二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見(jiàn)題型

1、二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見(jiàn)題型一、二次根式的定義形如八(a 20)的式子叫做二次根式.其中“ V 一 ”叫做二次根號(hào)，/叫做被開(kāi)方 數(shù).(1)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍；(2)判斷一個(gè)式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷：是否含有二次根號(hào)“ y/ 一 ” ；被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合,則是二次根式;若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),則不是二次根式.(3)形如小4的式子也是二次根式，其中“，叫做二次根式的系數(shù),它表示的是:(4)根據(jù)二次根式有意義的條件,若二次根式乒方與相彳都有意義,則有A = B.二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì)：(1)雙重非負(fù)

2、性：石20, “ 20；(主要用于字母的求值)(2)回歸性：(八丫=。(“2();(主要用于二次根式的計(jì)算)(3)轉(zhuǎn)化性：，產(chǎn)=同="("：° .(主要用于二次根式的化簡(jiǎn))a(a < 0)重要結(jié)論:(I)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為。，則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.若圄+爐 +痣=0,則 A = O,3 = O,C = O.應(yīng)用與書(shū)寫(xiě)規(guī)范：V A + B2+4c=0t|川。0,片0, Vc >0，A = O,B = O,C = O.該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值.(2)向F引i弋二Z累；主要用于二次根式的化簡(jiǎn)l |a/A2 B(A>0)(3) A>lB=,

3、_I-Ja2 B(A<0)該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡(jiǎn)：可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符 號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi)，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(4)(A7萬(wàn)=4.3,其中 5 20.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例】.式子看在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是分析:本題考查二次根式有意義的條件,即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，注意分母不能為0.解油二次根式有意義的條件可知例2.若孤），為實(shí)數(shù)，且y =+ 1化簡(jiǎn):匕分析:本題考查二次根式有意義的條件，且有重要結(jié)論:若二次根式斥石與歷了都有意義，則有A = 3.且=山=一1 y - 1 y -1習(xí)題1.如果歷不有意義,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是習(xí)題 2

4、.若），=4!=W +二7 + 2,貝IJ"=習(xí)題3.要使代數(shù)式舊與有意義，則x的最大值是習(xí)題4.若函數(shù)y=W，則自變量x的取值范圍是 x例3.若+ /4 + 4 = 0,貝lj的值等于(A) -2(B) 0(C) 1(D) 2分析:本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論:若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為。，則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于 0.解:=F + /Z -4 + 4 = 0 VT +(-2f =0V V70,(/?-2)20/.。- 1 = 0力2 = 0I：. ci = L/? = 2"=1x2 = 2.選擇【D 】.例4.無(wú)論A取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式6x + m都有意義，則的取值范圍是.分析:

5、無(wú)論八取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式42-6%+ ,都有意義，即被開(kāi)方數(shù)Y-6x + ?20恒成 立，所以有如下兩種解法：解法一:由題意可知：/ -6x +機(jī)20*.* x2 6x + m = (x 3)' + m-9 20:.(工-329-加"-206 29.解法二:設(shè) y = a 2 - 6x + m:無(wú)論X取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式&-6X + 7都有意義:.y = x' -6x4- m 20 恒成立即拋物線V = - - 6x + m與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn):.A = (- 6)' 4m = 36 - 4m 近0)解之得:m 29.例5.已知4也c是 ABC的三邊長(zhǎng)，

6、并且滿足，7元+ |8 - H + T+100 = 20°,試判斷ABC的形狀.分析:非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值.解:，/-6 + |8-| + 02 +100 = 20c/. V6/-6+|/?-8| + c2 -20c + 100 = 0 ，/-6 + »-8| + (10)2 =0y/a-6 20,-8| 20,(c -1020二。一6 = 0力-8 = 0,10 = 0:.a = 6,Z? = 8,c = 10V a2 +b2 =62 +8? =100./ =1()2 =100/. a2 +b2 =c2ABC為直角三角形.習(xí)題6.已知實(shí)數(shù)滿足卜-4|

7、+石二 =。，則以KN的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為(A) 20 或 16(B) 20(C) 16(D)以上答案均不對(duì)習(xí)題7.當(dāng)x =時(shí),y/9x + i + 1取得最小值,這個(gè)最小值為.J X2 4 + a/4 X1習(xí)題&已知y =" ，則X的值為.A-2習(xí)題9.已知非零實(shí)數(shù)ab滿足b8d + 16 +|/;-3| +5XH) + 4 = q,求的值.提示：由(“ - 5)(/ + 1) 20,且/+ 1 >0可得：。-5 20, :. a 25.例6.計(jì)算:(1)(V6)2;(2) (Vl+3)2;(3)分析:本題考查二次根式的性摩：（、石（，20）.該性質(zhì)主要用

8、于二次根式的計(jì)算.解：卜后丫 =6；(2) (VzTf3)2=2x + 3;=（一3）葭閶=9亭6注意：（Av）2 = A? I,其中3 20.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例7.化簡(jiǎn):(1) V257;(2)；(3) Vx2-6x + 9 (x<3).分析:本題考查二次根式的性質(zhì)："=同=J"“ ,.該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡(jiǎn).解：(D V25? = |25| = 25；(3) >lx2 -6a+9 =7(x-3)2 =|x-3|V a <3原式= 3 - x.注意：結(jié)論：= 一:該結(jié)論主要用于二次根式和絕對(duì)值的化簡(jiǎn).例&當(dāng)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)：k

9、+ 5| + J(x 2( +J(1.1解二二次根式4二萬(wàn)有意義Aa-30:.X 23A |x + 5| + J(1 -1,= |x + 5| + |x-2| + |l-x|=x+5+x-2+x-l= 3x + 2例9.化簡(jiǎn)：(石二杰f.分析：而守=卜-2|,繼續(xù)化簡(jiǎn)需要x的取值范圍，而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身 的隱含條件：V7-3的被開(kāi)方數(shù)工-3為非負(fù)數(shù).解:由二次根式有意義的條件可知:20=x - 3 + |x - 2| =x-3+x-2= 2x-5例10.已知。<Q<1,化簡(jiǎn)/ +，+ 2 -)“ +，-2 二 解:a + + 2 + -2J(-時(shí)J-l-ds忑 1 后

10、一 - 一+jlgjl&jlg后 + + + 一。后 L52V, 一一 = =2XIHJ/1忑圖例11.已知直線y = (j-3)x +一2 (八是常數(shù)),如圖(1)，化簡(jiǎn)|l|-4 + 4-.解:由函數(shù)y = (m - 3).r + ?- 2的圖象可知：加一3>0,一 2<0:.m>3,n<2/. m - | - yin2 -4/7 + 4 -m -1| =- /z| - J( - 2)，- m -1| =m - 7z| - n -2|-17? - 1| =m - 一(2 - )一 (m - 1) =m-n-2 + n-m + 1=-l例12.已知。力,c在數(shù)

11、軸上的位置如圖(2)所示，化簡(jiǎn):同一Jg + c)2-后.圖(2)解:由數(shù)軸可知:C < 4 V 0 V Z?:.a + c<0；同+ C)- + J(c _4 )- - yfb=-a - a + c| + 卜-6/1 - |Z?|=-a + a + c + a - c -h=a - b習(xí)題10.要使J(x-2 =(VT及/的取值范圍是 習(xí)題11.若W7 + a =。則的取值范圍是 習(xí)題12.計(jì)算：(收)=12習(xí)題13.計(jì)算：一:&=.習(xí)題14.若Ja 3)2 =工一3成立測(cè)X的取值范圍是一習(xí)題15.下列等式正確的是(A)=3(B) 7(-3)2 =-3(C)疔=3(D)(

12、一=_3習(xí)題16.下列各式成立的是(A)<"2;(B)(乃3)2 =3 %(D) 6 +4、=7習(xí)題17.計(jì)算：(一2"丫 = 習(xí)題i&化簡(jiǎn)：(C?+VF= 習(xí)題 19.若府二石，f + +2A + l=O,貝IJM+J網(wǎng)=習(xí)題20.已知一 1V4V0,化簡(jiǎn)+r4)+ 4得.習(xí)題2L實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖(3)所示,化簡(jiǎn)代數(shù)式:yla2 - 2a+ + b-c| - ia2 - 2ab+b2 的結(jié)果為(A) 2b c l(D) b-c + (C) 2n-c-l圖(3)習(xí)題22.化簡(jiǎn):-4x +1 -.例13.把上中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是(A) J-a

13、(B) - yci(C) yci(D) 7 - a分析:本題實(shí)為二次根式的化簡(jiǎn)：某些二次根式在化簡(jiǎn)時(shí),把根號(hào)外的系數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，可以 達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但要注意根號(hào)外面系數(shù)的符號(hào).有如下的結(jié)論： J/V 3(A>0)a4b= _L，其中3川.-yJA2 B(A<0)解:由二次根式有意義的條件可知：-10 a：.a<0:."J = -J"? .選擇【D 】.習(xí)題23.化簡(jiǎn)(2 - n)J二得. a-2三、二次根式的乘法一般地，有:ya . yb = Jcib （a 20,。20）(1)以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的條件：“20, b 20.即參與乘

14、法運(yùn)算的每個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)均為非負(fù)數(shù)；(2)二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算；(3)兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為：，6-布=小'而( 20,0 20)；(4)二次根式的乘法公式可逆用，即有：yfab = Ja - 4b (a 20,。20)公式的逆用主要用于二次根式的化簡(jiǎn).注意公式逆用的條件不變.例 14.若 4 - -7a-6 = ylx(x-6)成立，則(A) x26(B) 0WxW6(C)(D) x為任意實(shí)數(shù)分析:本題考查二次根式乘法公式成立的條件：口巫=、江(“ 20,。20)解:由題意可得:卜八x-6>0解之得:工26.選擇【A】例15.若vF-i = V7TT

15、 GT成立廁%的取值范圍是分析:本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件：府=口現(xiàn)（，20/20）解:由題意可得/x+l>0x-l>0例16.計(jì)算:(。20).解：五?.2a=-a20).2fl-a (2習(xí)題24.計(jì)算出x后二（ 7TX_習(xí)題25.已知m=一二 x（2歷）,則有(A) 5<m<6(C) -5<n/<-4(B) 4<?<5(D) 一6<7<5習(xí)題26.化簡(jiǎn)V12的結(jié)果是.四、二次根式的除法一般地，有:Ca 20,>0)（1）以上便是二次根式的除法公式，要特別注意公式成立的條件;二次根式的除法公式用于二次根式的計(jì)算;(

16、3)二次根式的除法公式可寫(xiě)為：八一孤二工工 （20力0）；(4)二次根式的除法公式可逆用,即有:公式的逆用主要用于二次根式的化簡(jiǎn)，注意公式逆用的條件不變.五、最簡(jiǎn)二次根式符合以下條件的二次根式為最簡(jiǎn)二次根式:（1）被開(kāi)方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式;（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有分母或小數(shù).注意:二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.六、分母有理化把分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，叫做分母有理化.如對(duì)進(jìn)行分母有理化，過(guò)程為:141 行滸 1進(jìn)行分母有理化，過(guò)程為 1 一 3-、£3-、笈為：及;=（3 +后）（3_后丁-注意:隨著學(xué)習(xí)的深入，在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡(jiǎn)的環(huán)節(jié)可以省略，以簡(jiǎn)化計(jì)算.例及

17、式子言二昌成立的條件是分析:本題求解的是X的取值范圍，考查了二次根式除法公式逆用成立的條件:（</ 20步0）.a- + 1 > 0解:由題意可得:，八 x - 2 > 0解之得:x>2.例20.計(jì)算：,1、0 萬(wàn) 八、V2O-1 小病-、&癡- 1 癡 1 c 石FTFLk'解法】：與色警冬后" = "2 = 2.解法2:例21.計(jì)算：(1)7H國(guó)-2同;解：(1)原式=同乂：5 2=r("iH30xl=x J16x24="-x4x V24 = -372(2)原式=、保乂 18=存習(xí)題27.下列計(jì)算正確的是(A)

18、 V12 =273(C) J- / =xd- x習(xí)題2&計(jì)算:后x&J=_習(xí)題29.計(jì)算:4向(2)瓦一回x島.圖2X 一5= 272.<B>整孚(D) E =x二次根式的乘除混合運(yùn)算習(xí)題30.直線），=怎-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.習(xí)題31.如果川0,。+力<0,那么下面各式:其中正確的是 （填序號(hào)）.習(xí)題32.若H?<0,則化簡(jiǎn)麻的結(jié)果是，習(xí)題33.計(jì)算：例2Z先化簡(jiǎn),再求值:巾三產(chǎn),其中、=五一21 X2 +4x + 4解:7+1 +； x + 3(冗+1心-1) x +1=-.A +1 x+1(x+ 2)2_(x + 2)(x-2)x+1-x+1 (

19、x + 2>x-2"-7+2當(dāng)工=四一2時(shí)原式=_v12-2-2=_-4=2%/2-2 + 2 V2習(xí)題34.先化簡(jiǎn)，再求值:告-忐丁若，其中"尤+ L習(xí)題35.先化簡(jiǎn)，再求值:一1卜：7淇中戶J=阮習(xí)題36.下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是(B)也(C)加(D) yjn例23.觀察下列各式：1 _1-6_ 6 八TT72(1 + V2)(1-V2)""，'1_丘-6_ B.V27V3 也+6口-，I_ /7歷京萬(wàn)一郎+石曲-何一'(1)請(qǐng)利用上面的規(guī)律直接寫(xiě)出1V99+V100的結(jié)果;(2)請(qǐng)用含(為正整數(shù))的代數(shù)式表示上述規(guī)律，并證明;計(jì)算:(占+春+號(hào)M+而卜("麗)