2012年上海理科高考數(shù)學(xué)試題及答案

1、2012年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷一、填空題(本大題共有 14題，茜分56分)1 .計(jì)算：3_L=(i為虛數(shù)單位).1 i2 .若集合 A x|2x 1 0, B x|x 12,則 A B=.一，2 cosx3 .函數(shù)f (x)的值域是sinx 14 .若n ( 2,1)是直線i的一個(gè)法向量，則i的傾斜角的大小為(結(jié)果用反三角 函數(shù)值表示).5 .在(x 2)6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于.x6 .有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為Vi,V2,，Vn,，則 lim(V1 V2Vn).n7 .已知函數(shù)f(x) e|xa|(a為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間1,+ )上是增函

2、數(shù)，則a的取值范圍是 .8 .若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的體積為.9 .已知 y f(x) x2 是奇函數(shù)，且 f (1) 1.若 g(x) f(x) 2,則 g(1) 一10 .如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn) M (2, 0)的直線l與極軸的夾角6 .若將l的極坐標(biāo)方程寫成f()的形式，則f( ) .11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有 (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).12 .在平行四邊形 ABCD中，/A=W,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、.N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足 LBMJ ICNJ,則

3、而 AN的取值范圍是.|BC| |CD|13 .已知函數(shù)y f(x)的圖像是折線段 ABC,若中A(0,0), B6，5), C(1,0).函數(shù)y xf(x) (0 x 1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .14 .如圖，AD與BC是四面體 ABCD中互相垂直的棱， BC= 2.若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD= 2a,其中 a、c 為常數(shù)，則四面體 ABCD的體積的最大值是D15 .若1 版i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2 bxc 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則(A) b 2,c 3.(B) b 2, c 3.(C) b 2, c 1. (D) b 2, c1.二、選擇題(本大題共有 4題，茜分20

4、分)16 .在 ABC 中，若 sin2 A sin2 B sin2 C ,則 ABC 的形狀是()(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.m (D)不能確定.17 設(shè) 10 Xx?Xbx410 ,Xs10 .隨機(jī)變量1 取彳|Xi、x2、Xb、*4、Xs 的概率均為0.2,隨機(jī)變量2取值-12X2 X3-2三生的概率也為0.2.若記D 1、D 2分別為1、2的方差，則(A) D 1 > D 2.(B) D 1 = D 2.(0 D 1V D 2.(D) D 1與D 2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān).18.設(shè) an 孑sinnr，Sn a a2an.在Si,S

5、2, ,S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是(A) 25.(B) 50.三、解答題(本大題共有 5題，茜分74分)19 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCDFA,底面ABCD , E是PC的中點(diǎn).已知AB= 2, AD=272, FA=2.求：(1)三角形PCD的面積；(6分)(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.20 .已知函數(shù) f(x) lg(x 1).(1)若0 f(1 2x) f (x) 1,求x的取值范圍；(6分)(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng) 0 x 1時(shí)，有g(shù)(x) f (x)r,求函數(shù) y g(x) (x 1,2)的反函數(shù).(8 分)21 .海事救援船對(duì)一艘失事船

6、進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線y 49x2;定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.（1）當(dāng)t 0.5時(shí)，寫出失事船所在位置 P的縱坐標(biāo).兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？（22 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知雙曲線 C1: 2x2 y2 1 .（1）過(guò)C1的左頂點(diǎn)引 g的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角

7、形的面積；（4分）（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2 y2 1相切，求證：OPXOQ; （6 分）22（3）設(shè)橢圓C2 ：4x y 1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OMLON,求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）23.對(duì)于數(shù)集X 1,x1，x2，, xn,其中0 X x2xn , n 2,定義向量集Y a |a （s,t）, s X,t X.若對(duì)于任意01 y ,存在晟Y ,使得01 £ 0 ,則稱X具有性質(zhì)P,例如X 1,1, 2具有性質(zhì)P.（1）若 x>2,且 1, 1, 2,x,求 x 的值；（4 分）（2）若X具有性質(zhì)P,求證：1 X,

8、且當(dāng)xn>1時(shí)，x1=1; （6分）（3）若X具有性質(zhì)P,且x=1, x2=q （q為常數(shù)），求有窮數(shù)列 x1，x2, xn的通項(xiàng)公式.（8分）2012年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷解答一、填空題(本大題共有14題，？茜分56分)1 .計(jì)算：3L = 1-2i(i為虛數(shù)單位).1 i2 .若集合 A x|2x 1 0 , B x| x 12,則 A B = ( 12,3).2 cosx/.3 ,函數(shù)f (x)的值域是I |.sin x 14 .若n ( 2,1)是直線l的一個(gè)法向量，則l的傾斜角的大小為arctan2 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).5 .在(x 2)6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于

9、-160 .x6 .有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，皆為公比的等比數(shù)列，體積分別記為Vi,V2,，Vn,，則 lim(V1 V2Vn) 8 .n7 .已知函數(shù)f(x) e|xa|(a為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間1,+ )上是增函數(shù)，則a的取值范 圍是 (一,1.8 .若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的體積為43 .39 .已知 y f (x) x2 是奇函數(shù)，且 f(1) 1.若 g(x) f (x) 2,則 g(1)- 1 .10 .如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn) M (2, 0)的直線l與極軸的夾角/ l6 .若將l的極坐標(biāo)方程寫成f ()的形式，則f( ) .0Mx11 .三

10、位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是3 (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).312 .在平行四邊形 ABCD中，/A=,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足| BM | ICNJ,則AM- AN的取值范圍是2, 5|BC| |CD|13 .已知函數(shù)y f(x)的圖像是折線段 ABC,若中A(0,0), B(4 ,5), C(1,0).函數(shù)y xf (x) (0 x 1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為14 .如圖，AD與BC是四面體 ABCD中互相垂直的棱， BC= 2.若 AD=2c,且 AB+BD=AC

11、+CD= 2a,其中 a、c 為常數(shù)，則四面體 ABCD的體積的最大值是26/0c1 .3二、選擇題(本大題共有 4題，茜分20分)15 .若1 J2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2 bx c 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則(B(A)b 2,c 3.(B) b 2, c 3.(C)b 2, c 1. (D)b 2, c 1.16 .在ABC 中，若 sin2 A sin2 B sin2 C ,則ABC 的形狀是(C(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.(D)不能確定.4517 .設(shè) 10XiX2X3X410 , X5 10 .隨機(jī)變量1 取彳1X1、X2、X3、X4、X5的概率均為0.2,若記D

12、(A) D1、D1 > D隨機(jī)變量2取值2分別為1、2X1X2X2X322的方差，則2.(B) D 1 = D 2.(C)X4X5D 1 v D 2.¥的概率也為0.2.(D) D 1與D 2的大小關(guān)系與X1、x2、X3、X4的取值有關(guān).18.設(shè) an /sin 5, Sna1a2(A) 25.(B) 50.an.在S1,S2,Soo中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是(C) 75.(D) 100.三、解答題(本大題共有 5題，茜分74分)19.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD FAL底面ABCD , E是PC的中點(diǎn).已知AB= 2, AD=2,2, PA=2.求：(1)(2)解(1

13、)三角形PCD的面積；(6分)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)PE是矩形,D_ C_.所以CD,平面FAD因?yàn)镻AL底面 ABCD ,所以PAXCD,又AD LCD,(2)從而CDXPD.因?yàn)?PD=，22 (2、2273 , CD=2,所以三角形PCD的面積為1 2 2 J3 解法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B(2, 0, 0), C(2, 2中,0), E(1,叫，1), AE (1,72,1), BC (0, 2V2, 0).設(shè)AE與BC的夾角為，則cccAE BC4_2_cos |AE|BC| 2 2六2，= 4 .2 3.3分12分由此可知，異面直線 BC與AE所

14、成的角的大小是-412分解法二取PB中點(diǎn)F,連接EF、AF,則EF /BC,從而/ AEF (或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角8分在 AEF 中，由 EF= <2 > AF=.”、AE=2知 AEF是等腰直角三角形，所以/ AEF = t .因此異面直線BC與AE所成的角的大小是-20.已知函數(shù) f(x) lg(x 1).(1)若0 f(1 2x) f (x) 1,求X的取值范圍；(6分)(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng) 0 x 1時(shí)，有g(shù)(x) f(x),求函數(shù) y g(x) (x 1, 2)的反函數(shù).(8 分),2 2x 0/解(1)由，得 1 X 1.X 1

15、0由 0 lg(2 2x) lg(x 1) lg 沿 1得 1 沿 10.3 分因?yàn)?X 1 0,所以 X 1 2 2x 10x 10 , f x 1.331 X1c.由21得3X3 . 6分fx3(2)當(dāng) x 1,2時(shí)，2-X 0,1,因此y g(x) g(x 2) g(2 x) f (2 x) lg(3 x).10 分由單調(diào)性可得y 0, lg2.因?yàn)閤 3 10y，所以所求反函數(shù)是 y 3 10x, x 0,lg2.14分21 .海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長(zhǎng)度)，則救援船恰在失事船的正南方向12海x2

16、分里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線y 49x2；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)t 0.5時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時(shí) _兩船恰好會(huì)合，求，救援船速度的大小和方向；(6分)(2)問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？ (8分)解(1) t 0.5時(shí)，P的橫坐標(biāo)xp=7t 上 代入拋物線方程 y 19x2中，得P的縱坐標(biāo)yp=3.由AP尸浮，得救援船速度的大小為 J949海里/時(shí).4分7由tan/OAP=2y 1,得/ OAP =arctan30-,故救援船速度的方向 3 123030為北偏東arcta

17、n5弧度.6分2(2)設(shè)救援船的時(shí)速為V海里，經(jīng)過(guò)t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為(7t,12t ).由 vt "(7t)2 (12t2 12)2 ,整理得 v2 144(t2 +)337.10分因?yàn)閠2十 2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立， 22._所以 v 144 2 337 25 ,即 v 25.因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船.14分22 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知雙曲線 C1 : 2x2 y2 1 .(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(4分)(2)設(shè)斜率為1的直線l交Ci于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2

18、y2 1相切，求證：OPXOQ; (6 分)(3)設(shè)橢圓C2:4x2 y2 1 .若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且 OMON,求證：O到直線MN的距離是定值.(6分)解(1)雙曲線Ci : 上 y2 1 ,左頂點(diǎn)A(手，0),漸近線方程：yJ2 x .2過(guò)點(diǎn)A與漸近線y J2x平行的直線方程為 y J2(x 等)，即y J2x 1.一2解方程組y J2x，得x -.2分y 2x1 y 12所以所求三角形的面積1為S 引OA|y|著.4分(2)設(shè)直線PQ的方程是y x b.因直線與已知圓相切，故珠1,即b2 2 .6分y x b . 22由 22 ，得 x 2bx b 1 0.2x2 y2

19、1x1 x2 2b設(shè) P(xi, y1)、Q(x2, y2),則2x1x2b 1X2, jrn2OP OQ x#2 yy2 2x#2 b(x x2) b一 2一 22 一2( b 1) b 2bb b 2 0,故OPOQ.10分(3)當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|=1, |OMF堞，則。到直線MN的距離為3.當(dāng)直線設(shè)直線ON不垂直于ON的方程為x軸時(shí),由y24x2kx2y同理|OM |2,得11 k2 2k2 1 .kx2 x2 y(顯然| k|彳)，則直線OM14k22 1k2k2 ，所"|ON |4 k2 .4 k2的方程為y4x.13分2_22_2_2設(shè)O到直線MN的距離為d

20、,因?yàn)?|OM | |ON | )d |OM | |ON | ,所以、上上叫3,即=. d 2|OM |2 |ON |2k2 1316分xn, n 2 ,定義向量集Y ,使得a1 a2 0 ,則稱X綜上，O到直線MN的距離是定值.23.對(duì)于數(shù)集 X 1,x1,x2, , xn,其中 0 x1 x2Y a|a (s,t),s X,t X.若對(duì)于任意 £ Y ,存在 0；具有性質(zhì)P例如X 1,1, 2具有性質(zhì)P.(1)若 x>2,且 1,1, 2,x,求 x 的值；(4 分)(2)若X具有性質(zhì)P,求證：1 X,且當(dāng)xn>1時(shí)，x1=1; (6分)(3)若X具有性質(zhì)P,且x=1

21、,x2=q(q為常數(shù))，求有窮數(shù)列x1，x2,xn的通項(xiàng)公式.(8分)解(1)選取a1 (x, 2), 丫中與a1垂直的元素必有形式(1, b).2分所以x=2b,從而x=4.4分(2).證明：取a1(x1,x1)Y.設(shè)a2(s, t) Y滿足 a；a20.由(s t)x10得st 0,所以s、t異號(hào).因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以 s、t中之一為-1,另一為1,故1 X.7分假設(shè)xk1 ,其中1 k n,則0 x11 xn.選取 a1(x1, xn)Y ,并設(shè) a2(s, t)Y 滿足a1 a20,即 sxtxn0 ,則s、t異號(hào)，從而s、t之中恰有一個(gè)為-1.若s=-1,則2,矛盾；若 t =-1,則 xnsx1s xn,矛盾.所以x1=1.10分i 1一(3)解法一猜測(cè)x q , i=1,2,，n.12分記 Ak 1,1, x2, xk , k=2, 3,，n.先證明：若Ak 1具有性質(zhì) 巳則 人也具有性質(zhì)P.任取a1(s, t) , s、t Ak.當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有a2滿足q a2 0；當(dāng) s 1且 t 1 時(shí)，s、t聲.因?yàn)锳k1具有性質(zhì)P,所以有a(s1,t1) ,G、t1Ak1,使得£020,從而s1和t1中有一個(gè)是-1,不妨設(shè)s =-1.