第一章第四節(jié)空間曲線曲率計算公式及推導(dǎo)

1、11.4空間曲線的曲率定義及計算公式引理設(shè)a(s)是單位圓周上的向量，即a(s)=1，設(shè)a(s s)與a(s)之間的夾角記TA 6為一，則有a(s)卜妁I,證明因為a (s) = lima(sa(s)宓TOA s， SAeAe2sin22sin2一PmJ-?-=嘰 兀2Aelim s0.：s。(用解等腰三角形或用余弦定所以a(s)pmoa(s訕2理，得a(sa (s) =2日A 6=,-2(V2sin22) = 2|sinq|。定理1.2設(shè)曲線：；=r(s)(s是弧長參數(shù))上的每一點有 一個單位向量a(s),a(s s)與a(s)之間的夾角記為，那么TIla (s)|=妁。1爲(wèi)I。設(shè)曲線：r=

2、 r(s)，這里參 數(shù)s是曲線自身的弧長，我們知 道，r (s)是曲線的切向量，|r (s)|=1，即r (s)是單位向量。、-r T TTT記T = r(s)，T(s) = r(s)，T(s)與T(s s)的夾角，A 610r-1度量了曲線的彎曲程度。212- 2 1 1 cos3TT日|T (s)|=|r (s)|=|嘰| 其|，我們稱之 為曲線r(s)的曲率，用k(s)來表 示，k(s)=|r (s)|。(舉例解釋，需要曲率這個量來 刻畫曲線；曲瓏拐彎，拐彎抹角 的程度。)例1.直線可以用向量方程表示為r(s) = us v，其中u和v為常向量，并且|u|=1，這時切向量T(s) = r

3、 (s)= u是常向量，從而r (s) = 0，曲率k(s)=0。反之，如果k = 0，即,(s)= o，由此可知r (s)是常向量，進(jìn)而解 得r(s) = us v，其中u和v為常向量。4由此可知：直線的特征是k=0。5例2.討論圓ts sr (s)二(acos,asin ) a a(這是由于T)二(acos ,asn ),而s= a。，9=：，故圓的方程可表ats sr (s)二(acos,asin )aa。丿r (sp (- sin ,cos)a a Oa1 k(s) =| r (s)| a?即圓的曲率等于其半徑的倒數(shù)。示為這時，于是，1s1 s( cos, sin ) a aaT6空間

4、曲線曲率的計算公式：設(shè)曲線：r = r（t），這里參數(shù)t不必是弧長參數(shù)。我們有話哼存r吧，d1 2rdt2d2t盲=r（t臨）拐， 將以上兩式的雙方作向量外積， 得1ds ds?7Td r2由于,d2/0才0,TTdr dr k(tr新Td r-Xds廠r炸,得緊所以（即互相垂8, tdt3M|r (t) r (t)| |()3|ds由于lldr |F ds,所以1孚卜11竽II哼,ds dt dt?由此得出曲率公式llr (t) r (t)|l|r(t)。r(t) = (x(t), y(t),z(t),把 llr (t) r (t)|2= l|r (t)|r (t)-(r (t),r (t)

5、2= (x (t)2y (t)2z (t)2) (x (t)2y (t)2z (t)2)-(x(t)x (t) y(t)y (t)z(t)z(t)2,HdrdsTk(t) =9代入曲率公式，可得簡便計算公|r (t)|2|r (t)|2-(r (t),r (t)22llr (t)|3例3求圓柱螺線r(t) = (ac ot,sas i tnbt),a 0的曲率。解直接計算，得Tr (tp (-asint,acost,b)，Tr (t)二(-acost,-asint,0)，所以，|r |= a2b2，|r |= a，(r (t),r (t)= 0，式k(tJr(t)r(t)|1l|r(t)|31

6、0又 l(t) r (t)= (t)lfllr (t)|f (r (t),r (t)2二a2(a2b2),得出曲率a2b2它是一個常數(shù)，這與幾何直覺 是相符合的。平面曲線的曲率計算公式：設(shè)平面曲線L： r(tp (x(t),y(t)llr (t) r (t)|2= l|r (t)|f|r (t)|f-(r (t),r (t)2= (x (t)2y (t)2) (x (t)2y (t)2)代入公式l|r(t)|311(x(t)x (t) y (t)y (t)2二(x(t)y (t) - x(t)y(t)2，12所以，平面曲線L:r(t)二(x(t), y(t)的曲率|x (t)y (t)二x (

7、t)y(t)|(x (t)2y (t)2)2對曲線節(jié)y(x),x=x此時十y(x)，則曲率k(xPly(x)2l3(1 y (x)2)2若曲線由極坐標(biāo)方程r =rC )給出，且rO二階可導(dǎo)。則可得x = r()cos日y = r(J )s inx = r co - r sin71y = r sin丁r cosx二rCOST- 2r s吋-r cos二y = rsi2rCOS - rsn13由曲率公式|x (t)y_(t)_(t)y (t) |X(t)2+ yt)2)32，可計算:X c)2yC)2二r2r2xc)ymc)= (rr cos日sinB -rrsin2日+2r 2cos2日一2rr

8、 coS1sin日-rr cos日sin日 +r2sin2日)-(rr costs inn rr cos2v-2r2s in2J-2rr cossi n v-rr cosvs in J-rcos2)二r22r - rr。代入，得曲率為r2+ 2- rrlK=-3。(r2r2)2例6求心形線r = a(1 cos )(a0)在，=0處的曲率。解rC) = 2ard =_asi* J = 0，k(t)二14rg = 一acos日-a代入公式r22r - rr3(r2r2)2它在二=0曲率為2(2a) - 2a(-a) 3-2需4a。(2a) 空間曲線曲率公式的另一種 證明方法：對光滑曲線：r =

9、r，或丄1dS號l|r (t)ll，dts=s(t)嚴(yán)格遞增，反函數(shù)存在，記為t =t(s)，把它代入r(t)；所以，r是s的函數(shù)，這里參t s(t)dSdt|r(t)H 0，16數(shù) s 是弧長參數(shù) 我們有TTd r d r dt ds dt ds，空間曲線的曲率(描述曲線的 彎曲程度)。設(shè)曲線：的參數(shù)方程為：X =x(t)，y =y(t)，zz(t)，_ t I，并假設(shè)：是光滑曲線，且 X (t)，y (t)，z (t)連續(xù)，設(shè)r = r(s)，則曲率k=IIr (s)II。設(shè) 曲 線：r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)，這里參數(shù)t不必是弧長參數(shù)IIdsIIdtllr

10、(t)|I|r (t)|IId rdsII2d r d rds ds17我們有r (t) = (x(t), y(t),z(t)，18|r (t)心(r (t),r (t),(llr (t)|)珥(r (t),r (t)21 * *2(r(t)，r(t)2(r(t),r (t)(r (t),r (t)llr (t)|s(t) =|r ( )|dadsdtN|r (t)|,|ds|Z,|ds|ds dsd2rd2rdsds2dsds2dtdsdtdsd2rds2t dt)r（t） 乎（乎）ds dsdsdtM|r (t)|dtds|r (t)|d(d!ds ds)=dtds|r (t)|r (t)

11、|ds191Jdti(t)r(t)i= - - -l|r (t)|2|r (t)|r (t)|=(r (t),r (t)|r(t)|4，dr d2r _由廠=由ds ds2代入計算，得j dt rd dtr (t) r (t)(丁)2|r (t)丁匸廠0 dsds ds 由此而來丿丿dtd dtr (t) r (t)(丁)2|r (t)丁(丁),dsds ds t2d dt|r(t)H()由哄田ds2t dt二r (t)()叫2r(t) (或)dsds ds，dt心|r (t)|2(出)42r (t) r (t)(-)t - dt - Tdsds()20h|r(t)M)2- -2亠r(t)O_

12、|r(t)|r(t)|8122 r 2而”訓(xùn)|r(t)|“(t),r(心,故得空間曲線:r = r(t)二(x(t), y(t), z(t)的曲率r(tp (x(t), y(t),|r (t) r (t)|3j|(t)|-(t)r(t)2|r (t)|2|r (t)|2k N|d2rds2|(r (t),r (t)22,即k(tJr(t)|r(t)|3平面曲=| (t)|121= (x(t)2y(t)2) (x (t)2y (t)2)-(x (t)x (t) y (t)y (t)2=(x(t)y (t) x(t)y(t)2所以，平面曲線L:r(t) = (x(t), y(t)的曲率k(t)|x

13、(t)y (t)-x (t)y(t)|k(t)2一2 32。(x(t)2+ y(t)2)222當(dāng)曲線L由方程y = f (x)給出x= x時，此時y=f(x)，利用上式,x M ,yy=f(x)，故曲率kLrl_(i (y)2)3：f (x)，X0，|f (x)|1 (f (x)2f22?23曲率半徑：若光滑曲線L在點P處的曲率為k,1當(dāng)kO時，稱R-為曲線L在P處的曲率半徑。（平面曲線的情形，也有用幾 何圖形給出的更方便直觀的證 法，見華東師大的書。）例1、求曲線y二ex的曲率的 最大值。由曲率K的表達(dá)式(1de|y I2x2e )1 21 1-e-x3(2 - e2x)33324例2、證明

14、：若曲線的所有切 線經(jīng)過同一點，則該曲線是一條 直線.證明證法一設(shè)曲線r（t）的切線經(jīng)過；，4(t)(t)，r (t) r (t)(t)r (t) r (t)，4 T假若r (tr L(t尸0，T T T再由 r (t)r (t) (t)r (t)，T T得人(t)r”(t)= O,rYt)= 0，矛盾, 所以r(t) r (t廠0,從而得 K 的最大值為23則有r(t)- r。二(t)r (t),于是r (t) = (t)r (t)T T25從而曲率K(tp 0,4故曲線r(t)必為一條直線 證法二設(shè)曲線為r(s),s為弧長參數(shù);所有切線經(jīng)過的點為ro,則有r(s) ro = (s)r (s

15、)，“TT從而r (s)二(s)r (s) (s)r (s),由I|r (s)|1， 得r (s)與r (s)正交， 于是(s)|r (s)=0,因為I (s)F|r(s)- ro|p 0,必有r (s)=0， 所以r(s)為一條直線.例3、求橢圓26x二a cost, y二bsi nt,0乞 12上曲 率最大和最小點.解 由于x =as in t, x “ = - a cost,y = bcost, y = - bsin t.I卜xy -xy |(x)2(y)2)32ab(a2sin2t + b2cos2t)32_ ab_(a2- b2)sin21 + b232.不妨設(shè)a b 0,于是在t

16、= 0,”（長軸端點） 處曲率最大；而在匕、號（短軸端點） 處曲率最?。焕?、由下述方程確定一條球面X2y2Z2= 9,由公式Kmaxb2,Kmin27曲線：x2- y2二3.28給定曲線上的一點P)= (2,1,2),求曲線在F0處的曲率.解 曲線為,(x)= (x, y(x), z(x)；由條件得x2- y2= 3,2x2z 12;再由2x - 2yy = 0,4x 2zz二0得2 2y一x-3yz,z2仔2Zz zr二(12 2),r (2廠(0,-3,-3),|7(2)|=3,|r (2)|= 3、2,(r (2),r (2)P 0,代入曲率公式1TTT T丄k|r (x)|2|r (x)|2-(r (x),r (x)22，|r (x)|3計算,.2得丁 -22x229例5、設(shè)函數(shù)u(x, y)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且0，則等高線 u(x,y)=C ( C 為常數(shù))的曲率2 2|(Ux) Uyy_(Uy) Ux2 UxUyUxy|(Ux)4+(Uy)2)32解設(shè)由U(x, y)二C所確定的 隱函數(shù)為y =y(x)，于是u(x, y(x)= C，求導(dǎo)得UxUyy =0，4 2l(Ux) Uyy_(Uy)Uxx二2UxUyUxy|(Ux)2(U