立體幾何初步總結材料

1、、知識結構、立 體 幾 何 初 步空間幾何體立體幾何初步總結1.空間幾何體的結構:2.三視圖和直觀圖3.表面積和體積點線面位置關 系、基礎知識精要I（一）空間幾何體的結構棱柱直棱柱斜棱柱1、多面體棱錐正棱錐棱臺正棱臺多面體：棱柱、棱錐、棱臺旋轉體：圓柱、圓錐、圓臺、球組合體：由簡單幾何體組合而成中心投影與平行投影三視圖：正視圖；側視圖；俯視圖直觀圖：原圖面積：直觀圖面積=：V1. 平面的性質：公理體系；位置關系2. 直線與平面：平行與垂直的判定與性質3. 平面與平面：平行與垂直的判定與性質4. 距離的求法；角度的求法正棱柱A側棱ADAEEOOB中Bdf bFFAEDOE$ DFA1平行六面體2

2、、四棱柱直平行六面體長萬體直四棱柱正四棱柱正方體3、定理：平行棱錐底面的截面將棱錐截得的上下兩個棱錐的(1)空=魚二相似比的平方s底s側卜相似比的立方兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，求圓錐分成的三部分的側面積之比、三部分的體積之比4、圓柱一一側面展開圖是矩形旋轉體圓錐圓臺側面展開圖是扇形側面展開圖是扇環(huán)5、柱錐臺之間的關系（二）、三視圖和直觀圖1 中心投影：光由一點向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形2 平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影分正投影、斜投影3 三視圖：正視圖（前面向后面正投影）、側視圖（從左向右）

3、、俯視圖（從上向下）4 直觀圖：（表示空間圖形的平面圖）觀察者站在某一點觀察幾何體, 畫出的圖形。把空間圖形畫在平面內(nèi)，畫得既富有立體感，又能表達出 圖形各主要部分的位置關系和度量關系的圖形定理：平面圖形的 原圖面積：直觀圖面積=題型：（1 ）已知直觀圖畫出三視圖（2 ）已知三視圖畫出直觀圖（三）、表面積與體積気棱柱表=CI+2S底（c:底面周長；I:側棱長 h:高）=2 rh 2 r2卩“ r2：（葉叨側面展開圖扇形中心角為360側面展開圖扇環(huán)中心角為r o360V Sh81 S2 S V= -h(Si TSST S2) Sl 0 V - Sh33/2S 6 S / _! .Z 22S1 0

4、 / 1 2hV圓柱r hV圓臺=h(r1r1r2 r2)Vr h3343V球=一 R ； S球面=4 R2.（R為球的半徑）3基礎知識精要n （點、直線、平面之間的位置關系）1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。2空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；會求簡單的異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法或用判定定理(補充)3. 直線與平面 位置關系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。 直線與平面平行的判斷方法及性質，判定定理是證明平行問題的依據(jù)。 直線與平面垂直的證明 直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是0

5、.90 三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.4. 平面與平面(1) 位置關系：平行、相交，(垂直是相交的一種特殊情況)(2) 掌握平面與平面平行的證明方法和性質。(3) 掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質定理，可以證明線面垂直。*(4)兩平面間的距離問題t點到面的距離問題t直接法體積法(5)二面角。二面角的平面角的作法及求法： 定義法：一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形； 三垂線法：一般要求平面的垂線好找，一

6、般在計算時要解一個直角三角形。 射影面積法：s=Scos e三主要思想與方法：1 .計算問題：計算步驟：一作、二證、三算(1)空間角異面直線所成的角范圍：0 vew90 方法：平移法；補形法直線與平面所成的角范圍：0 WW90。方法：關鍵是作垂線，找射影 二面角方法：定義法；三垂線定理法；垂面法；射影面積法：(2 )空間距離一一兩點之間的距離點到直線的距離點到平面的距離.兩條平行線間的距離兩條異面直線間的距離直線與平面之間的距離平行平面間距離七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉化，如兩條平行線的距離可轉化為求點到直線的 距離，平行

7、線面間的距離或平行平面間的距離都可轉化成點到平面的距離2 平面圖形的翻折，要注意翻折 前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變3 .在解答立體幾何的有關問題時，應注意使用轉化的思想： 利用構造矩形、直角三角形、直角梯形將有關棱柱、棱錐的問題轉化成平面圖形去解決 將空間圖形展開是將立體幾何問題轉化成為平面圖形問題的一種常用方法 補法把不規(guī)則的圖形轉化成規(guī)則圖形，把復雜圖形轉化成簡單圖形. 利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉化成求三棱錐的高4 .證明問題一一求證找判定；已知用性質平行轉化一一思路圖：線|線傻線|面 面|面垂直轉化思線線傻線面面面平行的判

8、定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1a, b小allba I b定義：ala |定義：llll2a/ba |bb/ca/ba/a,ba/ ,b/lla,b,aI b A3a / ,aallbb/aa.b,a b Ac,dlla/c,b/ d4aa/bbA、B lA、B在平面同側l/A、B到平面等距離alla5aba | b/ H垂直的判定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1定義：定義：定義：a與B成90 a a,b b0a ba b O, O 90b(b任意).a| a b的二面角2l aa bb/aa b,a c a b,c,b c Aaa3aa bba/bab

9、/4三垂線定理：b為b在內(nèi)的射影-a b a,a ba/5b為b在內(nèi)的射影/a b a,a b,la, a l65aa5.線 面是立體幾何的核心一一思維的突破口6 .中點問題 找中點構造三角形中位線、平行四邊形等7.“字圖”結構 一一線 面是立體幾何的核心思維的突破口女口：最小角定理(三余弦)在三棱錐P ABC中，PA 面ABC, ACB 90貝U： (1) BC 面PAC ; (2) PCB 90(3)面PCB 面ABC注：模型7是其典型應用三.基本結論（存在性、唯一性問題和常用結論）1、四邊形中有四個角是直角則此四邊形為矩形。2、兩條異面直線的公垂線有且只有一條。3、過直線外一點與該直線平

10、行的直線有且只有一條。4、過空間一點與該直線垂直的直線有無數(shù)條。5、過直線外一點與該直線平行的平面有無數(shù)多個。6、過空間一點與該直線垂直的平面有且只有一個。7、過平面外一點與該平面平行的直線有無數(shù)條。8、過平面外一點與該平面平行的平面有且只有一個。9、過空間一點與該平面垂直的直線有且只有一條。10、過空間一點與該平面垂直的直線有且只有一條。11、線在平面內(nèi)的射影有且只有一條（射影是斜線上所有的點到平面內(nèi)的射影的點 集）平面的斜線與其射影所確定的平面與該平面的垂直。12、 長方體的對角線與相鄰三棱成角的余弦平方和等于1;與相鄰三面成角的余弦 平方和等于213、四面體ABCD中最多有四個直角三角形

11、。14、過兩條異面直線中的一條能作且只能做一個平面與另一條直線平行，那么異面直線間的距離等于線面距離。15、 平移不改變所成的角（夾角），但平移改變距離。16、夾在兩個平行平面間的平行線段相等。17、如果四面體中有兩組對棱互相垂直，那么第三組對棱也互相垂直且任一頂點在 對面的射影是垂心。四數(shù)學模型題模型1I, A、B ，C ，求作ABC與AB ABC，設 P 為 ABC 上一點，P ABCP IQC ABC CPC ABC模型2 已知ABP BC Q CAR，求證P、Q、R三點共線。證明：P ABQ PCP AB ABCPQ BC ABCQQABCB同理R l”、Q、R三點共線模型3 (1)三

12、個平面兩兩相交有三條交線，其中兩條交線交于一點，求證第三條交線必已知acb求證:P a,Pb,Pc 或a bII c證明：(1) Pa bP aPQ abPPPQcP c模型4最小角定理:公式：coscos過此點；(2)或這三點交線互相平行。該四面體的四個面都是Rt a bP,1(2) a/ b時b !11a/ba/1111baa/c111aci !1a/b/ccosp7z/模型5 (證明平行思路圖的典型例題)已知1a/a / ，求證：a / l證明：過a作使ba/aba/b如果一條直線與兩相交平面平行，則此直線與它們的交線平行。過a作 使c，同理a / cb/cQ ccc/a/lbl模型6過

13、兩條異面直線中的一條有且只有一個平面與另一異 面直線平行。證明：在A上任取一點A，過A作b bQ a b A a、b可確定一個平面a、b 異面 /-bQb/b-Jb/模型7 (證明垂直思路圖的典型例題)平面內(nèi)有一個半圓，直徑AB,過A作SA求證:在半圓上任取一點 M，連SM , SB且N、H分別是A在SM、SB上射影并思考：(1 )互相垂直直線的對數(shù)？ Rt 個數(shù)？面面垂直對數(shù)?NH SB,聯(lián)想與拓展：你能自編自導新的問題嗎?模型8 如圖PA是平面 的斜線，以下三個條件： ZAPC= ZAPB; (2) A到PB、PC邊的距離相等;(3) PA在 內(nèi)的射影是/ BPC垂線，則三個有一個成立可推

14、出另兩個成立。模型9若P ABC , O為P在面上的射影(1) 若 PA= PB= PC,貝U O 為ABC外心(2) 若P到AABC三邊等距，則 O為mBC_內(nèi)或旁_心(3) 若PA、PB、PC兩兩垂直，則 O為ABC 垂 心(4) 若AABC為正三角形，PA= PB= PC，貝U O為MBC_中_心(6)若AABC為直角三角形， PA= PB= PC,貝U O為AABC_外_心模型10(1)找點在面上的射影 ：已知A Al ,則A在上的射影B l(2)找斜線的射影：已知ll則l與所成的角為/ ACB結論：平面的斜線與其射影所構成的平面與垂直(3)求點到平面的距離 一一轉化思想2o已知A，過

15、A可作 / ，則A到 的距離就是到 的距離。1o已知A ，則過A可作a/ ，則A至U 的距離就是a到 的距離。3o已知線段AB中點，0 ，則AB到 距離相等。5oOA:OBm: nAA : BB4 o兩條異面直線的距離轉化為兩平行平面。過E作EFAD , EF為BC與AD的距離A到平面BCD距離，作 AO DE交于O, AO為此距離AC與BCD所成角，連 OC， 為所求.面角的平面角所在平面與兩個半平面均垂直則該直線平行于這兩個相交平面的交線（用兩那么這兩個平面的交求證：MN /平面BECE六.經(jīng)典30題1、三個平面可將空間分成幾部分：2、與同一條直線相交的所有平行線在同一平面內(nèi)。3、已知異面

16、直線a與b所成50 , P為空間一點，則過點P且與a、b所成的角都是B,討論B取不同值時，該直線有且僅有多少條？4、若一條直線分別平行于兩個相交平面， 種方法證明）5、若兩個相交平面都垂直于第三個平面， 線也垂直于這個平面（用三種方法證明）6、正方形ABCD與正方形ABEF相交于角線BD與AE上的點，且 DM=AN7、在空間四邊形 PABC中，PA丄面ABC , AC丄BC,若 A在PB、PC上的射影分別為 E、F，求證：EF丄PB標準文檔8、已知矩形 ABCD中，AB=1 , BC=a , PA丄平面 ABCD，若在BC上只有一個點 Q滿足PQ丄QD，求a的值。9、 空間一點到二面角a -L

17、- B的兩個面的距離分別是 1和2，到棱的距離是 2，求這二 面角的大小。（答案：75。，15 , 105 , 165 ）10、如果兩個平面分別垂直于兩條異面直線中的一條，那么這兩個平面的交線平行于兩條異面直線的公垂線。11、ABC , E、E是AB、AC邊上的一點，則S ABCS AEFAB ACAE AF（拓展到三維空間，四面體 ABCD中，E、F、G分別是AB、AC、AD上的點）貝廿 va bcd AB AC AD、VA efg AE AF AG1. 已知底面為正方形，側棱長均是邊長為 5的正三角形的四棱錐 S-ABCD，求其表面積2. 圓臺的上下兩個底面半徑為10、20,平行于底面的截面把圓臺側面分成的兩部分面積之比為1 : 1，求截面的半徑.（變式：r、R;比為p:q ）3. 若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為 3，求這個