灰色預(yù)測(cè)理論

1、灰色預(yù)測(cè)理論胡亞飛 彭 敬 李云飛呂連磊 苗成林 沈 聰目錄n灰色系統(tǒng)理論簡(jiǎn)介以及發(fā)展n灰色預(yù)測(cè)理論 灰色預(yù)測(cè)簡(jiǎn)介 灰色預(yù)測(cè)類型 灰色預(yù)測(cè)模型 灰色預(yù)測(cè)檢驗(yàn)n案例以及軟件實(shí)現(xiàn)灰色系統(tǒng)理論簡(jiǎn)介 灰色系統(tǒng)理論是由我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的“以部分信息已知，部分信息未知的小樣本、貧信息”不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象的一門系統(tǒng)科學(xué)新學(xué)科，具有原創(chuàng)性的科學(xué)意義，是我國(guó)對(duì)系統(tǒng)科學(xué)的新貢獻(xiàn)，目前已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的廣泛重視，并在農(nóng)業(yè)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)藥衛(wèi)生、礦業(yè)工程、教育科學(xué)、水利水電、圖像信息、生命科學(xué)、控制科學(xué)、航空航天等眾多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，解決了許多過(guò)去難以解決的實(shí)際問(wèn)題。 灰

2、色系統(tǒng)理論的內(nèi)容 灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過(guò)20多年的發(fā)展，已基本建立起一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系。其主要內(nèi)容包括以灰色朦朧集為基礎(chǔ)的理論體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系，以灰色序列生成為基礎(chǔ)的方法體系，以灰色模型(GM )為核心的模型體系，以系統(tǒng)分析、評(píng)估、建模、預(yù)測(cè)、決策、控制、優(yōu)化為主體的技術(shù)體系。 灰色朦朧集、灰色代數(shù)系統(tǒng)、灰色方程、灰色矩陣等是灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)，從學(xué)科體系自身的優(yōu)美、完善出發(fā)，這里有許多問(wèn)題值得進(jìn)一步研究?；疑到y(tǒng)分析除灰色關(guān)聯(lián)分析外，還包括灰色聚類和灰色統(tǒng)計(jì)評(píng)估等內(nèi)容?；疑蛄猩赏ㄟ^(guò)序列算子的作用來(lái)實(shí)現(xiàn)，序列算子主要包括緩沖算子(弱化算子、強(qiáng)化算子)、均值生成算子、級(jí)比生

3、成算子、累加生成算子和累減生成算子等?；疑Ｐ桶凑瘴宀浇Ｋ枷霕?gòu)建，通過(guò)灰色生成或序列算子的作用弱化隨機(jī)性，挖掘潛在規(guī)律，經(jīng)過(guò)灰色差分方程與灰色微分方程之間的互換實(shí)現(xiàn)了利用離散的數(shù)據(jù)序列建立連續(xù)的動(dòng)態(tài)微分方程的新飛躍?；疑A(yù)測(cè)是基于灰色預(yù)測(cè)是基于GM GM 模型作模型作出的定量預(yù)測(cè)，按照其功能和特征可分為數(shù)列預(yù)測(cè)、區(qū)間預(yù)測(cè)、災(zāi)變出的定量預(yù)測(cè)，按照其功能和特征可分為數(shù)列預(yù)測(cè)、區(qū)間預(yù)測(cè)、災(zāi)變預(yù)測(cè)、季節(jié)災(zāi)變預(yù)測(cè)、波形預(yù)測(cè)和系統(tǒng)預(yù)測(cè)等幾種類型。預(yù)測(cè)、季節(jié)災(zāi)變預(yù)測(cè)、波形預(yù)測(cè)和系統(tǒng)預(yù)測(cè)等幾種類型?；疑珱Q策包括灰靶決策、灰色關(guān)聯(lián)決策、灰色統(tǒng)計(jì)、聚類決策、灰色局勢(shì)決策和灰色層次決策等?；疑刂频闹饕獌?nèi)容包括本

4、征性灰色系統(tǒng)的控制問(wèn)題和以灰色系統(tǒng)方法為基礎(chǔ)構(gòu)成的控制，如灰色關(guān)聯(lián)控制和GM (1，1)預(yù)測(cè)控制等?；疑珒?yōu)化技術(shù)包括灰色線性規(guī)劃、灰色非線性規(guī)劃、灰色整數(shù)規(guī)劃和灰色動(dòng)態(tài)規(guī)劃等?；疑到y(tǒng)理論的內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)1.灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”,“貧信息”的不確定性系統(tǒng)。 信息不完全包含： 1、系統(tǒng)因素不完全明確； 2、因素關(guān)系不完全清楚； 3、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不完全知道； 4、系統(tǒng)作用原理不完全明了。2.白色系統(tǒng)、灰色系統(tǒng)、黑色系統(tǒng) 白色系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全 充分的。如：存取款系統(tǒng)，存款金額明確，利息固定則最終取款金額就已知。 灰色系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)的

5、內(nèi)部特征是不完全已知的系統(tǒng)。人體是一個(gè)系統(tǒng)，人的身高、體溫、血壓等都是已知的，可是，人體內(nèi)部在結(jié)構(gòu)及部位功能上還有許多問(wèn)題尚未可知。 黑色系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息對(duì)外界來(lái)說(shuō)是一無(wú)所知的，只能通過(guò)它與外界的聯(lián)系來(lái)加以觀測(cè)研究。如：觀測(cè)到的星體。灰色系統(tǒng)分析法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)法及模糊法對(duì)比灰色系統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法模糊法內(nèi)涵小樣本不確定大樣本不確定界限不確定依據(jù)信息覆蓋概率統(tǒng)計(jì)隸屬度函數(shù)手段生成統(tǒng)計(jì)邊界取值特點(diǎn)少數(shù)據(jù)少數(shù)據(jù)多數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)（數(shù)據(jù)）要求允許任意分布允許任意分布要求典型分布函數(shù)目標(biāo)現(xiàn)實(shí)規(guī)律歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律認(rèn)知表達(dá)信息準(zhǔn)則最少信息無(wú)限信息經(jīng)驗(yàn)信息灰色預(yù)測(cè)灰色預(yù)測(cè) n 灰色預(yù)測(cè)是對(duì)既含有已知信息又含有不確定信息

6、的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，就是對(duì)在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)。n 通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成處理來(lái)和灰色模型的建立，挖掘、發(fā)現(xiàn)、掌握尋求系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性，可以用它來(lái)建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和未來(lái)狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)做出科學(xué)的定量分析。常用的灰色預(yù)測(cè)有五種（1）數(shù)列預(yù)測(cè)，即用觀察到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的時(shí)間序列來(lái)構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個(gè)

7、特定的時(shí)區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測(cè)。（4）拓?fù)漕A(yù)測(cè)，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測(cè)該定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。（5）系統(tǒng)預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。預(yù)測(cè)模型n單序列灰色預(yù)測(cè)模型n GM（1，1）模型n DGM（1，1）模型n GM（1，N）模型n Verhulst模型n區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型n 基于幾何坐標(biāo)法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-G(1,1)n 基于信息分解法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-P(1,1)n 基于灰色屬性法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-D(1,1)單序列灰

8、色預(yù)測(cè)模型l 灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管朦朧，數(shù)據(jù)盡管復(fù)雜，但它必然是有序的，都存在著某種內(nèi)在規(guī)律。不過(guò)這些規(guī)律被紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象所掩蓋,人們很難直接從原始數(shù)據(jù)中找到某種內(nèi)在的規(guī)律.n 灰色生成：建立灰色模型之前，需要對(duì)原始時(shí)間序列按照某種要求進(jìn)行預(yù)處理，得到有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)生成列。即對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成就是企圖從雜亂無(wú)章的現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律.n 常用的灰色系統(tǒng)生成方式有: 累加生成,累減生成,均值生成,級(jí)比生成等,下面對(duì)這幾種生成做簡(jiǎn)單介紹： 1.累加生成累加生成 通過(guò)數(shù)列間時(shí)刻各數(shù)據(jù)的依個(gè)累加以得到新的數(shù)據(jù)與數(shù)列，累加所得的新數(shù)列叫做累加生成數(shù)列。 具體地，記原始數(shù)列為 X(0)

9、=(x(0)(1), x(0)(2),x(1)(n) 累加生成序列 X(i)=(x(i)(1), x(i)(2),x(i)(n) 一次累加生成關(guān)系 累加生成的作用：通過(guò)累加生成可以看出灰量積累過(guò)程的發(fā)展態(tài)勢(shì),使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的積分特性或規(guī)律加以顯化。 2.累減生成累減生成 對(duì)數(shù)列求相鄰兩數(shù)值的差，是累加生成的逆運(yùn)算。 記原始序列為 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),),x(1)(n) 一次累減生成序列為 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),x(0)(n) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累減生成的作用 累減生成可將累加生成還原為非生成數(shù)列,

10、在建模方 程用來(lái)獲得增量信息。(1)(0)(1)(0)0( )( )(1)( )kixkxixkxk3.3.均值生成 設(shè)原始序列為 X(0）=x(0)(1), x(0)(2),x(0)(n) ，x(0)(k-1)與x(0)(k)為數(shù)列X(0)的一對(duì)（緊）鄰值，則稱x(0)(k-1)為值，x(0)(k)稱為后值。 對(duì)于常數(shù)(0,1) 則稱 z(0)(k)=x(0)(k) + (1-)x(0)(k 1) 為由數(shù)列x(0)的鄰值在生成系數(shù)（權(quán)）下的鄰值生成數(shù)。 特別地，當(dāng)生成系數(shù)為0.5時(shí)，則稱z(0)(k) = 0.5x(0)(k) + 0.5x(0)(k 1) 為（緊）鄰均值生成數(shù)，即等權(quán)鄰值生

11、成數(shù)。4.級(jí)比生成 級(jí)比生成是一種常用的填補(bǔ)序列端點(diǎn)空穴的方法。對(duì)數(shù)列端點(diǎn)值的生成，我們無(wú)法采用均值生成填補(bǔ)空缺，只能采用級(jí)比生成。 級(jí)別生成在建模中可以獲得較好的灰指數(shù)律。級(jí)比生成是級(jí)比(k)與光滑比(k)生成的總稱。 設(shè)原始序列為 X(0）=x(0)(1), x(0)(2),x(0)(n)，稱 (k)為級(jí)比，(k)為光滑比，其表達(dá)式為 (k)=x(0)(k)/x(0)(k 1) (k)=x(0)(k)/x(1)(k-1) GM（1.1）模型l 模型符號(hào)含義模型符號(hào)含義GM(1，1) Grey Model(1階方程，1個(gè)變量)l GM(1，1)建模過(guò)程建模過(guò)程 令X（0）為GM(1，1)為原

12、始建模序列：X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),x(0)(n)其中x(0)(k)0,k=1,2,.,n X（1） 為X（0）累加生成序列X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),x(1)(n) 令Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列Z（1）=（ z(1)(1 ), z(1)(2), z(1)(k )）z(1)(k)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k-1) GM(1，1)的灰微分方程模型為x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 式中稱為-a發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量(1)(0)(1)(0)0( )( )(1)( )kixkxixkxkv 準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)一階微分方程模

13、型 dx/dt+ax=b導(dǎo)數(shù)的定義 當(dāng)t很小并取很小的單位1時(shí)x(t+1)-x(t)=x/t則離散形式可寫為x/t=x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1)由dx/dtx/tx(1)(k+1)-x(1)(k)，在x(1)(k)，x(1)(k+1)范圍內(nèi)，由于很短時(shí)間內(nèi)背景值（即x值）不會(huì)發(fā)生突變，則取均值 z(1)(k+1)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k+1)作為x的值。則得到灰微分方程為x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b則可得矩陣方程x(0)(k+1)=-a z(1)(k)+bYn=B&0()( )limtdxx ttx tdtt 設(shè)&為

14、待估參數(shù)向量，即&=（a,b）T，則灰微分方程的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足&= 其中， B= Y n= 則稱 為灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。 將上面所求參數(shù)代入白化方程，求得其解為 還原到原始數(shù)據(jù) (1)(1)(1)(2)1(3)1.( )1zzzn(0)(0)(0)(2)(3).( )xxxnYBBBTT1(1)(1)dxaxbdtabeabxkak) 1 () 1(x)1(1)() 1() 1(x) 1 (0)kxkxkDGM（1，1）模型1 11 11 11）1）- -(n(nX X(1)(1)X X(1)(1)X XB B(1)

15、(1)(1)(1)(1)(1)DGM(1DGM(1，1)1)模型和模型和GM(1GM(1，1)1)是完全等價(jià)的。是完全等價(jià)的。DGM(1DGM(1，1)1)模型全面符合灰色預(yù)測(cè)模型的建模機(jī)理模型全面符合灰色預(yù)測(cè)模型的建模機(jī)理. .是是一種新的灰色預(yù)測(cè)模型一種新的灰色預(yù)測(cè)模型. .或者說(shuō)是灰色預(yù)測(cè)模型的一種或者說(shuō)是灰色預(yù)測(cè)模型的一種新形式。新形式。其中其中DGM(1DGM(1，1)1)模型更能夠精確模擬齊次指數(shù)序列。對(duì)模型更能夠精確模擬齊次指數(shù)序列。對(duì)于非指數(shù)增長(zhǎng)序列和震蕩序列，應(yīng)選擇微分，差分混于非指數(shù)增長(zhǎng)序列和震蕩序列，應(yīng)選擇微分，差分混合形態(tài)的合形態(tài)的GM(1GM(1，1)1)；對(duì)于接近齊

16、次指數(shù)序列的非指數(shù)；對(duì)于接近齊次指數(shù)序列的非指數(shù)增長(zhǎng)序列和震蕩序列，應(yīng)優(yōu)先選擇增長(zhǎng)序列和震蕩序列，應(yīng)優(yōu)先選擇DGM(1DGM(1，1)1)模型。模型。DGMDGM模型可以看做是模型可以看做是GMGM模型的精確形式，當(dāng)模型的精確形式，當(dāng)GMGM模型中的模型中的a a取值很小時(shí)，二者可替換。取值很小時(shí)，二者可替換。GM(1,1)和和DGM(1,1)的關(guān)系的關(guān)系GM（1，N）模型如果考慮的系統(tǒng)由若干個(gè)相互影響的因素組成，設(shè) 為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而)(),.,2(),1 ()0(1)0(1)0(1)0(1nxxxX)(),.,2(),1 ()0(2)0(2)0(2)0(2nxxxX. . )(),.,

17、2(),1 ()0()0()0()0(nxxxXNNNN為相關(guān)因素序列。為相關(guān)因素序列。 為為 的的1-AGO序列序列 ， 為為 的緊鄰生成序列，則稱的緊鄰生成序列，則稱 )1(iX)0(iXNi,.,2 , 1)1(1Z)1(1XNiiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()(為為GM(1,N)灰色微分方程?；疑⒎址匠?。定義定義TNbbaa.2為為GM(1,N)灰色微分方程的參數(shù)列，根據(jù)最小二乘法可灰色微分方程的參數(shù)列，根據(jù)最小二乘法可以得出：以得出：YBBBaTT1式中式中)(.)()(.)3(.)3()3()2(.)2()2()1()1(2)1(1)1()1(2)1(1)1

18、()1(2)1(1nxnxnzxxzxxzBNNNTnxxxY)(.) 3()2()0(1)0(1)0(1)1 ()1 (33)1 (22)1 (1)1 (1.NNxbxbxbaxdtdx為GM(1,N)灰色微分方程（2）的白化方程，也稱影子方程。于是，我們有1）白化方程（3）的解為NiNiatiiiiatNiNiiiatiiatdtetxbxbtxedtxbxdtetxbetx22)1()1()1(122)1()1(1)1()1(1)()0()0()0()0()()(2）當(dāng)當(dāng) 變化幅度很小時(shí)，可視 為灰常量，這樣，GM(1,N)灰色微分方程（3）的近似時(shí)間響應(yīng)式為),.,2 , 1()1(N

19、iXiNiiikxb2)1()(NiiiakNiiiikxbaekxbaxkx2) 1 (2)() 1 (1) 1 (1) 1(1) 1(1) 0 () 1(其中 取為 。)0()1(1x) 1 ()0(1x3）累減還原式為)() 1() 1()1(1)1(1)0(1kxkxkx (5) (4) 灰色Verhulst模型n灰色系統(tǒng)理論自1982年誕生以來(lái)，它被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)、管理和工程技術(shù)等領(lǐng)域。灰色預(yù)測(cè)理論是灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容之一，而GM（1，1）模型又是灰色預(yù)測(cè)理論中最核心的模型。而對(duì)于具有s型序列，則不適宜用GM（1，1）模型預(yù)測(cè)，適合用灰色Verhulst模型等進(jìn)行預(yù)測(cè)。

20、灰色Verhulst模型避免了傳統(tǒng)的Verhulst模型建模的大樣本要求，因此，該模型得到了較廣泛的使用。nVerhulst模型主要用來(lái)描述具有飽和狀態(tài)的過(guò)程,即S形過(guò)程,常用于人口預(yù)測(cè),生物生長(zhǎng),繁殖預(yù)測(cè)和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測(cè)等.由Verhulst方程的解可以看出,當(dāng)t時(shí),若a0,則x(1)(t) 0;若at, x(1)(k+1) 與x(1)(k) 充分接近,此時(shí)x(0)(k+1) 0 ,系統(tǒng)趨于死亡.設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列, X(1)為X(0)的1-AGO序列, Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列,則稱為GM(1,1)冪模型. 稱為GM(1,1)冪模型的白化方程.GM(1,1)冪模型之白化

21、方程的解為)()1()1()1(xbaxdtdx)()1()1()0(ZbaZX11)1 ()1 () 1 ()1()(CdtbeetxataataVerhulst模型模型 設(shè) ，有則GM(1,1)冪模型參數(shù)列 的最小二乘估計(jì)為)1()1()0(,ZXX )() 3 () 2()0()0()0(nxxxY )()()3 () 3 ()2 () 2 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (nznzzzzzBTbaa, YBBBbaaTTT1)(,當(dāng)a=2時(shí),稱為灰色Verhulst模型.稱 為灰色Verhulst模型的白化過(guò)程.2)1()1()0()(ZbaZX2) 1 (

22、) 1 () 1 ()(xbaxdtdx Verhulst白化方程的解為灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式為atatatatatebxabxaxebxaeaxeabxetx)0()0()0()1)(0()0()1 ()0(11)()1()1()1()1()1()1()1(akebxabxaxkx)0() 0() 0() 1() 1 () 1 () 1 () 1 (區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型n 區(qū)間灰數(shù)：定義 既有下界 ,又有上界 的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為 ，其中 。n 白化權(quán)函數(shù)：是用來(lái)描述一個(gè)區(qū)間灰數(shù) 在其取值范圍 內(nèi)對(duì)不同數(shù)值的“偏愛(ài)”程度的函數(shù)，稱為 的白化權(quán)函數(shù)。n 區(qū)間灰數(shù)的“核”和“灰度”

23、是區(qū)間灰數(shù)的兩個(gè)重要屬性，是研究區(qū)間灰數(shù)代數(shù)運(yùn)算法則以及建立區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型誤差檢驗(yàn)方法的基礎(chǔ)。區(qū)間灰數(shù)的“核”，是在充分考慮已知信息的條件下，最有可能代表區(qū)間灰數(shù)“白化值”的實(shí)數(shù)；區(qū)間灰數(shù)的“灰度”，反映了人們對(duì)灰色系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的不確定程度。我們通常的實(shí)數(shù)則是灰度為零且核為本身的特殊區(qū)間灰數(shù)。kakb kkkbat,kakb kkkbat,kkb,a kt區(qū)間灰數(shù)序列的白化方法n 區(qū)間灰數(shù)序列： 其中 。n 根據(jù)區(qū)間灰數(shù)序列的幾何特點(diǎn)，信息特征以及灰色屬性，通常將區(qū)間灰數(shù)序列的白化方法分為幾何坐標(biāo)法，信息分解法以及灰色屬性法三類，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為相關(guān)的實(shí)數(shù)序列。 ,)(),.,(),(21n

24、tttXnkbatkkk,.,2 , 1,)(,轉(zhuǎn)換方法結(jié)果轉(zhuǎn)換公式信息等價(jià)性幾何坐標(biāo)法面積序列S=（s(1),s(2),.,s(n-1)）s(p)=等價(jià)坐標(biāo)序列W=（w(1),w(2),.,w(n-1)） w(p)=信息分解法實(shí)部序列R=等價(jià)灰部序列H=等價(jià)灰色屬性法核序列K=灰度序列G= 2bb11ppppaa 4bb11ppppaanaa,.,2, 1anhhh,.,21, nt,.,t,t21)(g),.,(g),(g21ntttkkkhat)(kkkab h2)(kkkbatababtkkk)(g附圖附圖-基于幾何坐標(biāo)法的區(qū)間灰數(shù)序列白化方法基于幾何坐標(biāo)法的區(qū)間灰數(shù)序列白化方法注釋注

25、釋基于灰色屬性法的區(qū)間灰數(shù)序列白化方法基于灰色屬性法的區(qū)間灰數(shù)序列白化方法其中所有區(qū)間灰數(shù)產(chǎn)生的背景或論域?yàn)?，也就是區(qū)間灰數(shù)的最大邊界，為已知。且 在其范圍內(nèi)的取值可能性均等，即區(qū)間灰數(shù) 的白化權(quán)函數(shù)為矩形。ba,n 基于幾何坐標(biāo)法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-G(1,1) 即分別構(gòu)建基于面積序列和坐標(biāo)序列的DGM(1,1)模型，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)幾何坐標(biāo)法的反向推導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)上界及下屆的模擬，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建。 具體模型建立參照前邊的DGM(1,1)模型，可以得到面積序列和坐標(biāo)序列的的預(yù)測(cè)模型， 從而得到11211) 1 (1sksk 112111w) 1(wkk 2211

26、21131kk221121131kk1114ab1112ababCabCkkkskkks 解方程組，可得到區(qū)間灰數(shù) 上界和下界的模擬及預(yù)測(cè)公式， 其中)(kt22113121131221131211311211b1211abFFaFFkkkskkskkkkskkwk 212111w11s11,1112,12wCwsCCFCFswsn 基于信息分解法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-P(1,1) 即分別構(gòu)建基于實(shí)部（也稱“白部”）序列和灰部序列的DGM(1,1)模型，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)推導(dǎo)區(qū)間灰數(shù)上界及下界的模擬表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建。 具體模型建立參照前邊的DGM(1,1)模型，可以得到白

27、部序列和序列的的預(yù)測(cè)模型， 11211112111k112111k1k1k1k112111k112111k11b1aabh1h1akkkkkahaha可得，由n 基于灰色屬性法的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型IGPM-D(1,1) 即通過(guò)“核”序列為基礎(chǔ)建立DGM(1,1)預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)區(qū)間灰數(shù)“核”的預(yù)測(cè)；然后以“灰度不減公理”為理論依據(jù)，以“核”為中心拖展得區(qū)間灰數(shù)的上界和下界，在不破壞區(qū)間灰數(shù)獨(dú)立性和完整性的前提下，實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰 數(shù)的模擬和預(yù)測(cè)。n 核序列具體模型建立參照前邊的DGM(1,1)模型，可以得到核序列的預(yù)測(cè)模型， n 灰度不減原理：兩個(gè)灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和，差，積，商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)

28、果的灰度不小于灰數(shù)較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度，即 1121111)(kktt 可得 1111112112baab,.,2 , 1)(g)(g)(g),.(g),(gmax)(gkkkxxkkxknktabnxtttttt由則其中21)(21)(112111112111xxkkxxkkabtbabta單序列預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn) 灰色模型是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用說(shuō)明：灰色理論具有很多獨(dú)特的優(yōu)越性?；疑Ｐ蛻?yīng)用的廣泛，其精度成為了一個(gè)很受關(guān)注的問(wèn)題。 灰色模型的誤差a.抽樣誤差或試驗(yàn)誤差它是原始數(shù)據(jù)記錄或統(tǒng)計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)的誤差b.舍入誤差或計(jì)算誤差它是建模計(jì)算過(guò)程中由于運(yùn)算數(shù)據(jù)的舍入引起的

29、誤差C.模型表達(dá)誤差由于灰色系統(tǒng)以“近似地”表達(dá)為描述問(wèn)題和就決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，所以原始數(shù)據(jù)和模擬值之間就必然存在微小的差距 。誤差分析 前兩種誤差帶有一定的客觀性和必然性，是模型不可避免的誤差；后一種誤差可以通過(guò)不斷的改進(jìn)使模型的誤差逐漸降低。 由于人們用精準(zhǔn)性理論建立符合復(fù)雜事物發(fā)展規(guī)律的模型幾乎是不可能的，因此建立背景值為灰的近似模型也就不可避免地出現(xiàn)微小誤差，但是這種很小的誤差并不影響人們利用灰模型研究事物發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律，并以此指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐，只有當(dāng)模型誤差超出了一定的限制范圍時(shí)，模型的實(shí)用性才會(huì)降低。模模型型選選定定之之后后, ,一一定定要要經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)檢檢驗(yàn)驗(yàn)才才能能判判定定其其是是否否

30、合合理理, ,只只有有通通過(guò)過(guò)檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的模模型型才才能能用用來(lái)來(lái)作作預(yù)預(yù)測(cè)測(cè), ,灰灰色色模模型型的的精精度度檢檢驗(yàn)驗(yàn)一一般般有有三三種種方方法法: :相相對(duì)對(duì)誤誤差差大大小小檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法, ,關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法和和后后驗(yàn)驗(yàn)差差檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法. .下下面面對(duì)對(duì)這這三三種種方方法法做做個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單介介紹紹. .(1)(1)(0)(1.1),GMXXX設(shè)設(shè)按按建建模模法法已已求求出出并并將將做做一一次次累累減減轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為即即1.1.1 相對(duì)誤差檢驗(yàn)法相對(duì)誤差檢驗(yàn)法(0)(0)(0)(0)(1),(2), ,( )(2 31)Xxxxn (1-1)計(jì)計(jì)算算殘殘差差得得(0)(0) (1),

31、(2), ( )(2 32)Eeee nXX (0)(0), ( )( )( ),1,2,e kxkxk kn其其中中計(jì)計(jì)算算相相對(duì)對(duì)誤誤差差得得(0)( )( )100% ,1,2, ,(2 33)( )ekrel kknxk 計(jì)計(jì)算算平平均均相相對(duì)對(duì)誤誤差差得得11( ),(2 34)nkrelrel kn (1-2)計(jì)計(jì)算算后后驗(yàn)驗(yàn)差差比比為為21/(2 36)C S S 計(jì)計(jì)算算小小誤誤差差概概率率為為 1( )0.6745(2 37)p P e keS 1212,.CpCCSSSSC指指標(biāo)標(biāo) 和和 是是后后驗(yàn)驗(yàn)差差檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的兩兩個(gè)個(gè)重重要要指指標(biāo)標(biāo). .指指標(biāo)標(biāo) 越越小小越越好好越

32、越小小表表示示 大大而而越越小小大大表表示示原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)方方差差大大, ,即即原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)離離散散程程度度大大. . 小小表表示示殘殘方方差差小小, ,即即殘殘差差離離散散程程度度小小. . 小小就就表表明明盡盡管管原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)很很離離散散, ,而而模模型型所所得得計(jì)計(jì)算算值值與與實(shí)實(shí)際際值值之之差差并并不不太太離離散散. .1.1.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法后驗(yàn)差檢驗(yàn)法( 0 )( 0 )2212(1 .1)( 23 1),( 23 2 ),G MXXESS 設(shè)設(shè) 按按建建 模模 法法 所所 求求 出出 的的如如所所 示示殘殘差差 如如所所 示示原原 始始 序序 列列及及 殘殘 差差 序序

33、 列列的的 方方 差差分分 別別 為為和和則則2(0)21122211( )1 ( )(2 35)nknkSxkxnSe ken (0)1111,( ),( )nnkkxxk ee knn其其中中1,0.6745,.ppC p指指標(biāo)標(biāo) 越越大大越越好好越越大大 表表明明殘殘差差與與殘殘差差平平均均值值之之差差小小于于給給定定值值的的點(diǎn)點(diǎn)較較多多 即即擬擬合合值值( (或或預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)值值) )分分布布比比較較均均勻勻. .按按兩兩個(gè)個(gè)指指標(biāo)標(biāo) 可可綜綜合合評(píng)評(píng)定定預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)模模型型的的精精度度 模模型型的的精精度度由由后后驗(yàn)驗(yàn)差差和和小小誤誤差差概概率率共共同同刻刻劃劃. .一一般般地地, ,將將模

34、模型型的的精精度度分分為為四四級(jí)級(jí), ,見(jiàn)見(jiàn)表表2 2- -1 1模型精度級(jí)模型精度級(jí)均方差比值均方差比值C小誤差概率小誤差概率p1級(jí)（好）級(jí)（好）C=0.350.95=p2級(jí)（合格）級(jí)（合格）0.35C=0.50.80=p0.953級(jí)（勉強(qiáng)）級(jí)（勉強(qiáng)）0.5C=0.650.70=p0.804級(jí)（不合格）級(jí)（不合格） 0.65CP0.70 ,MaxpC 模模型型的的精精度度級(jí)級(jí)別別的的級(jí)級(jí)別別于于是是的的級(jí)級(jí)別別表表21 精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表1.1.3 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，即通過(guò)考察模型值曲線和建模序列曲關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，即通過(guò)考察模型值曲線和建模序列曲線的相似程度進(jìn)行檢驗(yàn)，是一種幾何檢驗(yàn)。線的相似程度進(jìn)行檢驗(yàn)，是一種幾何檢驗(yàn)。關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法，先計(jì)算出關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法，先計(jì)算出 與與 原始原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度大于聯(lián)度大于0.6便是滿意的。便是滿意的。 )()0(ix)()