復(fù)習(xí)專題：導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)-、導(dǎo)數(shù)公式(1) 、幾種常見的導(dǎo)數(shù) C 丄:(X：丁二( R)；(a )二:(e )二；I (log a X) =； (In x) =；(sin x) =；(cosx) =(2) 、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)則：k f(x)二:f(x)g(x) =；f(x) g(x)sin x練習(xí)：1、函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為2、若 f (x) = x21n x,則 f (x)二3、若 f(x)二sin ： -cosx,則 f(： ) =二、函數(shù)的單調(diào)性f (xp=C, f (x)在區(qū)間A單調(diào)遞增=f (x) 一0在A恒成立f (x) =C, f (x)在區(qū)間A單調(diào)遞減=f (x)乞0在A恒成立作用：可求單調(diào)區(qū)間 = 解不等式；

2、或判定函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)；常識(shí)：看到單調(diào)，就想到導(dǎo)數(shù)大于等于(或小于等于)0在給定區(qū)間恒成立練習(xí)：1、已知f (x)二ax3 3xx 1在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是 2、設(shè)f (x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，y = f(x)的圖象如圖(1)所示，貝U y = f(x)的圖象最 有可能為()3、已知函數(shù)y = f(x), y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y = f(x), y = g(x)的圖象%4、已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)- fx) g,)gx)，且 x 0 時(shí)，f(X). 0, g (x) . 0 ,則x : 0時(shí)( )A. f (x)0, g (x)0 B . f (x) .0

3、, g (x) ：0C. f (x) 0, g (x)0D . f (x) 0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1 )內(nèi)的極值.15、 已知函數(shù)f (x) = x3 - x2 ax b的圖像在點(diǎn)P (0,f(0)處的切線方程為 y=3x-23(I )求實(shí)數(shù)a,b的值；(n )設(shè)g (x) =f(x)+ m 是2,亠上的增函數(shù)。x1(i) 求實(shí)數(shù)m的最大值；(ii) 當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q,使得過點(diǎn) Q的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。1 _ a6、已知函數(shù) f(x)=lnx-ax1(a R)x

4、1(I)當(dāng)a =-1時(shí)，求曲線y二f (x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程；(ii )當(dāng)a 時(shí)，討論f (x)2的單調(diào)性2 a7、 已知函數(shù)f(x)=x2(x = 0，常數(shù)aR) 討論函數(shù)f (x)的奇偶性，并說明理由；x若函數(shù)f(x)在X，2，:：)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.8、已知函數(shù)f(x)=x3-x 求曲線y二f(x)在點(diǎn)M (t, f(t)處的切線方程；設(shè) a 0，如果過點(diǎn)(a, b)可作曲線y = f (x)的三條切線，證明： -a ： b ： f (a).9、 已知函數(shù) f(x) =3ax4 -2(3a 1)x2 4x1(I)當(dāng)a 時(shí)，求f(x)的極值；(II)若f(x)在-

5、1,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍6二階導(dǎo)數(shù)的意義二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)一次，意義如下：(1) 斜線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率(2) 函數(shù)的凹凸性。(3) 判斷極大值極小值。結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，為極小 值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，為極大值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都等 于零時(shí)，為駐點(diǎn)。、用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值或極小值定理f (x)在X。二階可導(dǎo)，且f(X。)= 0, f (Xo)-若 f (Xo)f(X)在Xo取得極大值;若 f (Xo) o右，則f(X)在Xo取得極小值.試問a為何值時(shí)，函數(shù)1fgmnx 3S

6、in3X在處取得極值？它是極大值還是極小值？求此極值.f (x)二 acox coSx.,兀a由假設(shè)知f(3)= 0，從而有 21 = 0，即 a 二 2.又當(dāng) a 顯時(shí)，f (x)二 2sin3sin3x，且01 -,所以f (x) = 2sin x - sin 3x在x處取得極大值，且極大值f (3)3例求函數(shù)f(x)x3 - 3x29x5的極大值與極小值.33解f(x)在-2,4上連續(xù)，可導(dǎo)令f (xp 3x2 - 6x - 9 二 3(x 1)(X- 3p 0，得x =1 和 x= 3，思考： f (x)在X = -1取得極大還是極小值？在 X = 3取得極大還是極小值？f (x) =

7、 6x 6-1代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為-12， f (x)在X = -1取得極大值3代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式12,在X = 3取得極小值三、函數(shù)圖像凹凸定理若f (X)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則曲線y二f (x)在(a,b)內(nèi)的圖像是凹曲線的充要條件是f (X) 0，X (a,b).曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)的圖像是凸曲線的充要條件是f (X)亠0 ,(a,b)。幾何的直觀解釋：如果如果一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I上有f(x)0恒成立，那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。1.曲線的凸性對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最

8、小值進(jìn)行了討論，使我們知道了函數(shù)變化的大致情況但這還不夠，因?yàn)橥瑢賳卧龅膬蓚€(gè)可導(dǎo)函數(shù)的圖形，雖然從左到右曲線都在上升，但它f （Xi） f（X2）2f（定義設(shè)y二f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，若曲線y二f (x)位于其每點(diǎn)處切線的上方，則稱它為在(a,b)內(nèi)下凸(或上凹)；若曲線y = f(x)位于其每點(diǎn)處切線的下方，則稱它在(a,b)內(nèi)上凸(或下凹)相應(yīng)地，也稱函數(shù)y二f (x)分別為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)和上凸函數(shù)(通常把下凸函數(shù)稱為凸函數(shù))從圖1 1和圖1 2明顯看出，下凸曲線的斜率tan= f (x)(其中為切線的傾角)f (x)隨著x的增大而減小，也就f (x)來判定，因此有下述定理.