中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)綜合題及答案解析

1、一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.己知RS ABC中，AB是00的弦，斜邊AC交。0于點D,且AD=DC,延長CB交。0 于點E.（1）圖1的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說 明理由：（2）如圖2,過點E作。的切線，交AC的延長線于點F.若CF=CD時，求sinNCAB的值；若CF=aCD （a>0）時，試猜想sin/CAB的值.（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié) 果）【答案】AE=CE： （2）3：。+ 2.【解析】試題分析：（1）連接AE、DE,如圖1,根據(jù)圓周角定理可得/ADEN ABE=90。，由于AD=DC,根據(jù)垂直平分

2、線的性質(zhì)可得AE=CE；（2）連接AE、ED,如圖2,由NABE=90?？傻肁E是。的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得 NAEF=90。，從而可證到 ADE- AEF,然后運用相似三角形的性質(zhì)可得"E2=aDAF. 當(dāng)CF=CD時，可得力非= 367）2,從而有ec=ae=WcD,在RS DEC中運用三角函數(shù)可得DC 、尸sin/CED= - H,根據(jù)圓周角定理可得NCAB=NDEC,即可求出sinN CAB的值；當(dāng) CF=aCD （a>0）時，同即可解決問題.試題解析：（1） AE=CE.理由：連接 AE、DE,如圖 1, N ABC=90°, Z ABE=90, /. Z

3、 ADE=Z ABE=90°, 丁 AD=DC,/. AE=CE：（2）連接 AE、ED,如圖 2, N ABE=90。，AE 是。的直徑，EF 是。00 的切線， AE ADZ AEF=90", /. Z ADE=Z AEF=90% 又；Z DAE=Z EAF, & ADE- & AEF, /. M： AE,，"2=adaF.當(dāng) CF二CD 時，AD=DC=CF, AF=3DC,力戌=dc3DC=32, . AE=DC. T EC=AE, DC DC/. ECk'dC, Sinz CAB=sinZ CED=/?C=DC= 3 ：、/a +

4、 2當(dāng) CF=aCD (a>0)時，sinZ CAB= a + 2 .CF=aCD, AD=DC, /. AF=AD+DC+CF= (a+2) CD,加也0 (a+2) DC= (a+2)。仁 /. AE=?？FF2DC, , EC=AE, /. EC=Va + 2DC,考點：1.圓的綜合題：2.探究型：3.存在型.2.如圖，MN為一電視塔，48是坡角為30。的小山坡（電視塔的底部N與山坡的坡腳4在 同一水平線上，被一個人工湖隔開），某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量這座電視塔的高度.在坡腳 4處測得塔頂M的仰角為45。：沿著山坡向上行走40m到達C處，此時測得塔頂M的仰角（參考數(shù)據(jù)：丘"

5、.41, 6 kl.73,結(jié)果保留整數(shù)）【答案】95m【解析】【分析】過點C作CELAN于點E, CFLMN于點F.在 ACE中，求AE = 2oJJm,在 RTdMFC 中，設(shè) MN = xm,則 AN=xm. FC=xm,可得 x + 20（ x-20）,解方程可得答案.【詳解】解：過點C作CEJLAN于點E, CF_LMN于點F.在 ACE 中，AC=40m, Z CAE = 30°/. CE = FN = 20m, AE = 2o/m設(shè) MN = xm,則 AN=xm. FC=6xm, 在RTA MFC中MF = MN-FN = MN-CE=x-20FC = NE = NA+

6、AE=x+20 有/ Z MCF = 30°/. FC= V3 MF,即 x + 20VJ = 0 (x-20)包 40小解得：X=V3-1= 60 + 2073-95m答：電視塔MN的高度約為95m.【點睛】本題考核知識點：解直角三角形.解題關(guān)鍵點：熟記解直角三角形相關(guān)知識，包括 含特殊角的直角三角形性質(zhì).3.如圖，在正方形A8c。中，E是邊48上的一動點，點F在邊8c的延長線上，且CF = AE9連接DE, DF, EF.FH平分ZEFB交8D于點、H.（1）求證：DELDFx（2）求證：DH = DF ：（3）過點H作HM上E尸于點M,用等式表示線段A8,與EF之間的數(shù)量關(guān)系，

7、并證明.C【答案】（1）詳見解析：（2）詳見解析：（3） £F = 2A8 2MW,證明詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，。尸=從石得到。石_1。尸.（2）由 AAED q ACFD,得。石=。尸.由 NABC = 90°, 8。平分 NABC,得NDBF =45。網(wǎng)為FH平分NEFB,所以NEFH = NBFH.由于ZDHF = ZDBF + ABFH = 45°+ZBFH, ZDFH = ZDFE+ZEFH =45°+ZEFH, 所以DH = DF .（3）過點”作HN_L3C于點N,由正方形A8CO性質(zhì)，得BD = AB2 + AD2

8、 = y2AB -由 FH 平分 ZEFB, HM _L EF, HN _L 3C，得HM = HN.因為NHBN = 45。, ZHNB = 90°,所以 BH = - = ®HN=戊HM . sin 450由 EF = = gDF = >JDH ,得 EF = 2AB-2HM. cos 45°【詳解】（1）證明：.四邊形A8CZ）是正方形，AD = CD, ZEAD = ZBCD = ZADC = 90°.1, ZEAD = ZFCD = 90°.,1 CF = AE 0. AAED dCFD.ZADE = ZCDF. ZEDF =

9、Z.EDC+Z.CDF = /EDC+ZADE = ZADC = 90°.DE±DF.（2）證明：AAED ACFD.DE = DF.V ZEDF =90°,V . ZDEF = ZDFE = 45°.V ZA5C = 90°, BD 平分 NABC，ZDBF =45。.FH 平分 ZEFB,ZEFH = ZBFH.ZDHF = ZDBF + ZBFH = 45。+ZBFH,ZDFH = ZDFE+乙 EFH = 45° + ZEFH,ADHF = ZDFH .DH = DF. EF = 2AB 2HM.證明：過點H作HN上BC于點N

10、,如圖，.正方形A3CQ中，AB = AD> ZBAD = 90。，1 BD = jAZf + A。'=屈AB -:FH 平分 NEFB， HM ± EF, HN 1BC, HM = HN.ZHBN = 45°, ZHNB = 90°,/. BH = -/A - = y/2HN = 41HM.sin 45°.1 DH =BD-BH =&AB-&HM ,EF = - = y/2DF = y/2DH , cos 450EF = 2AB-2HM.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的

11、 關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù).4.超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識 檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在到萬豐路（直線40）的距離為120米的點P處.這時，一輛 小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為5秒且N APO=60。，Z 8Po=45°.（1）求4 8之間的路程：（2）請判斷此車是否超過了萬豐路每小時65千米的限制速度？請說明理由.（參考數(shù) 據(jù)：721.414,731.73）.【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：（1）A8 = 100（6-1）*73.2 （米

12、）.6 分73 2（2）此車制速度v=j- =18.3米/秒 5.3如圖， ABC中，AC=BC=10, cosC=p 點P是AC邊上一動點（不與點A、C重合）， 以PA長為半徑的。P與邊AB的另一個交點為D,過點D作DE±CB于點E.（1）當(dāng)OP與邊BC相切時，求OP的半徑.（2）連接BP交DE于點F,設(shè)AP的長為x, PF的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直 接寫出x的取值范圍.（3）在（2）的條件下，當(dāng)以PE長為直徑的。Q與OP相交于AC邊上的點G時，求相交 所得的公共弦的長.【答案】（1）/? = y； （2） ）' =、：；（）&_8x + 80; （3）

13、 50-1075.【解析】【分析】3（1）設(shè)OP與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP_LBC, cosC=-,則4HP R4nn -T-4XZU7sinC= t sinC=一, 即可求解;5CP10 R5EB BF（2）首先證明PDII BE,則7萬=/下，即:2-5" &:+ 80-y，即可求解;（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG = EP = BD,即：AB = DB+AD = AG+AD =46,即可求解.【詳解】（1）設(shè)0P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,540R=:93cosC=,過點B作BHJ»AC,(2)在 ABC 中

14、，AC=BC = 10,AB=46,則：tanZ CAB = 2t34連接 HP,則 HPJ«BC, cosC=，則 sinC=一，HP R 4 小 sinC=,解得:CP 10 R 5設(shè) AP = PD = x, NA=NABC=B，BP=后+0-4)2 = V%2-8X + 80 'DA=x,則 BD=4 y/5 - x, 55如下圖所示，PA=PD, J N PAD = N CAB = N CBA = B，Bl 2J512EB=BDcosp=（475 - -x） x-= =4 - x, /. PDII BE,EB BF 4x i 2 q=，即：5- 8x + 80 -

15、y ,PD PF =x y整理得：y=/x - 8x + 80 ：3x + 20(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示,兩個圓交于點G,則PG = PQ,即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D,GD為相交所得的公共弦, :點Q是弧GD的中點， /. DGJLEP, AG是圓P的直徑, Z GDA=90% /. EPII BD,由(2)知，PDII BC,四邊形PDBE為平行四邊形,AG = EP=BD>/. AB = DB+AD=AG+AD = 4 逐, 設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中，2r 4rAD = 2rcosP=* DG= , AG = 2r,2r _20丁2r=4",解

16、得：2斤石,1 4r則：DG=下=50-10亞，相交所得的公共弦的長為50-1075 .【點睛】本題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中(3),要 關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.6.關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin (a+P)=sinacosp+cosasinp(T)cos (a+p) =cosacosp - sinasinp(2)tana + tan。tan (a+R)- tana ta呼利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如： tan450 + tan6001 + 河(1 + 8)(1+

17、3)tanl05°=tan (45°+60°) 的45。- tan60° 1 - 1 (1 -、8)(1 + 檔=_(2+/).根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角a=60。，底端C點 的俯角B=75。，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高為84米.【解析】分析：如圖，過點 D 作 DE_LAB 于點 E,由題意易得N ACB=75°, Z ABC=90°, DE=BC=42m,Z ADE=60%這樣在

18、ABC和在RS ADE中，結(jié)合題中所給關(guān)系式分別求出AB和AE的 長，即可由CD=BE=AB-AE求得結(jié)果了.詳解：如圖，過點 D 作 DE_LAB 于點 E,由題意可得N ACB=75。，Z ABC=90°, DE=BC=42m,CD=BE, Z ADE=60",/.在 RtA ABC 和 RtA ADEtan45° + tan30042 x1 - tan45 0 - tan30°AB=BC>tan75°=42tan75°=ae=42 x tan600 =42,31+?= 42x = 42«3 + 84d, CD=A

19、B - AE=423 + 84 - 42= 84（米）答：建筑物CD的高為84米.睛：讀懂題意，把已知量和未知量轉(zhuǎn)化到RSABC和RS ADE中，這樣利用直角三角形中 邊角間的關(guān)系結(jié)合題目中所給的“兩角和的三角形函數(shù)公式即可使問題得到解決.3/7.小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤4c的坡角為30。，AC長一之一米，釣竿40的傾斜角 是60。，其長為3米，若AO與釣魚線08的夾角為60。，求浮漂8與河堤下端C之間的距 離（如圖）.【答案】1. 5米.【解析】試題分析：延長0A交8c于點。.先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出3CAD = 180。"ODB "CD = 90。.在

20、RtA ACD 中加）=A（： CD =蹂，62人。=33BD = 0D = 0A + AD = 3 + = 4.5米，再證明80。是等邊三角形，得到2 米，然后根據(jù)BC=BD-CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.試題解析：延長04交8c于點D,4。的傾斜角是60°,.ZOD£? = 60°. .ACD = 30°A LCAD = 180° - LODB -乙ACD =90°.3 v13、乃 3AD = AC X3n/LACD = - X -=- 在 R3 4CD 中，232（米）,/. CD=2AD=3 米，又4。=60 &#

21、176; , BOD是等邊三角形， 3BD = OD = OA+AD = 3 + = 4.5 ：.2（米），BC=8D-C。=4.5-3=1.5（米）答：浮漂8與河堤下端C之間的距離為L5米.8.如圖，RtA ABC, CAXBC, AC=4,在AB邊上取一點D,使AD = BC,作AD的垂直平 分線，交AC邊于點F,交以AB為直徑的。于G, H,設(shè)BC=x.（1）求證：四邊形AGDH為菱形：（2）若EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：（3）連結(jié) OF, CG.若 AOF為等腰三角形，求。的面積；若BC=3,則炳CG+9=.（直接寫出答案）.【答案】 證明見解析；（2） 丫=卜（x>0）：

22、 梟或8n或（2g+2） 83三：4 vH 【解析】【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可：（2）只要證明 AEF ACB,可得匹=變解決問題：AC BC（3）分三種情形分別求解即可解決問題：只要證明ACPGs a HFA,可得7： = ：*，求出相應(yīng)的線段即可解決問題;【詳解】（1）證明：,GH垂直平分線段AD,HA=HD, GA = GD, , AB是直徑，AB±GH, EG = EH, DG = DH, . AG = DG = DH=AH,四邊形AGDH是菱形.(2)解：:AB是直徑, . Z ACB = 90",AE

23、77;EF,Z AEF = Z ACB = 90%/ Z EAF=Z CAB, . A AE' a ACB,AE EF 7E 一正4 x. y=-x2 (x>0).801GH垂直平分線段AD,FA = FD,當(dāng)點D與。重合時，aAOP是等腰三角形，此時AB = 2BC, Z CAB = 30%AD 85/3 /. AB=, 3OO的面積為2n. 302; ab= Jac?+bc? = 716+x2，解得x=4 （負(fù)根已經(jīng)舍棄），. ab=4點，OO的面積為8rc.如圖2-1中，當(dāng)點C與點F重合時，設(shè)AE=x,則BC=AD = 2x, AB=46 + 4/，圖21 ACE- 口 A

24、BC,AC2=AEAB, 16=x J16+4%2，解得x2 = 2g -2 （負(fù)根已經(jīng)舍棄）， AB? = 16+4x2=8 VT7+8,。的面積=ttLAB2= （2J17+2） n4綜上所述，滿足條件的。o的面積為gn或8n或（2 JF7 +2） H； 如圖3中，連接CG.AC=4, BC=3, Z ACB = 90% AB = 5, AE=-, OE = OA-AE = 1,.FG=-228AF= JaErEF? =2, AH=JaE、EH2 =對 o2Z CFG = Z AFH,Z FCG = Z AHF, CFG- 4 HFA,GF CG舊_9-CG15 回8 丁.rr_ 2 屈

25、_ 3 同510癡CG+9=4&T故答案為40.【點睛】本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱 形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線， 構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.9.在矩形ABCD中，AD>AB,點P是CD邊上的任意一點（不含C, D兩端點），過點P 作PFII BC,交對角線作于點F.隅1）（圖2）（圖3）（備用圖）（1）如圖1,將 PDF沿對角線BD翻折得到 QDF, QF交AD于點E.求證： DEF是等 腰三角形；（2）如圖2,將 PDF繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到 PD

26、F,連接，C, F'B,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a （0°<a<180°）.若0°Va<NBDC,即DF'在N BDC的內(nèi)部時，求證： DP'O DF'B.如圖3,若點P是CD的中點， DFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時tan/DBF的值，如果不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；;或今.【解析】【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知ndfq=nadf,所以 DEF是等腰三 角形：（2）由于 PFII BC,所以 DPF- DCB,從而易證4 DP'F'- DCB；由于 DFB是直角三角形，但不知道哪個的角是直角，故需要對該三角形的內(nèi)角進行分 類討論.【詳解】（1）由翻折可知：Z DFP=Z DFQ.* PF II BC, Z DFP=Z ADF, . Z DFQ=Z ADF,DEF是等腰三角形：(2)若0"<a<Z BDC,即DF'在N BDC的內(nèi)部時,Z P'DF'=N PDF, Z PDF - Z PDC=Z PDF - Z FDC, . Z P'DCNDB.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:A DP心 DPF,PF II BC