1.3.2函數(shù)的奇偶性講義

1、-WORD# 式-1.3.2 函數(shù)的奇偶性一、對稱畫(關(guān)于原點對稱)a, b關(guān)于原點的對稱麗為b, a(00)0)關(guān)于原點的對稱函為(0)+ 00 )1, 1關(guān)于原點的對稱呵為1, 1二、奇函數(shù)與偶函數(shù)(一)奇函數(shù)的定義:對于任意函數(shù) f(x)在其對稱的 (關(guān)于原點對稱)內(nèi),都有f(廠x):fX),則f(x)為奇函數(shù)。(二)偶函數(shù)的定義： 對于任意函數(shù) f(x)在其對稱胸 (關(guān)于原點對稱)內(nèi),都有f(.廠x)三W則f(x)為偶函數(shù)。f(x)具有奇偶性。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，則我們就說函數(shù)(三)判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1 )求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱

2、，則該函數(shù)不具備奇偶性，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，再進(jìn)行下一步；(3)求 f( x);(4)根據(jù)f( x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù) f(x)的奇偶性；若 f( -x) = - f(x),函數(shù)是奇 函數(shù)；若 f( x)=f(x),函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；若 f( x)w f(x),則f(x)既不是奇函數(shù)， 也不是偶函數(shù)；若f( x) = f(x),且f( x) = f(x),則f(x)既是奇函數(shù)， 也是偶函數(shù)。【.田 一f(x)a j 0時常數(shù)函數(shù)既曷奇而數(shù)也曷偶函數(shù)。1例1 :判斷下列函數(shù)奇偶性。(1) f(x)x3+ xx 1(2) f(x)

3、=x(3) f(x)+x1% X,、， 1(4) f(x) =13x2十cosx(5) f(x) = x【解析】：(1 )奇(2 )奇(3)非(4)非(5 )偶變式緋判斷下列函數(shù)的奇偶性。(1 ) f(x) = x x tanx二 )2 x(2) f(x) +ln(2 xx(x 1) x 0(3) f(x) -二x(x1 x),【解析】：(1 )偶(2)奇(3)奇注意：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟(1)求定義域，判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)計算f( -x) ;(3)判斷，若f( -x) =f(x)偶函數(shù)，若f( -x)=-f(x)奇函數(shù)，否則為非奇非偶函數(shù)。2、直接判斷法：偶士 偶=偶；

4、偶X偶=偶；奇土奇=奇；奇X偶=奇。十 一-一一些重要類型的奇餌函數(shù):一1)f(x)=x為偶函數(shù),x f(x) a函a x為奇x 數(shù)；(2) f(x) ax =ax+x ( a 0且a w 1)為奇函數(shù);(3)1 f(x)= a a log (1-資料分享-2x (110且a w 1)為奇函數(shù)豐 1 )為奇函數(shù)；(4) f(x) = x alog (x、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(一)偶函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；f( x) =f(x) =f(2 x | );偶函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)f(x)=ax+ bx+c(a w 0)是偶函數(shù)，則 b=0。(二)奇函數(shù)的性質(zhì)：

5、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； f( -x) = f(x);奇函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同；一次函數(shù)f(x) =kx+b(k W0)是奇函數(shù)，則b = 0；若.x=. 0在其定義域內(nèi)，.則有(0一).=.0。.2432例2 :已知函數(shù)f(x) =ax + b x + c( aw 0)是偶函數(shù)，則g(x)= x + b x+ cx(填奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù))【解析】：偶函數(shù)2變式練習(xí)1 :已知函數(shù)f(x) _ a x +b x + 3 a + b ( a w0)是偶函數(shù)， 且定義域為a _ 1 5 2 a ,變式練習(xí)2 :下列函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(A : f(x) = x +

6、1【解析】：D3B : f(x) = x C f(x)D: f(x)= x x I x變式練習(xí)3:若函數(shù)f(x) a) 1)( x是奇函數(shù)，則ax【解析】x 2 (a(x 1)( x:f( -x) = - f(x) , a) x+1)x + a =- x2 + (a+1)x + a，故=_( x 1)( xa)xa =- 1例4:已知f(x).是R上的奇函數(shù)，當(dāng)2x 0 , f(x) = x2x,求f(x)的表達(dá)式。2 x【解析】：f(x) = 2x)2x , x 0時,2f(x) = x 2x 3 ,求 f(x)的解析式。2x 2x 35 x K0【解析】:f(x)=0 x，02x 2x 3

7、 x 0例5:已知函數(shù) f(x)是定義相 上的奇函數(shù)，且 f(1)=2,則)【解析】：f(1) = 2變式絢：若f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng) xw 0, f(x) =2xx,財=【解析】：f(1)=x ,則(2)=(=26)變式繳：已知函數(shù)f(x)是定義相上的奇函數(shù),當(dāng) x0 時，f(x)c： 2D : 2f(-2)= 10 ,吶=。x13,期 lg 2 ) +f( lg ) =-2A23B 23-4：4【解析】：D 變式統(tǒng)：已知f(x)是奇函數(shù)，若 g(x) = f(x) +4,且g(1)=2,則一1)=【解析】：f( 1) = 253變式綴：若f(x) = x+ ax + bx 8)JU【解

8、析】：f(2) =- 262變式繳：已知函數(shù) f(x)=ln( 1 4x 2 )【解析】：令 f(x) = g( x) 3, g(x)是奇函數(shù)，故 f(x)= g( x) 3 , f( -x) = g(x)故 f(x) + f( x) =6例6:已知f(x)是定義而1 , 1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿隹1 _a)+f(1 2 a)0,求a的取值范圍1 a 2a 111 a 10 a311 2a 1例7:已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)0, +/)單調(diào)避，則遍(2xB :12x 1 、則 3 x G (C:1)f( 1 )的x取值范最3 ()2D : _ 5 +3 00 )133 A0)上是增函數(shù)，且有

9、f( 2a )2 a 0, 3a 21 =481 2 3(a)032 a 2 a2a 1 3a 21 ,故 0 a | 3a2 a21 0)巾a212,(5a變式組:-函數(shù)f(x) (x字-0)是奇函數(shù)不等式fx(x 1肝0的解2 集。.【解析】：由于函數(shù)是奇函數(shù)1徉 (05 +2 a 22，貝|(2a ( 3 a_)0, 0aa 23 o2)(ax W (0 , +oo )時是增函數(shù),)向直增函數(shù),故在 (,幫1) =0,求0)上是增函數(shù),f(1)=0,則 f( 1)= 0,則 fx(x 1.fc)f( T)或2 fx(x x( x 1 )2x( x 1 )21 x( x或0 x( x12)

10、1)2綜上所述：不等式的解集為1或0172,0)117122 x 0 1172)U1172x 0時，f(x) 0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；、1(3)若 f(8) = 4,求 1)的f(2 值?！窘馕觥?(1 )令 x = y= 0,則 f(0) =f(0)+ f(0),得 f(0)=0,令 y = x,則 f(0) = f(x) +f(-x),即 f( x) = - f(x),故函數(shù)是奇函數(shù)。(2)設(shè) ab，則 a _ b 0,貝 U f( a _b ) 0,貝 U(3)f(8)= f(4) + f(4) =2f(4)= 4f(2)1 )，故二)=2 f( 2f( a )= f( b + (

11、 a - b ) = f( b ) + f( a b ),即 f( a )-f( b ) = f( a b ) 0,即 f( a )f( b )。故 f(x)在R上是增函數(shù)。= 8f(1) = 16f(1 一一一，一一函數(shù)是奇函數(shù)，4 f(例9:已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)小3, 1上是減函數(shù)，則f( 3), f(1), f(2)的大小關(guān)系是【解析】：f(1) f(2)f( -3)變鏤U:設(shè)函數(shù)f(x)是定義在 6,6上的奇函數(shù), 若當(dāng)x0 , 6時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x) 的解集為?！窘馕觥浚?3, 0)U(3, 6)變譙2:設(shè)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)， 且當(dāng)x )時，f(

12、x) =x 2x ,則不等或x) 3的解集為?！窘馕觥浚?3,3變鏤3J:已知y = f(x)是偶函數(shù)，y = g(x)奇函數(shù)，它們的定義域都是 3, 3,且它們在xW 0, 3上的圖象如圖所不，則不等式I 二？ 0Ug( x)Lf.J/jrJr0 的解集是 。二71一A【解析奇、偶函數(shù)性質(zhì)作出整個定義域內(nèi)的 二n*.If I /圖象，L 0,即 f (x) g( x) )x f (x)C:在0, 上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是f( )f (2)8: f(2) f ()2f (2)【解析】：Cy6、若函數(shù)yf ( x)是奇函數(shù),f (1)7、已知f ( x)是定義在2,0L -( 1圖象如右

13、圖所示，那么函數(shù)值0,23 ,則f ( 1)的值為2of(上的奇函數(shù)，當(dāng)xD： f()2的取值范圍是【解析】：3, 22,38、如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間7, 3上是A :增函數(shù)且最小值為5 B:增函數(shù)且最大值為C:減函數(shù)且最小值為一5 D:減函數(shù)且最大值為一格式-x-資料分享-9、下列函數(shù)是奇函數(shù)是(2A : f(x) = x +2x B : f(x) = In x f(x) =C:1 x() cosx3D : f(x)=x【解析】：D10、下列函數(shù)是儂函數(shù)是(x cosD : f(x) = x sin x2A : f(x)=B : f(x) = x sin x x2C: f(x) = e【解析】：11、A : f(已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),1.3.3且在 (0,+ )上是增函數(shù)，則(C :f(2 f( f()f( log2 5)f( 3 ) 3 ) f( + 3)f( log 2 5) a。，)f(0.7D : 25)f(0.72) f(log 25 )3) f( log 20.72 2 log2 5 3A12、已知f(x) ax 1x2帶力在-(J,1)的奇函數(shù),2 )=(2)(3)求函數(shù)f(x)的解析式;判斷函數(shù)求