多元統(tǒng)計分析在葡萄酒評價中的應(yīng)用

1、2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，

2、在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2012 年 9 月 10 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）

3、：多元統(tǒng)計分析在葡萄酒評價中的應(yīng)用摘要本文在葡萄酒評價中針對多組指標的多組數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)處理上應(yīng)用了標準化處理、主成分分析等多重方法，應(yīng)用方差分析、聚類分析、回歸模型中的趨勢面分析等多種多元統(tǒng)計的方法對葡萄酒進行評價。針對問題一，其要求是對兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異進行分析，并判斷哪一組的結(jié)果更可信。本文建立了單因素方差分析模型，經(jīng)過求解，假設(shè)與檢驗，得到的結(jié)果是這兩組評酒員的評價結(jié)果無顯著性差異，然后又經(jīng)過比較兩組評酒員所打分數(shù)的平均值與方差，由于第二組的方差比第一組小，因此第二組的評價更可信。 針對問題二，首先用葡萄酒中的芳香物質(zhì)來定量分析葡萄酒的質(zhì)量，對數(shù)據(jù)進行無量綱化以及主成分分

4、析法進行處理，然后對每一個釀酒葡萄及葡萄酒樣本進行相對性的綜合評分，最后用著兩組數(shù)據(jù)進行二維的聚類分析。我們的結(jié)論是釀酒紅葡萄分為四類：釀酒白葡萄分為兩類。針對問題三，對于分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系這一問題，本文通過分析釀酒葡萄與葡萄酒之間相對應(yīng)的理化指標，并通過分析它們之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)確定出了釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的相關(guān)關(guān)系。 針對問題四，我們利用問題二中的算出的數(shù)據(jù)，以及問題而知那個的方法對葡萄酒相應(yīng)于其理化指標的綜合得分，然后用釀酒葡萄相應(yīng)于其理化指標的得分以及葡萄酒質(zhì)量相應(yīng)于所含芳香物質(zhì)的得分，以及葡萄酒相應(yīng)于其理化指標的得分這三組數(shù)據(jù)進行趨勢面分析得到了擬

5、和的曲面圖以及釀酒紅葡萄和紅葡萄酒的理化指標對紅葡萄酒質(zhì)量的影響函數(shù)關(guān)系式，最后用檢驗法得出紅的擬合度達99.84%，白的擬合度達83.92%，綜合紅酒和白酒的檢驗結(jié)果可以認為能用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量。關(guān)鍵詞：單因素方差分析，主成分分析，聚類分析，相關(guān)性分析，趨勢面分析1一 、問題重述葡萄酒的質(zhì)量一般是經(jīng)過一批有資質(zhì)的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。而釀酒葡萄的好壞所釀葡萄酒的質(zhì)量與釀酒葡萄的好壞有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。附件1給出了某一年份一些

6、葡萄酒的評價結(jié)果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分數(shù)據(jù)。需要建立數(shù)學(xué)模型討論以下問題：1. 根據(jù)附件1中所給數(shù)據(jù)，對兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異進行分析，并判斷哪一組的結(jié)果更可信。2. 根據(jù)釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進行分級。3. 分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系。4分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量？二、 問題分析 對于問題一，其要求是對兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異進行分析，并判斷哪一組的結(jié)果更可信。對問題二，通過分析影響葡萄酒質(zhì)量的因素，從而定量的分析葡萄酒

7、質(zhì)量。再對數(shù)據(jù)進行處理，然后定量的分析釀酒葡萄的理化指標，最后通過聚類分析對釀酒葡萄進行分類。 對問題三，首先利用問題二中的數(shù)據(jù)，對葡萄酒及釀酒葡萄對應(yīng)的理化指標進行相關(guān)性分析后得出結(jié)論。 對于問題四，可以通過問題二中的數(shù)據(jù)以及方法得出三組數(shù)據(jù)，用趨勢面分析對其進行擬合，得出函數(shù)關(guān)系后對它的擬合度進行檢驗。三 、模型假設(shè) 所給數(shù)據(jù)真實可靠； 評酒員所打分數(shù)服從正態(tài)分布； 各樣本的觀測值具有隨機性； 各樣本之間相互獨立；5. 假設(shè)二級指標分析結(jié)果影響忽略不計；四 、符號說明符號說明第個主成分的特征值指標數(shù)量葡萄的質(zhì)量釀酒葡萄的理化指標葡萄酒理化指標五、 模型的建立與求解問題一模型一： 單因素方差

8、分析模型對于分析兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異這一問題，因為兩組評酒員在評分上有差異，分別計算紅、白中每一個品酒員對所有樣品打分的平均值作為影響因素，并且設(shè)各正態(tài)總體具有相同的方差。令，為第個評酒員對應(yīng)組的評分服從的正態(tài)總體的平均分。稱為隨機誤差，則且相互獨立。稱為總平均，為水平的效應(yīng)，反應(yīng)了因素A的第個水平對的影響的大小，且滿足。這時，單因素方差分析模型為： 因素效應(yīng)的顯著性檢驗單因素方差分析的主要目的之一就是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)推斷因素A對因變量Y的影響是否顯著，換句話說，就是除去隨機因素的干擾在因素A的各水平下，Y的取值是否有顯著差異。取顯著性水平。需要檢驗假設(shè)將附件1中所給數(shù)據(jù)進行處理之后

9、，用Excell輔助求解，（在輸入表格計算之前所有的均減去）評價組第一組（紅）第二組（紅）評酒員1-2.85185-0.62963-3.4814812.120718.1330590.3964338.52949223.111111-2.222220.8888890.7901239.6790124.93827214.6172831.4074074.7037046.11111137.345681.98079622.1248324.105624-6.11111-6.11111-12.2222149.382737.3456837.3456874.6913652.777778-7.74074-4.9629

10、624.6317.71604959.9190767.6351261.2962960.6666671.9629633.8532241.6803840.4444442.1248297-0.148150-0.148150.02194800.02194800.02194880.7407410.8148151.5555562.4197530.5486970.6639231.2126297.185185-1.851855.33333328.44444051.626893.42935555.05624103.148148-2.481480.6666670.44444409.9108376.1577516.0

11、6859總和-4.2963259.454264.0631 表1評價組第一組（白）第二組（白）評酒員11.0128571.0385712.0514294.2083591.025881.0786312.1045120.7528571.0271431.783.16840.5667941.0550221.62181631.1085711.0433332.1519054.6306941.2289311.0885442.31747540.8547621.0442861.8990483.6063820.7306181.0905331.82115151.011.0166672.0266674.1073781.

12、02011.0336112.05371160.9642861.0904762.0547624.2220460.9298471.1891382.11898571.0847621.0685712.1533334.6368441.1767081.1418452.31855380.9376190.841.7776193.1599290.8791290.70561.58472991.0766670.9909522.0676194.2750491.1592110.9819872.141198101.0552381.0442862.0995244.4081.1135271.0905332.20406總和20

13、.061940.4230820.28619 表2下面利用上述表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)計算平方和、自由度、均方、F值，相應(yīng)，模型如下：分別代入數(shù)據(jù)求解，得到下面的方差分析表：紅葡萄酒方差來源平方和自由度均方F值臨界值顯著性因素A128.80914.311.0653.02低誤差134.341013.434總和263.1419 表3白葡萄酒方差來源平方和自由度均方F值臨界值顯著性因素A0.087590.00971.30303.02低誤差0.0747100.0075總和0.162219 表4根據(jù)模型的結(jié)果有，F(xiàn)值均小于臨界值，因此接受假設(shè)，即這兩組評酒員的評價結(jié)果無顯著差異。又兩組評酒員所打分數(shù)的平均值及方差分

14、別為：紅葡萄酒第一組第二組平均值73.0555670.51481方差13.0557112.59578 表5白葡萄酒第一組第二組平均值73.9321476.53214方差70.9250126.68692 表6綜合兩組評酒員所打分數(shù)的平均值及方差，因為第二組的方差更小，也就是該組專家的意見相對更一致，所以說第二組評酒員的結(jié)果更可信。問題二模型二：本問題中涉及了葡萄酒的質(zhì)量，我們通過查閱相關(guān)文獻（7）得到芳香物質(zhì)對葡萄酒的質(zhì)量有重要的影響，所以用葡萄酒中的芳香物質(zhì)來定量的分析葡萄酒的質(zhì)量。對于釀酒葡萄的理化指標，因為它分為一級、二級指標，而且很多。它的指標都是檢測了三次，所以我們對其求平均值作為指標

15、的數(shù)值。而二級指標中出了H、C兩個二級指標外其余的每一類二級指標的和都等于所對應(yīng)的一級指標值，所以我們不考慮二級指標（除H、C）。首先我們對所有的數(shù)值用標準化變換進行無量綱化處理，由于葡萄酒中的芳香物質(zhì)及釀酒葡萄中的理化指標很多，就需要把這些很復(fù)雜的數(shù)據(jù)集簡化，所以應(yīng)用主成分分析法在DPS軟件中分別對他們進行主成分分析，找出幾個綜合因子來代表原來眾多的變量。主成分分析的具體結(jié)果（見附件1）：分析結(jié)果出來后，一般建議是取當特征值累積貢獻率達80%，或者特征值大于1時的主成分個數(shù)。我們根據(jù)特征值大于1時的主成分個數(shù)對葡萄酒中的芳香物質(zhì)及釀酒葡萄中的理化指標取的主成分如下：釀酒葡萄的理化指標主成分：

16、紅葡萄理化指標主成分特征值百分率%累計百分率%氨基酸總量7.463623.323923.3239蛋白質(zhì)mg/100g5.308116.587739.9116VC含量（mg/L)4.543514.198354.1099花色苷mg/100g鮮重2.84288.883762.9936酒石酸（g/L）2.01166.286369.2799蘋果酸（g/L）1.86475.827275.1072檸檬酸（g/L）1.50944.716879.824多酚氧化酶活力1.30824.088283.9122 表7白葡萄理化指標主成分特征值百分率%累計百分率%氨基酸總量6.7721.156421.1564蛋白質(zhì)mg/

17、100g4.985115.578436.7348VC含量（mg/L）3.768711.777348.5121花色苷mg/l00g2.24667.020555.5326酒石酸2.08716.522162.0548蘋果酸1.68125.253867.3086檸檬酸1.51734.741472.05多酚氧化酶活力1.37424.294476.3444褐變度1.17943.685780.0301DPPH自由基1/IC50（g/L）1.06063.314483.3446 表8葡萄酒中芳香物質(zhì)主成分：紅酒芳香物質(zhì)主成分特征值百分率%累計百分率%乙醛15.453221.168821.1688乙酸乙酯10.2

18、88914.094335.2632乙醇8.363711.457146.7202丙酸乙酯6.58889.025755.746乙酸正丙酯5.92238.112763.8587乙酸-2-甲基丙基酯4.73256.482970.3416丁酸乙酯3.26544.473174.81471-丙醇2.94894.039778.85432,3-乙?；?.3933.278182.1324正十一烷2.15372.950385.08282-甲基-1-丙醇1.60512.198887.28153-甲基-1-丁醇-乙酸酯1.50792.065689.3471乙酸戊酯1.26081.727191.0743檸檬烯1.08

19、491.486292.5605 表9白酒芳香物質(zhì)主成分特征值百分率%累計百分率%乙醛17.837624.435124.4351乙酸乙酯8.17811.202735.6379乙醇7.571910.372446.0103丙酸乙酯6.52748.941654.9519乙酸正丙酯4.42496.061561.0134乙酸-2-甲基丙基酯3.61334.949765.9631丁酸乙酯3.28964.506370.46941-丙醇2.92424.005774.4751正十一烷2.59253.551378.02642-甲基-1-丙醇2.36323.237281.26363-甲基-1-丁醇-乙酸酯2.0835

20、2.854184.1177乙酸戊酯1.7432.387786.5054檸檬烯1.52952.095288.60063-甲基-1-丁醇1.40121.919590.5201己酸乙酯1.1661.597392.1174苯乙烯1.12951.547393.6647 表10在主成分分析結(jié)果出來后，我們將前個特征值較大的主成分，按照公式： 計算個主成分的“綜合值”，每一個釀酒葡萄及葡萄酒樣本都對應(yīng)一個“綜合值”，而這個“綜合值”充分利用了所有的信息，所這個“綜合值”就能用來作為每一個釀酒葡萄及葡萄酒樣本相對性的綜合得分。具體每一個釀酒葡萄及葡萄酒樣本得分（見附件2）：表中釀酒葡萄的得分是依賴于它的理化指

21、標，這個得分就能相應(yīng)的定量反映出理化指標的信息；同樣葡萄酒的得分是依賴于它的芳香物質(zhì)，而芳香物質(zhì)決定了葡萄酒的質(zhì)量，所以這個得分就能定量的反映出葡萄酒質(zhì)量的信息。因此用每個釀酒葡萄樣本的綜合得分和葡萄酒的質(zhì)量的綜合得分分為兩組變量，對這兩組變量進行二維的聚類（在DPS中實現(xiàn)），分析得出紅葡萄和白葡萄的聚類結(jié)果圖如下：圖1（紅葡萄）圖2（白葡萄）最后根據(jù)聚類結(jié)果圖可以對紅、白葡萄進行如下分級：分類樣品第一類紅葡萄樣品1第二類紅葡萄樣品27第三類紅葡萄樣品2,21,3,9,8，第四類紅葡萄樣品4,24,10,5,16,11,22,19,7,14,13,15,17,20,25,26,6,23,12,

22、18，表11（紅葡萄）分類樣品第一類白葡萄樣品1,6,26,7,24,11,12,15,13,17,2,14,18第二類白葡萄樣品19,27,25,4,16,10,8,22,5,23,9,20,3,21,28表12（白葡萄）問題三模型三：對于分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系這一問題，我們觀察附件3所給數(shù)據(jù)，選擇了花色苷、單寧、總酚、酒（葡萄）總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、色澤（L*(D65、a*(D65)、b*(D65)、H(D65)、C(D65)這些對應(yīng)的理化指標為研究對象，建立了下述兩個簡單的模型，分別用協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系進行了簡單分析。

23、協(xié)方差：其定義為，其中是期望值。從協(xié)方差的定義可以看出，它是的偏差與的偏差乘積的數(shù)學(xué)期望。由于偏差可正可負，也可為零，其具體表現(xiàn)如下：當時，稱與正相關(guān)，這時兩個偏差與同時增加或同時減少。由于與都是常數(shù)，故等價于與同時增加或同時減少，這是正相關(guān)的含義；當時，稱與負相關(guān)，這時增加而減少，或增加而減少，這是負相關(guān)的含義；當時，稱與不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)：其定義為，其中刻畫的是變量之間的線性關(guān)系，具體如下：當時，稱與不相關(guān)，指與之間沒有線性關(guān)系，但可能有其它函數(shù)關(guān)系；當時，稱與完全正相關(guān)；當時，稱與完全負相關(guān)；當時，稱與有“一定程度”的線性關(guān)系；越接近1，則線性相關(guān)程度越高；越接近于0，則線性相關(guān)程度越低。

24、特別地，當時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性。用協(xié)方差建立的模型：，其中是期望值，是相應(yīng)理化指標值的平均值。用Excell輔助求解，結(jié)果如下：紅協(xié)方差聯(lián)系相關(guān)系數(shù)聯(lián)系花色苷mg/100g鮮重0.8846正相關(guān)0.9226正相關(guān)（強）單寧(mmol/L)0.6914正相關(guān)0.718正相關(guān)總酚(mmol/L)0.8427正相關(guān)0.8751正相關(guān)（強）（葡萄）酒總黃酮(mmol/L)0.7924正相關(guān)0.8228正相關(guān)（強）白藜蘆醇(mg/L)0.013正相關(guān)0.1351正相關(guān)DPPH半抑制體積（IV50） 1/IV50(uL)0.7494正相關(guān)0.7783正相關(guān)色澤L*(D65)0.4754正相關(guān)

25、0.4937正相關(guān)a*(D65)-0.522負相關(guān)-0.542負相關(guān)b*(D65)0.0244正相關(guān)0.0254正相關(guān)H(D65)-0.275負相關(guān)-0.285負相關(guān)C(D65)-0.468負相關(guān)-0.456負相關(guān)表13白協(xié)方差聯(lián)系相關(guān)系數(shù)聯(lián)系單寧(mmol/L)0.55333正相關(guān)0.573825正相關(guān)總酚(mmol/L)0.527225正相關(guān)0.546757正相關(guān)（葡萄）酒總黃酮(mmol/L)0.671808正相關(guān)0.696689正相關(guān)白藜蘆醇(mg/L)-0.2052負相關(guān)-0.2128負相關(guān)DPPH半抑制體積（IV50） 1/IV50(uL)0.372512正相關(guān)0.386309正相

26、關(guān)色澤L*(D65)-0.13536負相關(guān)-0.14037負相關(guān)a*(D65)-0.02888負相關(guān)-0.02995負相關(guān)b*(D65)0.268985正相關(guān)0.278946正相關(guān)H(D65)0.280558正相關(guān)0.290948正相關(guān)C(D65)0.483919正相關(guān)0.501848正相關(guān) 表14結(jié)果分析： 對紅葡萄和紅葡萄酒而言，根據(jù)協(xié)方差的結(jié)果來看，紅葡萄酒與紅葡萄中的花色苷、單寧、總酚、酒（葡萄）總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、色澤（L*(D65) 、 b*(D65)）都呈正相關(guān)，即其相應(yīng)含量同時增加或同時減少，而色澤（L*(D65、a*(D65)、H(D65)、C(D65)則呈

27、負相關(guān)，即相應(yīng)的葡萄酒中的含量隨著葡萄中的增加而減少；又根據(jù)相關(guān)系數(shù)的結(jié)果來看，同樣，紅葡萄酒與紅葡萄中的單寧、總酚、酒（葡萄）總黃酮、DPPH半抑制體積、色澤（L*(D65 、 b*(D65)，H(D65)、C(D65)）都呈正相關(guān)，即其相應(yīng)含量同時增加或同時減少，而色澤（L*(D65、a*(D65)、H(D65)、C(D65)則呈負相關(guān)，特別地，紅葡萄酒與紅葡萄中的花色苷、總酚、酒（葡萄）總黃酮都具有很強的線性關(guān)系。 對白葡萄和白葡萄酒而言，根據(jù)協(xié)方差的結(jié)果來看，白葡萄酒與白葡萄中的單寧、總酚、酒（葡萄）總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、色澤（L*(D65) 、 b*(D65)）都呈正

28、相關(guān)，即其相應(yīng)含量同時增加或同時減少，而白藜蘆醇(mg/L) 、色澤（L*(D65、a*(D65)則呈負相關(guān)，即相應(yīng)的葡萄酒中的含量隨著葡萄中的增加而減少；又根據(jù)相關(guān)系數(shù)的結(jié)果來看，同樣，白葡萄酒與白葡萄中的單寧、總酚、酒（葡萄）總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、色澤（L*(D65) 、 b*(D65)）都呈正相關(guān)，即其相應(yīng)含量同時增加或同時減少，而白藜蘆醇、色澤（L*(D65、a*(D65)則呈負相關(guān)。問題四模型四：針對問題四，我們充分利用模型二中的方法應(yīng)用DPS數(shù)據(jù)處理軟件得出葡萄酒中理化指標的主成分分析結(jié)果（見附件1），主成分如下：紅葡萄酒理化指標主成分特征值百分率%累計百分率%花色

29、苷（mg/L)5.450349.548349.5483單寧(mmol/L)2.456622.332771.881總酚(mmol/L)1.695315.411987.2929 表15白葡萄酒理化指標主成分特征值百分率%累計百分率%單寧(mmol/L)3.508135.080635.0806總酚(mmol/L)3.001730.017565.0981酒總黃酮(mmol/L)1.199311.993177.0912 表16再利用模型二中的綜合打分法得到紅、白葡萄酒每個樣本的具體得分（見附件2）。這個得分能定量的反映出其理化指標的信息，也就能用來分析每個葡萄酒樣本的理化指標。再利用模型二中的釀酒葡萄相應(yīng)于其理化指標的得分以及葡萄酒質(zhì)量相應(yīng)于所含芳香物質(zhì)的得分，以及葡萄酒相應(yīng)于其理化指標的得分。把這三組數(shù)據(jù)分為（葡萄酒質(zhì)量相應(yīng)于所含芳香物質(zhì)的各個樣品得分）、（釀酒葡萄相應(yīng)于其理化指標的各個樣品得分）、（葡萄酒相應(yīng)于其理化指標的各個樣品得分），用回歸分析中的