空間向量與立體幾何典型例題

1、空間向量與立體幾何典型例題、選擇題:1. （2008全國I卷理）已知三棱柱ABC A3G的側棱與底面邊長都相等, 內的射影為 ABC的中心，貝V AB,與底面ABC所成角的正弦值等于（12、. 32A. - B.C.D.33331解：C .由題意知三棱錐 AABC為正四面體，設棱長為 a，則ARA,在底面ABCC ）3a，棱柱的高AO 、a AO（即點B,到底面ABC的距離），故AB,與底面ABC所成角的正弦值為2 .AB,3uuu ULLT LUIT另解：設AB,AC,AA為空間向量的一組基底,UJU UUU UUT0AB, AC, AAi的兩兩間的夾角為 60UULT長度均為a，平面ABC

2、的法向量為OA,UULT 1 UUU I UULT UUTAA,AB AC, AB133UUU UULTAB AAUULT UUUTOA1 AB1-a2, C)A3UULTAB1則AB1與底面ABC所成角的正弦值為.3ujlut uujtOA ABjUUlTilUUlTiAO AB二、填空題：1. （2008全國I卷理）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C ABD的余弦值為 乜,M , N分別是AC, BC的中點，貝V EM , AN所成角的余3弦值等于1答案:OHCH161一 設 AB 2，作 CO 面ABDE ,6AB，則 CH AB , CHO 為二面角 C AB 、

3、3,OH CH cos CHO 1，結合等邊三角形與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，UULTAN則 AN EMUULTAN1 UULT UUU UUUU (AC AB), EM2UUUU 1 UUUEM (AB AC)2AN1UULTuujtACAE21UULTUUU(AC0AE)UULTUUUUANEM1UUU' I1UuuUANEM1216另解：以則點A（O為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，1, 1,0）, B（1, 1,0）, E（ 1,1,0）, C（0,0,三）1M（ 2,uuir 3 12 uuw則 AN （3，/）,EM 2 2 22, |'¥

4、）AN2 2 2UULT UULWuuuu EM1 UULT,AN2uuuuEM.3,故EM , AN所成角的余弦值AN EM 1UULT|UUUU-AN EM 6三、解答題：1. (2008安徽文)如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面ABCD四邊長為1的 菱形,ABC , OA 底面 ABCD , OA 2,M 為 OA 的中點。 4(I)求異面直線 AB與MD所成角的大小 ；(H)求點B到平面OCD的距離。1 方法一(綜合法)(1) Q CD | AB,； MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補角) 作AP CD于P,連接MPv OA 平面A BCD，二 CD42v ADP ,； DP

5、=42MA2 AD22,DPMDv MD/ cos MDP-,MDC2所以MPMDP -3AB與MD所成角的大小為3(2) v AB |平面OCD；.點A和點B到平面OCD的距離相等,OP于點Q,CD,OA CD,； CD 平面 OAP, 平面 OAP,； AQ CD OP,； AQ 平面 OCD,A到平面OCD的距離連接OP過點A作AQv APv AQ又v AQ線段AQ的長就是點v OP 、OD2 DP2DOAMDPC3 2“-，APDP32，所以點B到平面OCD的距離為3；AQ節(jié)22gT3、2BCy(1)設AB與MD所成的角為uuuuuuu AB (1,0,0), MD-uuu-uuuu-

6、ABMDcosuuu UULUABgMD72返2，22'31) AB與MD所成角的大小為一3uuu . 2 uuur(2) TOP (0,-p 2),OD設平面OCD的法向量為n(72 72 2)(亍亍2) uuu (x,y,z),則 ngOPUULT0,nQDy 2z 02- 2-2x y 2z2 2取z 邁,解得n (0,4, , 2)uuu設點B到平面OCD的距離為d ,則d為OB在向量n uuuuuuOB n 2t OB (1,0, 2), . d -.n 3(0,4, 2)上的投影的絕對值所以點B到平面OCD的距離為-32. ( 2008安徽理)如圖，在四棱錐O ABCD中，

7、底面ABCD四邊長為1的菱形,ABC , OA 底面 ABCD , OA 2,M 為 OA 的中點, 4(I)證明：直線 MN |平面OCD ；(H)求異面直線 AB與MD所成角的大??；(川)求點B到平面OCD的距離。N為BC的中點。2.方法一(綜合法)(1 )取OB中點E,連接ME , NEQ ME | ABABH CD, ME | CD 又Q NE | OC,平面MNE |平面OCDMN | 平面 OCD(2) QCD II AB,. MDC為異面直線AB與MD所成的角(或 其補角)作AP CD于P,連接MPO OA 平面A BCD，/. CDMPADPMD .MA2 AD22 ,QMEQ

8、ADNCPDP 1二 cos MDP, MDCMD 2MDP所以AB與MD所成角的大小為3(3) T AB |平面OCD；.點A和點B到平面OCD的距離相等，連接 OP過點A作 AQ OP 于點 Q, t AP CD,OA CD,； CD 平面OAP,； AQ CD又T AQ OP,； AQ 平面OCD，線段AQ的長就是點A1 3,22DP2. OA2 AD2 DP2到平面OCD的距離AP DP 遼2OAgAPOP3 .22-，所以點B到平面OCD的距離為-33方法二(向量法) 作APA(0,0,0),CD于點P如圖,分別以B(1,0,0), P(0,0), D(2AB,AP,AO所在直線為X

9、, y, Z軸建立坐標系.2 .2 2 . 2 ,0),O(0,0, 2),M(0,0,1),N(1,0)2244cccu(1) MN72 72ccc 運ccc-(1, 1),OP(0, 2),OD(442cccccur OCD的法向量為n (x, y,z),則ngOP 0,ngDDy 2z 02x y 2z 02 2n (0,4,2)2,乎，1)g(0, 4, ,2)044MN | 平面 OCD設AB與MD所成的角為_ccccccc 、- 、2T AB (1,0,0), MD (，1) 2 -cjc ccccABgMD設平面、2，解得ccuct MN gn (10zODNBc P y2, 2

10、)AJcccucccAB MD(3)設點B到平面OCD的交流為；,AB與MD所成角的大小為一33ccicd ,則d為OB在向量n (0,4,-、2)上的投影的絕對值，ccu OBnnccc由 OB (1,0, 2)，得 d22所以點B到平面OCD的距離為一33丄AC.(I)求證：PC丄AB;(n)求二面角 B-AP-C的大小.3.解法一：(I)取AB中點D，連結PD, CD./ AP=BP , PD 丄 AB./ AC=BC. CD 丄 AB./ PD n CD = D. AB丄平面PCD./ PC 平面 PCD, PC 丄AB.(n)v AC=BC,AP=BP,APC也厶 BPC.又PC丄A

11、C, PC 丄 BC.又/ ACB = 90°,即卩 AC丄 BC , 且 ACn PC=C, AB = BP, BE 丄 AP. EC是BE在平面PAC內的射影， CE 丄AP. / BEC是二面角 B-AP-C的平面角.在厶 BCE 中，/ BCE=90° ,BC=2,BE=3 AB , 62 ， / BC V6 sin / BEC=.BE 3二面角 B-AP-C的大小為ares in6.3解法二：(I)v AC=BC,AP=BP, APC也厶 BPC.又PC丄AC. PC 丄 BC./ AC n BC=C, PC丄平面ABC./ AB 平面 ABC, PC 丄AB.(

12、n )如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.則 C (0, 0, 0), A (0, 2, 0), B (2, 0, 0). 設 P ( 0 , 0 , t),| PB | = | AB | = 2 2, t=2,P(0,0,2).取AP中點E,連結BE, CE.| AC | = | PC | , | AB | = | BP | , CE 丄AP,BE丄AP./ BEC是二面角B-AP-C的平面角. E(0,1,1), EC (0, 1, cos/ beOECJBEC EB1),EB(2, 1, 1),T'2 、6二面角B-AP-C的大小為arccos 三34. （ 2008北

13、京理）如圖，在三棱錐 PAP（I）（n）（川）BP AB, PC AC 求證：PC AB;求二面角 B AP C的大小; 求點C到平面APB的距離.4解法一:（I）取AB中點D，連結PD, CD Q APBP ,PDAB.Q ACBC ,CDAB .Q PDICDD ,AB平面PCD .Q PC平面PCD ,PCAB .(n)Q ACBC , APCBPC又PCACPCBC又 ACB 90°，即BC平面PAC .取AP中點E連結Q ABBP ,BEAPACBP ,ABC 中，ACBC 2,BACB 90o,BC，且 AC I PC C ,CE BE,AP .Q EC是BE在平面PAC

14、內的射影，CE AP.BEC是二面角B AP C的平面角.在厶 BCE 中， BCE 90°, BC 2 , BE 3 AB2sin BEC 匹BE 376 面角B AP C的大小為arcsin3 知 AB 平面PCD , 平面PCD.PD，垂足為平面PCD（川）由（I）平面APB 過C作CH Q平面APB IH PD ,CH 平面APB .CH的長即為點C到平面APB的距離.B由(I)PCQCDPC知 PC AB, 平面ABC 平面ABC , CD 又PCAC ,且 AB I AC A,在 Rt PCD 中，CD1AB2PD 3 PB ,6 ,2PC 、PD2 CD2CHPCgCD

15、PD點C到平面APB的距離為 APCBPC又PCAC ,PCBC Q AC IBC C ,PC平面ABC Q AB平面ABC ,PCAB 解法二：(I) Q AC BC , AP BP ,(n)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系則 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0) 設 P(0,0, t) AB 2邁,Q PBt 2 , P(0,0,2) 取AP中點E ,連結BE, CE q|acCEBEC _uuuQ E(011) , EC (0, 1,uuu uuuECuuuECgEBPC , ABAP , BE是二面角cos BEC.面角Bxyz BP ,AP B APc的平u面角

16、1） , ebgEUU(2, 1, 翻2g 63AP C的大小為arccos仝3BC PC,1),（川）Q ACC在平面APB內的射影為正 APB的中心 如（n）uuurQ BHH，且CH的長為點C到平面APB的距離.建立空間直角坐標系 uuur2HE ,一 2 2 2的坐標為 ，一,一3 3 3xyz uuur CH2.33點C到平面APB的距離為5. （2008福建文）如圖，在四棱錐中，側面PAD丄底面ABCD,側棱PA=PD= 2，底面ABCD1)63jutur-tutur-jPBcd|為直角梯形，其中 BC / AD,AB丄CD,AD=2AB=2BC=2,O 為AD中點。(1)求證：P

17、0丄平 面 ABCD;(2)求異面直線 PB與CD所成角的余弦值；(3)求點A到平面PCD的距離5. 解：如圖，A(0,-1,0),UU(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) 所以 CD ( 1,1,0), PB (1, 1,UUU uuuuuu uur PB CDCOS PB,CD所以異面直線所成的角的余弦值為:設平面PCD的法向量為0，所以0/63uuuuujr(x, y,z)，CP ( 1,0,1),CD(1,1,0)r uuu n CP r uuu n CD令x=1,則y=z=1,所以n(1,1,1)則，點A到平面PCD的距離為：d0；0uuur又 AC

18、 (1,1,0) r UULTn AC 2 飛IJr1 n6. (2008福建理)如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD丄底面ABCD ,側棱PA=PD =2 ,PCD的距離為底面ABCD為直角梯形，其中 BC/ AD,AB丄AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.(I)求證：PO丄平面ABCD ;(H)求異面直線 PD與CD所成角的大小；若存在，求出 AQ 的值；若不存在，請說明理由QD(川)線段AD上是否存在點Q,使得它到平面6. 本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力滿分12分.解法一：(I)證明：在

19、厶 FAD中FA=PD,O為AD中點，所以 PO丄AD, 又側面PAD丄底面ABCD,平面PAD 平面ABCD=AD,PO 平面PAD ,所以PO丄平面 ABCD.(H)連結 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC / AD , AD=2AB=2BC, 有OD / BC且OD=BC,所以四邊形 OBCD是平行四邊形， 所以 OB/ DC.由(I)知，PO丄OB, / PBO為銳角， 所以/ PBO是異面直線PB與CD所成的角.因為 AD=2AB=2BC=2,在 Rt AOB 中，AB=1,AO=1,所以OB= . 2 ,在 Rt POA 中，因為 AP = . 2 , AO= 1,所以 OP=

20、1,PG在 Rt PBO 中，tan/ PBO=-BC所以異面直線PB與CD所成的角是!2, PBO arcta2.2 2 2arctaf2(川)假設存在點 Q,使得它到平面PCD的距離為32設 QD = X,貝V S dqc由(n)得CD=OB=、2 ,在 Rt POC 中,所以 pc=cd=dp,2,2，由Vp-dqc=Vq-pcd,得2,所以存在點 Q滿足題意，此時AQ iQD 3解法二：(I )同解法一 UUJT UUJT UUU(n )以O為坐標原點，Oc、Od、OP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直 角坐標系O-xyz,依題意，易得 A(0,-i,0),BU,-i,0

21、),R0,0,i),uu所以CD=(qi,o,o),d(o,i,o),所以異面直線uuu i,i,0),PB=(i i, i). PB與CD所成的角是arccos 6 , 3(川)假設存在點 Q使得它到平面 PCD勺距離為一3 ,2 UUUUULT由(n )知 CP ( i,0,i),CD( i,i,0).設平面PCD的法向量為n=(X0, y°, Z0).X0 Z00即 X0 y Z , x° y° 0,uuu沖 ngP 0 則UULTng：D0,取x°=i,得平面PCD勺一個法向量為n=(i,i,i).LUULUrCQgiuujt設Q(0, y,0)

22、( i y i),CQ ( i,y,0),由n1 5y=-或 y=(舍去)，2 2i3此時|AQ QD，所以存在點 Q滿足題意，此時AQ iQD 37、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點P在正方體 ABCD- AiBQD的對角線 BD上，/ PDA=60。(1)求DP與CCi所成角的大??；(2)求DP與平面AA iDiD所成角的大小。7. 解：如圖，以 D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系DUUUULLU則 DA (i,0,0), CC (0,0,1).連結BD , BD .在平面UUUT 設DH由已知uuu由 DAgDHBBDD中，延長DP交B D于H (m, m,1)(m0),UUL

23、U uuuDH ,DA60°,uuuuuuuDAUUU| UUUUDA DH cosuuu uuuu DA DH可得 2m . 2m21 .uuuu解得m ，所以DH2(I)因為cosumu uuuu DH ,CCUJUU uuuu所以 DH ,CC即DP與CC所成的角為45°.(n)平面 AAD D的一個法向量是亞 01 2 2 _1 42UUUU UULT因為 cos DH , DCuuirDCUJUU ULUT 所以 DH ,DC可得DP與平面AAD D所成的角為30°.y8. (2008湖北文)如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1中，平面 ABC 側面A1

24、ABB1.(I)求證：ABBC;(n)若 AAACa ,直線AC與平面A BC所成的角為 ，二面角ABC A的大小為，求證：.28本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角、二面角等有關知識，考查 空間想象能力和推理論證能力 (滿分12分)(I )證明：如右圖，過點 A在平面A1ABB1內作AD丄A1B于D，貝U 由平面 A1BC丄側面 A1ABB1,且平面 A1BC門側面 A1ABB1 = A1B, 得AD丄平面A1BC.又 BCU平面 A1BC 所以AD丄BC.因為三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱,則AA1丄底面ABC,所以AA1丄BC.又AA1p AD=A，從而BC丄側面 A1ABB

25、1,又AB匸側面A1ABB1 , 故AB丄BC.(n )證法1:連接CD,則由(I )知/ ACD就是直線 AC與平面A1BC所 成的角，/ ABA1就是二面角 A1 BC A的頰角，即/ ACD = 0 , / ABA1=.AD于是在 Rt A ADC 中，sin0 =-AD ,在 Rt A ADA1 中，sin / AA1D = -AD-ADaAA1 a證法2 :由(I )知，以點B為坐標原點，以 軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 sinB =sin/ AAiD,由于 B 與/ AAiD 都是銳角，所以 0 =Z AAiD.又由 Rt AiAB 知，/ AA1D+ =Z AAiB +

26、 =，故 B + =-.2 2BC、BA、BBi所在的直線分別為 x軸、yC( . a2 c設 AB=c (cv a=，貝U B(0,0,0), A(0,c,0),A1(0,c,a)，于是 BC (一 a2 c2,0,0), 罠=(0,2 2AC ( . a c , c,0) AA1設平面A1BC的一個法向量為 n=(x,y,z),0,cy az得0,. aa, c),于是n ? BA1則由 丄n ? BC可取n=( 0,sincosc,a0,c2x0.曰AC =ac>0, AC與n的夾角 為銳角，則n ? AC=cos =I n | ? | AC(0, a,c)?(.a c2, c,0

27、)21a2 c2?、.(ac2) c2 a2BA ?BA|BA；|?|BA|(0, a,c)?(0,0, a)>a c ?acr2 2a c所以 sin =cos =sin(2)，又*， T，所以+=2A1ABB 1.9.(2008湖北理)如圖，在直三棱柱 ABC-A 1B1C1中，平面 ABC丄側面 (I)求證：AB丄BC;(H) 若直線 AC與平面A1BC所成的角為B ，二面角A1-BC-A的 大小為0的大小關系，并予以證明.9.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系 等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.(滿分12分)(I) 證明：如右圖，過點 A在平面A1

28、ABB1內作AD丄AB于D,貝U由平面 ABC!側面 AABB且平面 ABC 側面A1ABB1=A1B,得AD丄平面ABC又BC 平面A1BC, 所以ADL BC因為三棱柱 AB( A1B1C1是直三棱柱,則AA丄底面ABC所以AA丄BC.又AAl AD=A,從而BC丄側面 AABB,又 AB 側面 A1ABB1，故 ABL BC(H)解法1:連接CD，則由(I)知 ACD是直線AC與平面A1BC 所成的角，ABA1是二面角A1 BCA的平面角，即 ACD , ABA,于是在Rt ADC中,sinAD,在 Rt ADB 中，sin ACADAB '由 AB v AC，得 sinv si

29、n，又 0v,解法2:由(I)知，別為x軸、y軸、AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0),C(Jb2 c2,0,0), A(0,c,a),于UUT22山山BC (、b2 c2,0,0), BA1UJLTACB為坐標原點,v,所以v2以 BC、BA、以點z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設BBi所在的直線分AAi=a,AC=b,(O,c,a),2_c2, c,0), AA設平面AiBC的一個法向量為uurngBA由iuurngBC可取n=(0,-為銳角，則sincoscy az.b2 c2x uuur a,c)，于是 ngAC與互為余角UULTngACn#ACUUU0,得0,(0,

30、0,a). n=(x,y,z)，則 0,0,UULTac>0,AC與n的夾角acb a2 c2cosuuurBA gBA tuurruurra"a2=于是由c v b,得acav 2 2 2Vacb i a2 c即sinv sin ,又 0v ,V 2,所以V10. (2008湖南理)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，/ BCD = 60°,E是CD的中點，PA丄底面 ABCD , PA = 2.(I)證明：平面 PBE丄平面PAB;(H) 求平面FAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.10 .解：解法一(I) 如圖所示，連結 BD，由A

31、BCD是菱形且/ BCD=60°知， BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE丄CD,又AB/ CD,所以BE丄AB.又因為FA丄平面ABCD , BE 平面ABCD ,所以FA丄BE.而FA AB=A，因此BE丄平面 FAB. 又BE 平面PBE，所以平面 FBE丄平面FAB.(H)延長 AD、BE相交于點F，連結PF. 過點A作AH丄PB于H，由(I)知 平面PBE丄平面 FAB所以AH丄平面 PBE.在 Rt ABF 中，因為/ BAF = 60°, 所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt FAF中，取PF的中點G,連接 AG.解法(unPA在等腰Rt PA

32、F中，在 Rt PAB 中，AHAG遼PA上2APgABAPgAB225PBAP2 AB255則AG丄PF.連結HG,由三垂線定理的逆定理得，PF丄HG.所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角)所以，在 Rt AHG 中，sin AGH2.5 AH AG 、2故平面FAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是5:如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系則相關各點的坐標分別是 A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0), C(2,0), D(l,0), P (0, 0, 2) ,E(1,0).2 2 2 2 2(I)因為 BE (0,-3,。),2平面pab的一個

33、法向量是(0,1,0),所以BE和 n0共線從而BE丄平面PAB.又因為BE 平面PBE ,故平面PBE丄平面PAB.uuuuuuJ3n )易知 PB (1,0, 2), BE (0,0),2(0,0, 2),Ad(1冷0)2 2設ni(%,%憶)是平面PBE的一個法向量,x10* 2Z10,所以 *10,X1y20 z20.258ur uuun 1gPB 則由 ur uuun 1gBE0,得0ur2乙.故可取n1(2,0,1).un設n2(x2, y2,z2)是平面PAD的一個法向量,uu uuun2gPA 則由 uu uuu-n2gAD0,得0X212X20 y2.3Ty2 'ur

34、 uu cos n1, n2Z20,所以z20,x20.Z22 315 5 25uu -n20 3, 1,0).故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是arccos15.511. (2008湖南文)如圖所示，四棱錐 P ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,BCD 600，E是CD的中點，PA 底面ABCD，PA 、3。(I) 證明：平面 PBE 平面PAB ；(II) 求二面角 A BE P和的大小。11解：解法一(I)如圖所示，連結BD,由ABCD是菱形且 BCD 60°知， BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE丄CD,又AB / /CD,所以BE丄AB,

35、又因為PA 平面ABCD , BE 平面ABCD ,所以PA丄BE,而PAI AB A,因此 BE丄平面PAB.又BE 平面PBE，所以平面PBE(II )由(I)知，BE 丄平面 PAB, PB所以PB BE.平面PAB.平面PAB,又AB丄BE,所以 PBA是二面角A BE P的平面角.在 Rt PAB 中，.3, PBA 60° .ABP的大小為60°，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是tan PBA故二面角A BE 解法二：如圖所示A(0,0,0), B(1,0,0), C(-,乜,0), D(1，乜，0), P(0,0, 3), E(1,- ,

36、0).2 2 2 2 2uuuJ3uuuuu uu(I) 因為BE (0,),平面PAB的一個法向量是n0 (01,0),所以BE和n0共線.2從而BE丄平面PAB.又因為BE 平面PBE,uuu(II) 易知PB所以平面PBE 平面PAB.-uuu(10,. 3), BEur則由nn1uurPBuuuBE0,Xi,3、u"(0,0),設 m2yZj0,J2y10 Z1(為，, N)是平面PBE的一個法向量，所以y1=0，x3彳故可取nC，3,0,1).而平面ABEuu一個法向量是n2ir uu是，cos m, n2故二面角A BE(0,0,1). ir uuIm |gn21P的大小

37、為D,PDiB.當 APC為鈍角時，求i2解：由題設可知，以uuuDA、umr DC、的取值范圍.uuuuDDi為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐uuuruuiu(i,i,i），得DiPDiB(,J），所以uuuruuuuPDiDiA(,)(i,0,i)(i ,i)luluuuuuPDiDC(,)(0,i,i)(,i ,i)D xyz，則有 A(i,0,0) ,B(i,i,0),C(0,i,0) ,D(0,0,i)APC為鈍角等價于uuu uuurPAgPCuur umrPAgPC標系uuuu由DiBuuuPAuuuPC顯然 APC不是平角，所以uuu uuucos APC cos PA

38、, PCuuu uuu則等價于PAgPC 0即(i )()()(i)(i)2 (i)(3ii) 0,得 ii因此， 的取值范圍是（J）i3. （2008江西文、理）如圖，正三棱錐 O ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直， 且長度均為2. E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF的平面與側棱 OA、OB、OC或其延長線分別相交于A、Bi、Ci，已知ACiOA13 .2(i)求證：BQ丄面OAH ;(2 )求二面角O AiBi Ci的大小.I3解：（I ）證明：依題設，EF是ABC的中位線, 所以 EF / BC ,則 EF / 平面 OBC，所以 EF / BiCi。又H是EF

39、的中點，所以 AH丄EF , 則 AH 丄 BiCi。因為OA丄OB , OA丄OC ,所以OA丄面OBC，則OA丄BICi, 因此匕BiCi丄面OAH 。Ci（2）作 ON 丄 AiBi 于 N，連 CiN。因為OCi丄平面OAiBi , 根據(jù)三垂線定理知， CiN丄AIBi ,ONCi就是二面角 O ABi Ci的平面角。作EM丄OBi于M，則EM / OA，則M是OB的中點, 則 EM OM I。OB1設 OB1 x，由 MB1OA1EM 得，G在 Rt OA1B1 中,Ai Bi/oa1ob123,解得x 3,23 -< 5，則,ON2OA1 OB1A1B1所以tan ON

40、74;OC1ON5，故二面角O A1B1 C1 為 arctan .5。解法二：(1)以直線 則OAOC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，O xyzA(2,0,0),B(0,0,2),1 1C(0,2,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,0)，H(1,2,2)所以UJLTAHLULTAHBC所以所以由 EF /1 1 uuur(，二，)，OH uuiuBC平面BC得2 2 uuur 0,OHOAHB1C1 /luitBC1 1 uuur(1,-,-),BC (0,2, 2)0BC ,故:BQ平面OAH由已知 A1(-,0,0),設 B1(0,0, z)21UULTuuur則 AE

41、( -,0,1), EB1 (uuuruu2由AE與EB共線得：存在12z 31 (z 1)B1(0,0,3)同理：G(0,3,0)uuuu 3ULUUAB1 (0,3), AG r設n1(x1, y1, z1)是平面則令x 2得y (2,1,1).it uucos n1, n2uuUrx 1 uu 又n21,0, z1)UULT R有AEUULTEB得|3,0)A1B1C1的一個法向量，(0,1,0)是平面OA1 Bi的一個法量 亟4 116、一76所以二面角的大小為 arccos6y14. (2008遼寧文)如圖，在棱長為1的正方體ABCD A BC D 截面 PQEF / AD，截面 P

42、QGH / AD .(I)證明：平面 PQEF和平面PQGH互相垂直；(H)證明：截面 PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；CAHG/心r F-ZeAP中,AP=BQ=b ( 0<b<1), rC1(川)若b ，求D E與平面PQEF所成角的正弦值.214.本小題主要考查空間中的線面關系和面面關系，力與邏輯思維能力.滿分解法一：(I)證明：在正方體中，又由已知可得PF / AD , PH / AD 所以 PH PF , PH 所以PH 平面PQEF .所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.(n)證明：由(I)知PF 、.2aP, PH 2 PA ,又截面PQEF和

43、截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面 PQEF和截面PQGH面積之和是 (、.2aP .2PA) PQ .2 ,是定值.(川)解：設AD交PF于點N ,連結EN ,因為AD 平面PQEF ,所以/D EN為D E與平面PQEF所成的角.1因為b -,所以P , Q ,23近可知D N, D E4解三角形等基礎知識，考查空間想象能12 分.ADAD , AD,PQ / AB , PQ ,AB ,所以 sin/ D EN3、2432E , F分別為AA , BB , BC , AD的中點.卩解法二：以D為原點，射線D xyz .由已知得DA,DFH術、/Z-： /G粉'入D:炸B8分

44、DCA12分DC, DD '分別為x, y, z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系1 b，故A(1,0,0) , A (1,0,1) , D(0,0,0) , D (0,0,1),P(1,0, b) , Q(1,1, b), E(1 b,1,0),F(1(I)uuurPQuuurPH uuuu ADb ,0 ,0), G(b ,1,1), H(b ,0 ,1).證明：在所建立的坐標系中，可得uuu(0 ,1 ,0, PF ( b ,0 , b),(b 1,0,1 b),uuuu(1 ,0 ,1),AD ( 1,0, uuuu uuur uuuu uuu0 , AD gPF uuuu u

45、uu0 , ADgPH uuuu 0 ,所以A D和平面PQGH互相垂直. uuuuuu uuu um(n)證明：因為 EF (0 , 1,0),所以 EF / PQ, EF =為矩形，同理PQGH為矩形.uuur 因為AD gPQ uuuu uuur 因為ADgPQ uuuu uuuu 因為AD gA D 所以平面PQEF1)-0，所以0，所以uuuuAD ,uuuuAD是平面PQEF的法向量. uuuuA D是平面PQGH的法向量.分uiuu uuuuuuPQ ,又 PFPQ ,所以 PQEF在所建立的坐標系中可求得uuuir uuuu所以PH PFJ2，又UUULTPHuuuuPQ2(1

46、1,uuuub)，|PF、-2b,1 uuuu所以 E - ,1,0 , D E2uuuu uuuu| cos AD ,D E12分15. (2008遼寧理)如圖,在棱長為1的正方體ABCDA B C D 中，AP=BQ=b ( 0<b<1),所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為 J2，是定值. 分uuuu(川)解：由(I)知 AD ( 1,0,1)是平面PQEF的法向量.由P為AA中點可知，Q, E, F分別為BB , BC , AD的中點.1-,1, 1 ，因此D E與平面PQEF所成角的正弦值等于2CC設AD交PF于點N ,連結EN ,由FD 1 b知ND (1 b).2