBA / C= 90° , ./BEC= 180° (/ FBA /C) =180° -90° =90° ,即 BE! AC.例5、如圖10,在 ABC中，/ AC氏90°2_22AM BM 2CM .AO BC, M是AB上一點(diǎn)，求證:證明：過(guò)C作CDLAB于點(diǎn)D,/AC+ 90° , AO BC, CDL AB,，/A= / B= 45° , /AC氏 / BC氏 45°/ A= / ACD / B= / BCD，AA BD

15、, BD= CQ 即 AA BA CDCDLAB,DM 2 CD2 CM 2 ,.22_ 2 2AM BM (AD DM ) (BD DM )22( DM2、2CD ) 2CM .思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋囉昧硗獾姆椒▉?lái)證明本題例 1、如圖 5,在 ABC中，AB= AG 點(diǎn) O在4ABC內(nèi)，OB= OG 求證：ACLBC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D,V AB= AC, OB= OC OA OA . . ABB AAC(O丁. / BAO= / CAO 即 / BAA / CAD.ADL BC,即 AOL BC.例2、如圖6,在等邊 ABC中，D、E分別在邊BG BA的延長(zhǎng)線上，且 AE= BD,求

16、證：CE= DE.證明：過(guò)E作EFLCD于點(diǎn)F,ABC是等邊三角形，./ B= 60° ,./ BEF= 30° ,，BE= 2BF,即 BA AE= BO BD= 2BO CA 2 (BO CF), C氏 2CF,CF= DF,在ACEF和 DEF中，CF= DF, / CFE= / DFE= 90° , EF= EF,.CEF DEFCE= DE.例3、如圖7,已知在 ABC中，AB= AC, P為底邊BC上任意一點(diǎn)，PD±AB于點(diǎn)D,圖7PE±AC于點(diǎn)E,求證：PD+ PE是一個(gè)定值.解：連接AP,過(guò)點(diǎn)C作CF± AB于點(diǎn)F,1

17、1由 S ABC AB CF , S PAB AB PD , 22S PAB S PAC ,11仆S PAC-ACPE-ABPE ,SABC2211得：一AB CF AB PD1 AB PE2即，PD PE CF （定值）.說(shuō)明：本例的結(jié)論可用文字語(yǔ)言敘述為:等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高.拓展：如果點(diǎn)P不是在邊BC上，而是在BC的延長(zhǎng)線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢?解：連接AP,過(guò)點(diǎn)C作CF，AB于點(diǎn)F,（如圖由 S ABC2 AB c1CF , S PAB AB PD 2S PAC2AC1 PE AB2PE ，S ABCS PAB1得：一AB

18、CF21-AB PD 21AB 2即，PD PE CF （定值）即，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí),PD與PE之差為一定值.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、填空題:（1）等腰三角形中，如果底邊長(zhǎng)為6, 一腰長(zhǎng)為8,那么周長(zhǎng)是(2)如果等腰三角形有一邊長(zhǎng)是 6,另一邊長(zhǎng)是8,那么它的周長(zhǎng)是；如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4、8,那么它的周長(zhǎng)是。(3)等腰三角形的對(duì)稱軸最多有條。2、填空題：(1)如果 ABC是等腰三角形，那么它的邊長(zhǎng)(或周長(zhǎng))可以是()A 三條邊長(zhǎng)分別是 5, 5, 11B、三條邊長(zhǎng)分別是 4, 4, 812C、周長(zhǎng)為14,其中兩邊長(zhǎng)分別是4, 5D、周長(zhǎng)為24,其中兩邊長(zhǎng)分別是6,(2)等腰三角形一邊長(zhǎng)為

19、 2,周長(zhǎng)為5,那么它的腰長(zhǎng)為()A、3B、2C、1.5D、2 或 1.53、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是底邊的3倍，周長(zhǎng)為35cm,求等腰三角形各邊的長(zhǎng)。4、已知：如圖，AD平分/ BAC AB=AC請(qǐng)你說(shuō)明 DB混等腰三角形。5、已知等腰三角形的底邊和一腰長(zhǎng)是方程組的解， x+2y=4求這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)。(1)等腰三角形的頂角平分線、互相重合。(2)等腰三角形有一個(gè)角是120。，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)是和(3) ABC中，/ A=/ B=2/ C,那么/ C=o(4)在等腰三角形中，設(shè)底角為 x ,頂角為v； 則用含x的代數(shù)式表示V,得 y=;用含y的代數(shù)式表示x,得x=。2、選擇題：(1)等腰三角形的一個(gè)外角為 140° ,那么底角等于()A 40° B、100° C 70° D 40° 或 70°(2)等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于()A、頂角B、底角C頂角白一半D、底