高考數(shù)學(xué)專題-橢圓、雙曲線、拋物線

1、高考數(shù)學(xué)專題-橢圓、雙曲線、拋物線高考定位 1.圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，多以選擇題、填空題或 解答題的一問的形式命題；2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點(diǎn)，尤其是 有關(guān)弦長計算及存在性問題，運(yùn)算量大，能力要求高，突出方程思想、轉(zhuǎn)化化歸 與分類討論思想方法的考查.真題感悟八 一, , x2 y21.(全國II卷)雙曲線b2=1(a>0, b>0)的離心率為43,則其漸近線萬程為()A.y=W2xB.y=is/3x,23C. y=±xD.y=±2x解析 法一由題意知，e= a=血，所以c=«3a,所以b=c2-a2=42a,即。=業(yè) 所以該

2、雙曲線的漸近線方程為 v=x= ±J2x.法二由=a=/nr=點(diǎn)得.也所以該雙曲線的漸近線方程為y=< x= /2x.答案 A22.(全國I卷)設(shè)拋物線C: y2 = 4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(一2, 0)且斜率為的直線與3C交于M, N兩點(diǎn)，則fM FN=()A. 5B.6C. 7D.82, 一22y=a (x+2),解析 過點(diǎn)(一2,0)且斜率為3的直線的方程為y= 3(x+ 2),由 3得y2=4x,x25x + 4=0.設(shè) M(xi, yi), N(x2, y2),則 yi>0, y2>0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得xi + x2 = 5, xix2 = 4.易知

3、F(1, 0),所以 FM = (xi 1, yi), FN=(x21, y2),所以FM FN = (xi 1)(x2 1) + yiy2 = xix2 (xi + x2) + 1 + 4Mx1x2= 45+1 + 8= 8.答案 D223.(全國II卷)已知Fi, F2是橢圓C： x2+七=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的a b左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為呼的直線上， PF1F2為等腰三角形，/ FiF2P=120°,則C的離心率為()1BWiD.41C.3解析由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|FiF2| = 2c, .PF1F2為等腰三角形，且 /Fi

4、F2P= 120°, . |PF2|= |FiF2|= 2c.|OF2|=c,過 P 作 PE 垂直 x 軸，則 / PF2E=60°,所以,一. 一. '3F2E=c, PE=gc,即點(diǎn)P(2c, 43c).二點(diǎn)P在過點(diǎn)A,且斜率為二的直線上,.拜:興，解得c=/ ；e= 1. 2c+a 6 ' a 4'4答案 Dx224.(全國I卷)設(shè)橢圓C: x2 + y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C父于A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 0).當(dāng)l與x軸垂直時，求直線 AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/ OMA=/OMB.解 由已知得F(1,

5、0), l的方程為x= 1.把x=1代入橢圓方程，+y2=1,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,*或1,呼.又M(2, 0),所以AM的方程為y= -#x+ y/2或y=乎x-也.證明 當(dāng)l與x軸重合時，/ OMA=/OMB = 0°.當(dāng)l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以/ OMA=/ OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè) l 的方程為 y=k(x1)(kw 0) A(xi, yi), B(x2, y2),y iy2則xi<42, x2<V2,直線 MA, MB的斜率之和為kMA+kMB = x2 + 亡 由 yi = k(xi1), y2=k(x21)得kMA+kMB =

6、2kxix2 3k (xi + x2)+ 4k(xi-2)(x2-2)2將 y= k(x 1)代入+ y2 = 1 得 (2k2 + 1)x2 4k2x+ 2k22=0.所以，xi + x24k22k2 2= 2k2+11 xix2=2k2+1.則 2kxix23k(xi +x2) + 4k=4k3-4k-12k3+8k3 + 4k2k2 + 1=0.從而kMA+kMB=0,故MA, MB的傾斜角互補(bǔ).所以/ OMA=/OMB.綜上，/OMA=/OMB.考點(diǎn)整合1 .圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MFi|十|MF2| = 2a(2a>|FiF2|);雙曲線：|MFi | |MF2|=2a(

7、2a< |FiF2|)；(3)拋物線：|MF|=d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).溫馨提醒 應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤2 .圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2222(1)橢圓：/1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或步+竄=1(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上);2222(2)雙曲線:拿一卜1(a>0, b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或>、1(a>0, b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)； (3)拋物線：y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= - 2py(p>0).3 .圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a, b, c之間

8、的關(guān)系在橢圓中：a2=b2 + c2；離心率為e= ：= 1 -3.在雙曲線中：c2=a2+b2；離心率為e=1+e (2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)22b雙曲線 Al Ma,0, b>0)的漸近線方程為y=5？；焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(-c, 0), F2(c, 0).y=1x,焦點(diǎn)坐標(biāo) Fi(0, c),F2(0,y2 x2雙曲線，產(chǎn)1A。，b>0)的漸近線方程為 c).(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)F p, 0 ,準(zhǔn)線方程x= -p.拋物線x2 = 2py(p>0)的焦點(diǎn)F 0, 2 ,準(zhǔn)線方程v= -p.4.弦長問題(1)直線與圓

9、錐曲線相交的弦長設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入.即當(dāng)斜率為k,直線與圓錐曲線交于 A(x1, y1), B(x2, y2)時，|AB| = 41+ k2網(wǎng)一x2| =5 + k2J (x1 + x2)2 4x1x2.過拋物線焦點(diǎn)的弦長2拋物線 y2 = 2px(p>0)過焦點(diǎn) F 的弦 AB,若 A(x1, y1), B(x2, y2),則 xx2=j y1y2 = - p2,弦長 |AB|=x1 + x2 + p.10 / 20熱點(diǎn)一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例11 （1）（天津卷）已知雙曲線a2 b2=1（a>0, b>0）的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸

10、的直線與雙曲線交于 A,距離分別為di和d2,且di+d2 = 6,22A x y-= iA. 4 12 1Cx2_y2=1C.3 91B兩點(diǎn).設(shè)A, B到雙曲線的同一條漸近線的則雙曲線的方程為（）2BB.12 x2D.9一2=1（2018煙臺二模）已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F, M是拋物線C上一點(diǎn),若FM的延長線交x軸的正半軸于點(diǎn)N,交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)且FM = MN, 則|NT尸.解析（1）由d1+d2 = 6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.因為a2 + b2a2 + 9所以1 = 4,所以一歹22雙曲線a2' $= 1（a>0, b>0）的

11、離心率為2,所以a=222=4,解得a2 = 3,所以雙曲線的方程為* Jr(2)由 x2=4y,知 F(0, 1),準(zhǔn)線 l: y= 1.設(shè)點(diǎn) M(xo, yo),且 xo>0, yo>0.由FM = MN,知點(diǎn)M是線段FN的中點(diǎn)，N是FT中點(diǎn),利用拋物線定義，|MF|=|MM'Myo+1,且 |FF2|NN '4 2.又 2(yo+1)=|FFT 113 |NNM3,知 yo = 2.； |MF|=2+1=2,從而 |NT| = |FN|= 2|MF| = 3.答案(1)C (2)3探究提高 1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離， 一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理

12、.如本例(2)中充分運(yùn)用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快 .2.求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 先定型，后計算”.所謂誼型”，就是指確 定類型，所謂 計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的 a2, b2, p的值，最 后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程22【訓(xùn)練11 (1)(全國田卷)已知雙曲線C: a2-b2= 1(a>0, b>0)的一條漸近線方程為y=*x,且與橢圓得+£=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為() 212 3222 2Ax_L=1Bx_£=1A. 8 10 1B.4 5 1D.xryr14:15 4Fi , F2分別為左、右焦點(diǎn),x2(2

13、)(衡水中學(xué)調(diào)研)P為橢圓C:5+ y2=1上一動點(diǎn), 延長F1P至點(diǎn)Q,使得|PQ|=|PF2|,記動點(diǎn)Q的軌跡為Q,設(shè)點(diǎn)B為橢圓C短 軸上一頂點(diǎn)，直線 BF2與。交于M, N兩點(diǎn)，則|MN= 解析(1)由題設(shè)知5=15,22又由橢圓x+y- = 1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，12 3易知 a2+b2 = c2=9,22由解彳4 a=2, b = ® 則雙曲線C的方程為11 = 1.(2) /|PF1|+ |PF2| = 2a= 2V2,且|PQ| = |PF2|, . |FQ尸 |FP|+ |PF2| = 2 2.。為以F1(1, 0)為圓心，2也為半徑的圓.|BF1|=|BF2| =亞

14、，|F1F2|=2, .BF1，BF2,故|MN|= 2立皿|2-|BF1|2:24(2柩 2-(血)2=2v6.答案(1)B (2)2 .6熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)b>0）的離心率為 卷，則【例2】（1）（全國田卷）已知雙曲線C:步一看=11>0點(diǎn)（4, 0）到C的漸近線的距離為（）A. '2B. 2C.32-2D.2 22222（2）（北京卷改編）已知橢圓M: /+* 1（a>b>0）,雙曲線N:m2/=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形 的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為.c解析 （1）法一 由離心率e=g，得c= &g

15、t;/2a, 又b=ca, 得b = a,所以 a-雙曲線C的漸近線方程為y=改由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)（4, 0）到C的漸近線的距離為4j= = 2l2.法二 離心率e=也的雙曲線是等軸雙曲線，具漸近線方程是y=蟲，.點(diǎn)（4,4.0）到C的漸近線的距離為4j=2l2.（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c, 0）,雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,由題意可知A 2, 13c ,由點(diǎn)A在橢圓M上得，于2+至2= 1,b2c2+3a2c2=4a 4b4a2b2, . b2=a2 c2,.（a2 c2）c2 + 3a2c2 = 4a2（a2c2）, 貝U 4a4 8a2c2 + c4=0,

16、e48e2+4 = 0, .e2=4+ 2J3（舍），e2 = 4 2/3.由 0<e<1, 得 e= 13 1.答案（1）D （2）731探究提高1.分析圓錐曲線中a, b, c, e各量之間的關(guān)系是求解圓錐曲線性質(zhì) 問題的關(guān)鍵.2 .確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a, b, c的方程（組）或不等式（組），再根據(jù)a, b, c的關(guān)系消掉b得到a, c的關(guān)系式.建立 關(guān)于a, b, c的方程（組）或不等式（組），要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.b a-3 .求雙曲線漸近線方程關(guān)鍵在于求b或a的值，也可將雙曲線等號右邊的1”變?yōu)?a b

17、0”，然后因式分解得到.x2 y2【訓(xùn)練2】(1)(成者B質(zhì)檢)設(shè)橢圓C:孑+y2= 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,點(diǎn)E(0, t)(0<t<b).已知動點(diǎn)P在橢圓上，且點(diǎn)P, E, F2不共線，若 PEF2 的周長的最小值為4b,則橢圓C的離心率為( )B.保c.222A小 r. 2 (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線%b2=1(a>0, b>0)的右支與焦點(diǎn)為F 的拋物線x2=2py(p>0)交于A, B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸 近線方程為.解析(1)由橢圓的定義及對稱性，4PEF2的周長的最小值

18、為2a.，2a = 4b, a=2b,則c= ,a2 b2 =y3b,則橢圓C的離心率e='= ja 2(2)設(shè) A(x1，y1), B(x2, y2), x 2聯(lián)立方程：a b '消去 x 得 a2y2 2pb2y+ a2b2 = 0 x2=2py, 2b 由根與系數(shù)的關(guān)系得yi + y2="02p,又AF|+|BF|=4|OF|, yi + 2+y2 + p|= 4丐,即 yi + y2=p, 2b2口 口 b2 1 b 2孑"P，即#2 a=£雙曲線漸近線方程為v=答案(1)A(2)y=熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線 考法1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例

19、31】(全國I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l： y=t(tw或y軸于點(diǎn)M , 交拋物線C: y2=2px(p>0)于點(diǎn)P, M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H.求IO出（"|ON除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由解（1）如圖，由已知得M（0, t）, P；t-, t ,/p又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故N t ,P故直線ON的方程為y=px 將其代入y2 = 2px整理得px22t2x=0,解得 xi = 0, x2 = 22,因此 H 22, 2t . p p所以N為OH的中點(diǎn)，即需=2.直線MH與C除H以外沒有其它公共點(diǎn)，理由如下:直線MH的方程

20、為yt=2tx,即x=（yt）.代入y2=2px得 y24ty+4t2=0, 解得 yi = y2 = 2t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn), 所以除H以外，直線MH與C沒有其它公共點(diǎn).探究提高1.本題第（1）問求解的關(guān)鍵是求點(diǎn)N, H的坐標(biāo).而第（2）問的關(guān)鍵是將 直線MH的方程與曲線C聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進(jìn)行判斷 2.判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)時， 可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)， 也 可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次 項系數(shù)不為0.并且解題時注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技 巧.求曲線C的方程;【訓(xùn)練3】（濰坊三模）已知M為圓O

21、: x2 + y2=1 過點(diǎn)M作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A, B, 長至點(diǎn)P,使得|PA|=2,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.直線l: y=kx+ m與圓O相切，且與曲線C交于D, E兩點(diǎn)，直線11平行于l 且與曲線C相切于點(diǎn)Q（O, Q位于l兩側(cè)），SU=2,求k的值.解 (1)設(shè) P(x, y), A(x0, 0), B(0, y0),則 M(x0, y0)且 x2+y0=1, 由題意知OAMB為矩形，|AB|=|OM|=1, .AP=2BA,即(x x。，y) = 2(x0, -y0),x0 = x, 丫0=三，則卷+1二122故曲線C的方程為得"+=1.9 4設(shè)1i： y=kx+

22、n, 丁 l與圓O相切, 圓心O到l的距離d1= 網(wǎng)一=1,得m2=k2+1,Vk2+1|m n|, li 與 l 距離 d2:2,1Saode ZDE d1 d1|m|2Sqde 1d2 |mn| 3'2|DE| d211一 2又O, Q包于l兩側(cè)，m=gn,x y2聯(lián)立5+4 1，消去y整理得y= kx+ n, (9k2 + 4)x2+ 18knx+ 9n2- 36= 0由 A= 0,得 n2 = 9k2 + 4, 由得卜二明1考法2有關(guān)弦的中點(diǎn)、弦長問題22【例3 2】(全國田卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C: 1 +5=1交于A, B 兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1, m)(m&

23、gt;0).、1(1)證明：k< 5； (2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP + FA+FB=0.證明：|FA|, |FP|, |FB |成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.(1)證明 設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),則好+城=i xl+且=14 3'43兩式相減，并由 g=k得力+k" X1-X243由題設(shè)知xnl,土產(chǎn)=m,于是k=磊.X y2由于點(diǎn)M(1, m)(m>0)在橢圓了+=1內(nèi)， 431m231t+ V<1，解得 0Vm<5,故 k<-. 4 322(2)解 由題意得 F(1, 0).設(shè) P(X3, y3),則(X

24、3 1 , y3) + (X1 1 , y1)+ (X2 1 , y2) = (0, 0).由(1)及題設(shè)得X3= 3 (X1 + X2) = 1, y3= (y1 + y2) = 2m<0. 一 3又點(diǎn)P在C上，所以m=0從而 p 1, 3 , |FP|=3.于是 |FA|=/(X1 1) 2+y(X1-1) 2 + 3 1X2 =2 X1.同理 |FB|=2X2.所以 |FA|+|fB|=4 2(X1 + X2)= 3.故 2|FP| = |FA|+|FB|,即|FA|, |FP|, |FB|成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d,則121d|=|FB|一|FA|= #1X2|=2( X1

25、+ X2)2 4X1X2.3將m= 4代入得k=1.所以l的方程為v= -x+ j代入C的方程，并整理得7x214X+:=0.故 X1 + X2=2, X1X2 = ；1,代入解得 |d|=3|1.2o2o所以該數(shù)列的公差為 "駕或一駕". 2828探究提高1.在涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系與弦長公式AB| = WTR|X2 X1,設(shè)而不求計算弦長；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡化運(yùn)算.2.對于弦的中點(diǎn)問題常用 根與系數(shù)的關(guān)系”或：戈差法”求解，在使用根與系數(shù)的 關(guān)系時，要注意使用條件 Q0,在用：戈差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相

26、 交.【訓(xùn)練4】（天津卷）設(shè)橢圓X2+$=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,已知橢圓的離心率為坐，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b, 0）,且|FB| AB|=6/2. 3（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線l: y= kx（k>0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若fAQ|= 52sin / AOQ（O為原點(diǎn)），求k的值.|PQ| 4一、，八 1，c25解（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有（ = 9， 又由 a2=b2 + c2,可得 2a = 3b.由已知可得，|FB|=a, AB| = 42b, 由 |FB| AB|=6也, 可得 ab=6,從而 a= 3,

27、b=2.22所以，橢圓的方程為:+上1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xi, yi）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X2, y2）.由已知有yi>y2>0,故 |PQ|sin/ AOQ=yiy2.又因為AQ尸/洲AB，而/ 0AB=；， 故AQ尸2y2.t |AQ| 5 工 , 一 由鬲=4 sin/AOQ,可得 5yi = 9y2.23 / 20由方程組y=kx,x2 y2 消去x,可得yi = 二1，6k易知直線AB的方程為x+y 2 = 0,由方程組y=kx,2k消去x,可得y2=/k;.x + y-2 = 0,k+1代入5yi = 9y2,可得5(k+1)=3頒彳，將等式兩邊平方，整理得 56k250k

28、+11 = 0,-1,11解得k=彳或k=228一111所以，k的值為2或18.1 .橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為 Ax2+By2=1,其中A, B是不等的常數(shù), A>B>0時，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；B>A>0時，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓; AB<0時表示雙曲線.2 .對涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦問題，恰當(dāng)選用定義解題，會效果明 顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ).c .3 .求雙曲線、橢圓的離心率的方法：法一：直接求出a, c,計算e=法二：根據(jù)已知條件確定a, b, c的等量關(guān)系，然后把b用a, c代換，求:4 .弦長公式對于直線與橢圓的相交、 直線

29、與雙曲線的相交、直線與拋物線的相交 都是通用的，此公式可以記憶，也可以在解題的過程中，利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo).5.求中點(diǎn)弦的直線方程的常用方法（1）點(diǎn)差法，設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（xi, yi）, （x2, y2）,分別代入圓錐曲線方程,兩式作差，式中含有X1 + X2, yi + y2,匕*三個量，則建立了圓錐曲線的弦的中 xi X2點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率之間的關(guān)系，借助弦的中點(diǎn)坐標(biāo)即可求得斜率；（2）根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，化為一元二次方程，用根與系數(shù) 的關(guān)系求解.一、選擇題221.（合肥調(diào)研）已知雙曲線C：，X2= 1（a>0, b>0）的一條漸近線與直

30、線2x-y+1 =0垂直，則雙曲線C的離心率為（）A. 2B. .2C. 3D. , 52解析依題意，2 -b = - 1, ； b= 2a.則 e2 = 1 + 3=5,. e= J5.答案 D2.（南昌質(zhì)檢）已知拋物線C: x2=4y,過拋物線C上兩點(diǎn)A, B分別作拋物線的 兩條切線PA, PB, P為兩切線的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PA PB = 0,則直線OA 與OB的斜率之積為（）1- c八 1rA. 4B. 3C. 8D. 4解析=0,22xaxb設(shè) A xa, -4 ,B xb, 4 ,/日 ,xa xb得 PALPB.萬萬=1,由 x2= 4y,得 y '=x.所以 kA

31、P = x, kBP=x,由PA PBwxA xBxaxb1則 xA xb= 4,又 k0Ak0B=4xA 而=76 = 4.3.（全國I卷）已知F是雙曲線與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,A.33解析由c2 =B.2C: x2y=1的右焦點(diǎn)， 33）,則AAPF的面積為（C.33P是C上一點(diǎn)，且PF)D.2a2+b2 = 4得c= 2,所以 F(2, 0),將 x=2代入 x2 g=1,得 y=,所以 |PF|=3. 3又A的坐標(biāo)是(1, 3),13故AAPF的面積為2M><21) = 2.答案 D4.已知橢圓C:七=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi a bF2,

32、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A一，一一. 一 .Tt .、. 一為橢圓上一點(diǎn)，/ FiAF2=2,連接AF2父y軸于M點(diǎn)，若3|OM|=|OF2|,則該橢圓的離心率為（）13A.3B.y解析 設(shè)|AF1|=m, |AF2|=n.如圖所示，由題意可得5C.8彳0D7RDF1AF2s RtAMOF2.耨=10M| = 31, 則 n = 3m.又|AF“+AF2|=m+n = 2a, . . m = 2, n 2a.10 o o在 RtzF1AF2 中，m2+n2=4c2,即1a2=4c2,-e2=a2=謂，e=乎.答案 D225.（石家莊調(diào)研）已知Fl, F2分別為雙曲線a2y2=1（a>0, b>

33、;0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn),PF2與x軸垂直，/ PFiF2 = 30°,且虛軸長為 2/2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(22A.4-2=1x2 y2_叼-2二1x2 y2 , c.4-8=12 y2D. x2-2 = 1解析 如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P(x0, y0)在第一象限，則 在 RtzPF1F2 中，/PF1F2=30°, |F1F2| = 2c, 則 |PF2|=2c, |PF1|=，3c,又因為 |PF1| |PF2| = 23c=2a,即 c=q3a.3又 2b= 2v2,知 b二也, 且 c2a2=2,從而得 a2= 1, c2=3.2故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22

34、=1.答案 D 二、填空題6 .(北京卷)已知直線l過點(diǎn)(1, 0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2 = 4ax截得的線 段長為4,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.解析 由題意知，a>0,對于y2=4ax,當(dāng)x= 1時，y=支e，由于l被拋物線 y2=4ax截得的線段長為4,所以4g=4,所以a=1,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0).答案(1, 0)227 .(江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線至一>1(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)3F(c, 0)到一條漸近線的距離為 5c,則其離心率的值是 .解析 不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為 y=：x,所以bcp = b = 13c,

35、所以 b2 = c2 a2=4c2,得 c=2a,所以雙曲線的離心率e= ：=2.a答案28 .設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F, A為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足AF|=2;已 知P為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)|PA|+|PF|取得最小值時， PAF的外接圓半徑 為.解析 由 x2 = 4y,知 p = 2, .焦點(diǎn) F(0, 1),準(zhǔn)線 y= 1.依題意,設(shè) A(xo, yo)(xo>0),由定義，得 |AF|=y0 + p,則 y0= 2-1 = 1,AF，y 軸.易知當(dāng) P(1, 1)時，|PA|十|PF|最小，.肝| = 12+ ( 1 1)2=V5.由正弦定理,2R=PF|_ ,5_

36、5sin A- 2 2， 5因此4PAF的外接圓半徑R=5.5答案4三、解答題9 .(全國II卷)設(shè)拋物線C: y2 = 4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，AB| = 8.求l的方程；求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解 (1)由題意得F(1, 0), l的方程為y= k(x 1)(k>0).設(shè) A(x1，y1), B(x2, y2).y= k (x 1) ,° c cc由 2得 k2x2 (2k2+4)x+ k2 = 0.y2= 4xA= 16k2+16>0,故 x1 + x2=2kJ4.4k2+4所以 |AB|=|AF

37、|+ |BF|=(xi + 1)+(X2+1) = k. 2.4k +4由題設(shè)知一；2=8,解得k= 1(舍去)，k=1. k因此l的方程為y= x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 2),所以AB的垂直平分線方程為y2= (x3),即 y= x+ 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(X0, yo),則y0= X0+5,(X0+ 1)2(y0-x0+1)2-+16.x0= 3 解得y0 = 2x0=11, 或y0= - 6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y- 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.10 .(北京卷)已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(-2, 0), B(2, 0),焦點(diǎn)在x軸上， 離心