電磁場與電磁波期末復(fù)習(xí)2014-2015

1、期末復(fù)習(xí)（期末復(fù)習(xí)（2014-2015）第第 2 版版證明：()0A 在矢量場中任取一個體積V，由散度定理，得()dV()VsAA dS Sl1S2S閉合面 可用其表面上的一條閉合有向曲線分為兩個有向曲面及由旋度定理，得1212slslA dSA dlA dSA dl ()=0sllA dSA dlA dl即()0A ()0 證明：證明：在矢量場中任取一個有向曲面在矢量場中任取一個有向曲面S，由旋度定理，得由旋度定理，得()SldSdllle dl由梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系由梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系lel ()SldSdll0()0 如圖所示，試根據(jù)靜電場邊界條如圖所示，試根據(jù)靜電場邊界條件證明兩種絕

2、緣介質(zhì)交界面上滿件證明兩種絕緣介質(zhì)交界面上滿足：足： 2121tantan證明：根據(jù)靜電場的邊界條件1n2n1t2tD = D,E = E222111coscosEE有2211sinsinEE上兩式相除可得：2121tantan即設(shè)半徑為設(shè)半徑為a，電荷體密度為，電荷體密度為 的無限長圓柱帶電體位于的無限長圓柱帶電體位于真空，計(jì)算該帶電圓柱內(nèi)、外的電場強(qiáng)度。真空，計(jì)算該帶電圓柱內(nèi)、外的電場強(qiáng)度。 xzyaLS1 選取圓柱坐標(biāo)系，由于場量與 z 坐標(biāo)無關(guān)，且上下對稱，因此電場強(qiáng)度一定垂直于 z 軸。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對稱的特點(diǎn)，場強(qiáng)一定與角度 無關(guān)。 因此，可以利用高斯定理求解。 取半徑為

3、 r ，長度為 L 的圓柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面。應(yīng)用高斯定律，得 0dSqESxzyaLS1 因電場強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為11 ddd2SSSE SESrLEES 當(dāng) r a 時(shí)，則電荷量q 為 , 求得電場強(qiáng)度為 Laq2202rareE已知一根長直導(dǎo)線的長度為已知一根長直導(dǎo)線的長度為1km,半徑為半徑為0.5mm,當(dāng)兩端外加當(dāng)兩端外加電壓電壓6V時(shí)，線中產(chǎn)生的電流為時(shí)，線中產(chǎn)生的電流為1/6A,試求：試求：1導(dǎo)線的電導(dǎo)率導(dǎo)線的電導(dǎo)率2導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度3導(dǎo)線中損耗功率密度導(dǎo)線中損耗功率密度解：1、由

4、U=IR,求得636( )1/6R 由373 210=3.54 10 (S/ m)36 (0.5 10 )llRSRS得2、導(dǎo)體中的電場強(qiáng)度為 =6x10-3(V/m)3、單位體積中的損耗功率即損耗功率密度23221274.4(W/ m )1)lpEEr lW(導(dǎo)線中的損耗功率為P=UEl在具有氣隙的環(huán)形磁心上緊密繞制在具有氣隙的環(huán)形磁心上緊密繞制 N 匝線圈，如圖所示。當(dāng)線匝線圈，如圖所示。當(dāng)線圈中的恒定電流為圈中的恒定電流為 I 時(shí)，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求時(shí)，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁心及氣隙中的磁通密度及磁場強(qiáng)度。磁心及氣隙中的磁通密度及磁場強(qiáng)度。 解 忽略漏磁通，磁通

5、密度的方向沿環(huán)形圓周。由邊界條件知，氣隙中磁通密度Bg等于磁心中的磁通密度Bf ，即gfBB0gfHH圍繞半徑為r0的圓周，利用安培環(huán)路定律，且考慮到 r0 a ， 可以認(rèn)為線圈中磁場均勻分布，則dNIHlNIdrBdB) 2(0f0 g得考慮到 ，得 gfBB 0gf 00 (2 )NIdrd eBB氣隙中的磁場強(qiáng)度Hg 為 gg 0 00 (2 )NIdrdeBH磁心中的磁場強(qiáng)度 Hf 為 0ff 00 (2 )NIdrdeBH在均勻線性各向同行的非磁性導(dǎo)電介質(zhì)（在均勻線性各向同行的非磁性導(dǎo)電介質(zhì)（ ）中，）中，當(dāng)存在恒定電流時(shí)，試證磁通密度應(yīng)滿足矢量拉普拉斯方程當(dāng)存在恒定電流時(shí)，試證磁通

6、密度應(yīng)滿足矢量拉普拉斯方程020B證明：0000222=0=0=0=0BHBJBJJJBBBBBBB 根據(jù)上式兩邊同時(shí)取旋度且（）-得 （）-又計(jì)算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈計(jì)算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍介質(zhì)為真空，如圖所示。與導(dǎo)線平行，周圍介質(zhì)為真空，如圖所示。解 建立圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸方向與電流 I1一致，則 I1 產(chǎn)生的磁通密度為 abdrrD0I1I2zS20 112 IreB與電流I2交鏈的磁通鏈21 為 2211dSBS若電流I2為如圖所示的順時(shí)針方向，則dS S 與B B1方向相同。那么bDDDbDaIrraI 101021ln2d

7、12021211ln2aDbMID求得麥克斯韋方程麥克斯韋方程 積分形式微分形式 d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDStDHJ t BE0BD全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定理j D HJj EB0 B D復(fù)數(shù)形式已知正弦電磁場的頻率為已知正弦電磁場的頻率為100GHz,試求銅及海水中位移電流密度與試求銅及海水中位移電流密度與傳導(dǎo)電流密度之比傳導(dǎo)電流密度之比解：設(shè)sinxmEe Et 則位移電流dDEJtt0cosxrmeEt 其振幅值0drmJE 傳導(dǎo)電流sinxmJEeEt其振幅值mJE00drmrmJEJE 在銅中，71,5.8 10/

8、mrS9118711101 2109.58 10365.8 10dJJ 在海水中，81,4 / mrS9111811021036112.54dJJ已知電磁波的合成電場的瞬時(shí)值為已知電磁波的合成電場的瞬時(shí)值為1281x82x(z,t)(z,t)(z,t)(z,t)=e 0.03sin(10)(z,t)=e 0.04cos(10)3EEEEtkzEtkz式中試求合成磁場的瞬時(shí)值及復(fù)值(kz)2(kz)3kz81x8x1x22x32x(z,t)=e 0.03sin(10)=e 0.03cos(10)20.03=ee20.04=ee21=eeee2jjjEtkztkzEEEE-j-j解：對應(yīng)的復(fù)值的復(fù)

9、值為合成場的復(fù)值為（0.03+0.04）kzkyxyy32y32ye=e ()e ()e)xz,=e1e(jk)eee2eeee2jjxyyxxzzzxEjHEjEjHzEEEEEEEyzxzxyEEEzjHk -j-j-j-j磁場：由注：只有 分量，且只關(guān)于（0.03+0.04）（0.03+0.04）zkz32y1eeee2jkH -j-j（0.03+0.04）1yy2yte2ete3HH888磁場分量的瞬時(shí)值為（z, ）0.03cos(10-kz-)0.03sin(10-kz)（z, ）0.04cos(10-kz-)已知均勻平面波在真空中沿正已知均勻平面波在真空中沿正z方向傳播，其電場強(qiáng)度

10、的瞬時(shí)值為方向傳播，其電場強(qiáng)度的瞬時(shí)值為8( , )20 2cos(6 102 ) V/mxz ttzeE試求：試求： 頻率及波長；頻率及波長； 電場強(qiáng)度及磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量；電場強(qiáng)度及磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量； 復(fù)能流密度矢量；復(fù)能流密度矢量； 相速及能速。相速及能速。 ；886 10Hz3 10 Hz22f22m1 m2k解：j2( )20e V/mzxz eE20j211( )201201eA/m6jzzzxzyzeZeeeeHE*2j22c11020e W/m63jzzxyzeeeeSEHm/s 1038epkvv8610 ,2,2z k 已知理想介質(zhì)中均勻平面波的電場強(qiáng)度瞬時(shí)值為已知理想介質(zhì)中均勻平面波的電場強(qiáng)度瞬時(shí)值為試求磁場強(qiáng)度瞬時(shí)值，平面波的頻率、波長、相速及能流密度的瞬時(shí)值試求磁場強(qiáng)度瞬時(shí)值，平面波的頻率、波長、相速及能流密度的瞬時(shí)值（理想介質(zhì)波阻抗為（理想介質(zhì)波阻抗為Z）6y(x,t)e sin(1810 tx)V/ m3E解：已知電場強(qiáng)度的瞬時(shí)值為6y(x,t)e sin(1810 tx)V/ m3E可見這時(shí)沿+x方向傳播的平面波，因此磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)值為 ：666p661(x,t)1si