泄露天機(jī)——2016年金太陽高考押題精粹數(shù)理(教師用卷)

1、江西金太陽好教育云平臺資源中心泄露天機(jī)2016年金太陽高考押題 精粹數(shù)學(xué)理科本卷共48題，三種題型：選擇題、填空題和解答題。選擇題30小題，填空題4小題，解答題14小題。 1.已知集合則等于（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】得，2. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】試題分析：，則由，得，所以，所以，其在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)為，位于第三象限.3.若復(fù)數(shù)滿足,則的實(shí)部為（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由= ,得=,所以的實(shí)部為,故選A4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）A B

2、. C D 【答案】B【解析】選項(xiàng)C、D不是奇函數(shù)， 在上都是增函數(shù)，只有選項(xiàng)B符合. 5.若是圖象上不同兩點(diǎn),則下列各點(diǎn)一定在圖象上的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵趫D象上,所以 ,所以,因此在圖象上,故選C6.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】C頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為7.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)，則滿足的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知表示的區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形，面積為4，滿足的區(qū)域即為圖中陰影部分，面積為，所以所求概率為，故選D8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖

3、，輸出的結(jié)果S的值是（ ） A2 B C3 D【答案】A由程序框圖知：；; ;，可知S出現(xiàn)周期為4，當(dāng) 時，結(jié)束循環(huán)輸出S，即輸出的 .9.一個算法的程序框圖如右圖所示，若輸入的x值為2016，則輸出的值為 ( ) A.3B.4 C.5D.6【答案】A10.若向量滿足，的夾角為60°，在上的投影等于 ( )A. B.2 C.D.42【答案】：C【解析】：在上的投影為11.不等式組的解集記為D，有下面四個命題： p1：， p2：，p3：， p4：，其中的真命題是 ( )Ap1，p2 Bp1，p3 Cp1，p4 Dp2，p3【答案】D【解析】可行域如圖所示，A(1，3),B(2，1)，所

4、以所以，故p2，p3 正確，故答案為D.12.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如下左圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時,它的俯視圖可能是（ ）【答案】B【解析】由直觀圖可知俯視圖應(yīng)為正方形,排除A,C,又上半部分相鄰兩曲面的交線看得見,在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線,故選B.13一個幾何體的三視圖如圖2所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D.7【答案】A【解析】該幾何體是棱

5、長為2的正方體截去一個三棱錐后所得的多面體，其體積為14.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且x1x2x20200，則等于（ ）A10 B20 C30 D40【答案】B【解析】數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，是等差數(shù)列.  又=， . 又.15.九章算術(shù)之后，人們學(xué)會了用等差數(shù)列的知識來解決問題，張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30天計）共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布. A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)從第2天起每天比前一天多織d尺布m , 則由題意知

6、解得 16.在某次聯(lián)考測試中，學(xué)生數(shù)學(xué)成績，若則等于（ ）A0.05 B0.1 C0.15 D0.2【答案】B【解析】由題意知，則由正態(tài)分布圖象的對稱性可知，故選B17由1,2,3,0組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中0不在個位上，則這些三位數(shù)的和為（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320【答案】A【解析】分兩種情況：（1）所有不含0的三位數(shù)的和為，(2) 含0且0只能在十位上的三位數(shù)的和為，那么可得符合條件的這些三位數(shù)之和為.18.已知若=2,則等于（ ）A. B. C.0 D. 1【答案】A【解析】因?yàn)?所以 ,所以+=1+=0, 所以19.函數(shù)部分圖象如圖所示，對不同的

7、，若，有，則（ ）A在上是減函數(shù) B在上是減函數(shù) C在上是增函數(shù) D在上是增函數(shù)【答案】C【解析】由圖可知，又由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以由五點(diǎn)法作圖，得，所以，則，即，所以，所以，在上，所以在上是增函數(shù)，故選C20若，則的值是（ ）A. B. C125 D.【答案】C【解析】令，得；令，得，即又，所以，故選C21.設(shè)點(diǎn)、分別是雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),直線交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】顯然,所以由是等腰三角形得.易知, ,所以,解得 .故選D.22.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交其于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，則的面積為（

8、） A. B. C. D.2【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為及，點(diǎn)到準(zhǔn)線 的距離為 3，,即，則 ，的面積為 .23.已知圓，圓，橢圓的焦距為，若圓都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】由題意，得圓的圓心分別為和，半徑均為，滿足題意的圓與橢圓的臨界位置關(guān)系如圖所示，則知要使圓都在橢圓內(nèi)，則需滿足不等式，所以離心率，故選B24.已知向量、滿足,、分別是線段、的中點(diǎn)若,則向量與向量的夾角為（ ）A B C D【答案】A【解析】.由,可得,所以,從而.故選A.25.已知函數(shù)滿足條件：對于，唯一的，使得.當(dāng)成立時，則實(shí)數(shù)( )A. B. C.+3 D.+3【答案】D【解

9、析】由題設(shè)條件對于，存在唯一的，使得知在和上單調(diào)，得，且.由有，解之得，故，選D.26.函數(shù)的圖象大致為（ ）【答案】D【解析】當(dāng)時，所以，排除B、C；當(dāng)時，由于函數(shù)比隨的增長速度快，所以隨的增大，的變化也逐漸增大，排除A，故選D27.已知定義在上的函數(shù),為其導(dǎo)數(shù),且恒成立，則（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則由得，即令，則，所以在上遞減，所以，即，即，故選C28.若過點(diǎn)與曲線相切的直線有兩條,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率=,所以切線方程為,把代入得,整理得,顯然,所以,設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個不

10、同交點(diǎn),由 ,可得在遞增,遞減,在處取得極大值,結(jié)合圖象,可得 ,故選B.29.已知四邊形的對角線相交于一點(diǎn),則的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】取,則；設(shè),則所以 , 求得,當(dāng)且時,取到最小值,此時四邊形的對角線恰好相交于一點(diǎn),故選C.30.定義在上的函數(shù)對任意都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于（1,0）成中心對稱，若滿足不等式，則當(dāng)時，的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】不妨設(shè)，則由，知，即，所以函數(shù)為減函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于成中心對稱，所以為奇函數(shù)，所以，所以，即因?yàn)?，而在條件下，易求得，所以，所以，所以，即，故選D31.已知邊長為的正的三個頂點(diǎn)都在球的表面上，且

11、與平面所成的角 為，則球的表面積為_【答案】【解析】設(shè)正的外接圓圓心為，易知，在中，故球的表面積為.32.設(shè),當(dāng)實(shí)數(shù)滿足不等式組時，目標(biāo)函數(shù)的最大值等于2，則的值是_【答案】【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域?yàn)閳D中陰影部分，目標(biāo)函數(shù)可寫為，因?yàn)椋?，將函?shù)的圖象平移經(jīng)過可行域時，在點(diǎn)處取最大值，此時，所以有，解得.33.已知數(shù)列中,對任意的,若滿足（為常數(shù)）,則稱該數(shù)列為階等和數(shù)列,其中為階公和；若滿足（為常數(shù)）,則稱該數(shù)列為階等積數(shù)列,其中為階公積,已知數(shù)列為首項(xiàng)為的階等和數(shù)列,且滿足；數(shù)列為公積為的階等積數(shù)列,且,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,則 _【答案】【解析】由題意可知,又是4階等和數(shù)列,因此該數(shù)

12、列將會照此規(guī)律循環(huán)下去,同理,又是3階等積數(shù)列,因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去,由此可知對于數(shù)列,每12項(xiàng)的和循環(huán)一次,易求出,因此中有168組循環(huán)結(jié)構(gòu),故34.用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1,3,9，的因數(shù)有1,2,5,10，那么 .【答案】【解析】由的定義易知當(dāng)為偶數(shù)時，且當(dāng)為奇數(shù)時，令，則，即，分別取為并累加得又1，所以，所以令，得35.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)若，的面積，求.【答案】：（1），（2）.【解析】：（1）由，得，即，亦即，.,.（2）由（1）得.由，得.由余弦定理，得，即.,將代入，得，. 36.（本小題

13、滿分12分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)樗运?（2）在中，由正弦定理得，故.又解得.在中，由余弦定理得37.（本小題滿分12分）已知公差不為的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2） 【解析】：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得解得或（舍），故 (2)由（1）知，依題有解得 38.（本小題滿分12分）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】(1)

14、由得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由成等比數(shù)列得=(+8)，解得=1，.（2）由(1)可得，即， -可得.39.（本小題滿分12分）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機(jī)遇,2015年雙11期間,某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣.與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,對商品的好評率為0.6,對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中,設(shè)對商品和

15、服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量：求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；求的數(shù)學(xué)期望和方差.（,其中）【答案】（1）能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)； （2）012345 【解析】：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表如下：對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān).(2)每次購物時,對商品和服務(wù)都好評的概率為,且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列為：012345由于,則40.（

16、本小題滿分12分）某市組織高一全體學(xué)生參加計算機(jī)操作比賽，等級分為1至10分，隨機(jī)調(diào)閱了A、B兩所學(xué)校各60名學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)如下：（1）計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較； (2) 記事件為“校學(xué)生計算機(jī)優(yōu)秀成績高于校學(xué)生計算機(jī)優(yōu)秀成績”假設(shè)7分或7分以上為優(yōu)秀成績，兩校學(xué)生計算機(jī)成績相互獨(dú)立根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件的概率【答案】（1）（2）.【解析】：（1）從A校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知：成績分別為4分、5分、6分、7分、8分、9分的學(xué)生分別有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?，A校樣本的方

17、差為. 從B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表可知：B校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?，B校樣本的方差為. 因?yàn)樗詢尚W(xué)生的計算機(jī)成績平均分相同，又因?yàn)?，所以A校的學(xué)生的計算機(jī)成績比較穩(wěn)定，總體得分情況比B校好. (2) 記表示事件“A校學(xué)生計算機(jī)成績?yōu)?分或9分”，表示事件“A校學(xué)生計算機(jī)成績?yōu)?分”，表示事件“B校學(xué)生計算機(jī)成績?yōu)?分”，表示事件“B校學(xué)生計算機(jī)成績?yōu)?分”，則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥， 由所給數(shù)據(jù)得，發(fā)生的概率分別為， 故 41.（本小題滿分12分）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面=，且，且（1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值

18、等于？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由【答案】：（1）證明見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值為，理由見解析【解析】：（1）證明：（方法一）由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，所以易知平面的一個法向量等于，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面（方法二）由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直連結(jié)，其交點(diǎn)記為，連結(jié)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為中點(diǎn)因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且又因?yàn)椋?，所以，?所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值為理由如下：因

19、為，設(shè)平面的一個法向量為，由得取，得平面的一個法向量假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于設(shè)，則，所以所以，解得或（舍去）因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角的正弦值等于42.（本小題滿分12分）正方形與梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)在線段上且不與重合（1）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時，求證：；（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積【答案】：（1）證明見解析；（2）【解析】：（1）由題意：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的一個法向量，即（2）設(shè)，故點(diǎn)，設(shè)平面的一個法向量，則令，則，易知平面的一個法向量，解得，為的中點(diǎn)，到面的距離，4

20、3.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動點(diǎn)，且滿足若點(diǎn)滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）的值是定值，且定值為 【解析】（1）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，代入，得 （2）(法一)設(shè)直線的方程為，、，則， 由，得， 同理得，則 由，得， 則 因此，的值是定值，且定值為 (法二)當(dāng)時， 、，則， 由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，、，同解法一，得 由，得，則

21、因此，的值是定值，且定值為 44.（本小題滿分12分）以橢圓的離心率為，以其四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，問：以為直徑的圓是否恒過軸上的定點(diǎn)？若恒過軸上的定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不恒過軸上的定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）（2）以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，. 【解析】（1）依題意，得 解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2），設(shè)，則由題意，可得（1），且，.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，故有，解得；同理，可得. 假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，即.因?yàn)椋?，即，整理得，又由?），得，所以，解得

22、或. 故以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn),. 方法二：（1）同方法一；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，有，此時以為直徑的圓經(jīng)過軸上的點(diǎn)和； 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，.設(shè)，又直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得得，同理，可得， 假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，直線的斜率，直線的斜率，所以，故有，即，整理，得，解得或，綜合，可知以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，. 45.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（為自然常數(shù)）；（3）求證：（，）【答案】：（1）當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；

23、（3）見解析【解析】：（1），當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）令 若，是增函數(shù)，無解若，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)，若，在上是減函數(shù)，綜上所述（3）令（或），此時，所以，由（1）知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，對一切成立，則有，要證，只需證所以原不等式成立46.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（常數(shù)且）.（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，證明：且.【解答】：依題意， 令，則. （1）當(dāng)時，故，所以在不存在零點(diǎn)，則函數(shù)在不存在極值點(diǎn)； 當(dāng)時，由，故在單調(diào)遞增. 又，所以在有且只有一個零點(diǎn). 又注意到在的零點(diǎn)左側(cè)，在的零點(diǎn)右側(cè)

24、，所以函數(shù)在有且只有一個極值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn). （2）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個極值點(diǎn),（不妨設(shè)），所以,是的兩個零點(diǎn)，且由（1）知，必有. 令得；令得；令得.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 又因?yàn)?，所以必? 令，解得，此時.因?yàn)槭堑膬蓚€零點(diǎn)，所以，. 將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)，則.當(dāng)時，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所? 當(dāng)時，因?yàn)椋?，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所? 綜上知，且 47.（本小題滿分10分）從下列三題中選做一題(1).選修4-1：幾何證明選講如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點(diǎn)，公切線為，外圓的弦，分別交內(nèi)圓于、兩點(diǎn)，并且外圓的弦恰切內(nèi)圓于點(diǎn).(1)證明：；TABCDM(2)證明：.【解答】：（1）由弦切角定理可知，, 同理，,所以,所以. （2）連接TM、AM,因?yàn)镃D是切內(nèi)圓于點(diǎn)M，所以由弦切角定理知，又由（1）知，所以，又,所以. TABCDM在中,由正弦定理知, ,在中,由正弦定理知, ,因,所以,由知,所以,即, . (2)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1）