馮慈璋馬西奎工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論課后重點(diǎn)習(xí)題解答

1、122、求下列情況下，真空中帶電面之間的電壓。(2)、無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為a和b ( b a),每單位長(zhǎng)度上電荷: 內(nèi)柱為而外柱為。解：同軸圓柱面的橫截面如圖所示，做一長(zhǎng)為l半徑為r (a r b)且與同軸圓柱面共軸的圓柱體。對(duì)此圓柱體的外表面應(yīng)用高斯通量定理，得D dS l s考慮到此問題中的電通量均為 er即半徑方向，所以電通量對(duì)圓柱體前后 兩個(gè)端面的積分為0,并且在圓柱側(cè)面上電通量的大小相等，于是2 l rD l即D er , E er2 r2 0 r由此可得bbbU E d r er ed r lnaa20r2 o a123、高壓同軸線的最佳尺寸設(shè)計(jì)一一高壓同軸圓柱電纜，外導(dǎo)體

2、的內(nèi)半徑為2cm ,內(nèi)外導(dǎo)體問電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為 200kV/cm。內(nèi)導(dǎo)體的半徑為 a,其值可以自由選定但有一最佳值。因?yàn)?a太大，內(nèi)外導(dǎo)體的間隙就變得很 小，以至在給定的電壓下，最大的E會(huì)超過介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)。另一方面，由于E的最大值Em總是在內(nèi)導(dǎo)體的表面上，當(dāng)a很小時(shí)，其表面的E必定很大。試問a為何值時(shí)，該電纜能承受最大電壓并求此最大電壓。(擊穿場(chǎng)強(qiáng)：當(dāng)電場(chǎng)增大達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，使得電介質(zhì)中的束縛電荷能夠脫離它的分子 而自由移動(dòng)，這時(shí)電介質(zhì)就喪失了它的絕緣性能，稱為擊穿。某種材料能安全地承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度就稱為該材料的擊穿強(qiáng)度）。解：同軸電纜的橫截面如圖，設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體每單位長(zhǎng)度所帶電荷的電

3、 量為，則內(nèi)外導(dǎo)體之間及內(nèi)導(dǎo)表面上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為dU d ab即lnbaU max133、兩種介質(zhì)分界面為平面，已知0 ,22 ° ,且分界面一E FVEmax 廠而內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為bbbU Ed r dr Inaa2 r 2 a或UaEmax ln(b)aEmaxln(b) 10a b 1 0, a - 0.736cm e b55aEmax ln0.736 2 1051.47 105 (V)a側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度E1 100V/m ,其方向與分界面的法線成450的角，求分界面另側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度E2的值解：Eit 100sin450 50j2 , 0 100cos450 50V2Din 4

4、 0Ein 200 0 .2根據(jù) &Ez, Din D2n 得E2t 50J2, D2n200 0 v2, E2n n 100722 0于是：E2 ，E2t E22n6(50歷2 (100歷2 50d而(V/m) 1 4 2、兩平行導(dǎo)體平板，相距為d ,板的尺寸遠(yuǎn)大于d , 一板的電位為0,另一板的電位為V。，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即 （x）ox。試求兩極板之間的電位分布（注：x 0處板的電位為0）。解：電位滿足的微分方程為d2d x2其通解為：0-x3 C1x C26 0定解條件為：x0 0;|xd V0由x0 0得 C20由 dV0得0-d3C1dV0,即 C1&

5、quot;-0-d2xd6 0d6 00 3 VV 00 2、于是 x （- d ）x6 0 d 6 01-4-3、寫出下列靜電場(chǎng)的邊值問題: 雙層同心帶電球體（如題143圖（a）;（1）、電荷體密度為1和2 （注:2為常數(shù)），半徑分別為a與b的（2）、在兩同心導(dǎo)體球殼間，左半部分和右半部分分別填充介電常數(shù)為與2的均勻介質(zhì)，內(nèi)球殼帶總電量為 Q,外球殼接地（題143圖b）;（3）、半徑分別為a與b的兩無限長(zhǎng)空心同軸圓柱面導(dǎo)體，內(nèi)圓柱表面上 單位長(zhǎng)度的電量為 ，外圓柱面導(dǎo)體接地（題143圖（c）。由于對(duì)稱并假定同軸圓柱面很長(zhǎng)，因此介質(zhì)中的電位 和 及z無關(guān)，即 只是r的函數(shù)，所以電位參考點(diǎn):1(

6、r r r7) 00;邊界條件：2a Er1 7 3、在無限大接地導(dǎo)體平板兩側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)電荷 qi和q2 ,與導(dǎo)體平 板的距離均為d ,求空間的電位分布。V1一處圖（b）圖（c）解：設(shè)接地平板及qi和q2如圖（a）所示。選一直角坐標(biāo)系，使得 z軸經(jīng)過qi和q2且正z軸方向由q2指向q1，而x , y軸的方向與z軸的方向符合右手螺旋關(guān)系且導(dǎo)體平板的表面在x, y平面內(nèi)。計(jì)算z 0處的電場(chǎng)時(shí)，在（0,0, d ）處放一鏡像電荷q ,如圖（b）所示，用其等效q在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此11)y2 (z d)2 x2 y2 (z d)2計(jì)算z 0處的電場(chǎng)時(shí)，在（0,0,d）處放一鏡像電荷q2如圖（c

7、）所示，用其等效q2在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此q2(14 0 x2 y2 (z d)21222x y (z d)1-7-5、空氣中平行地放置兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，半徑都是 2厘米，軸線間距 離為12厘米。若導(dǎo)線間加1000V電壓，求兩圓柱體表面上相距最近的點(diǎn)和最 遠(yuǎn)的點(diǎn)的電荷面密度。解：由于兩根導(dǎo)線為長(zhǎng)直平行導(dǎo)線，因此當(dāng)研究它們附近中部的電場(chǎng)時(shí)可 將它們看成兩根無限長(zhǎng)且平行的直導(dǎo)線。在此假定下，可采用電軸法求解此題, 電軸的位置及坐標(biāo)如圖所示。12由于對(duì)稱 h 6cm2而 b h六 ln.(h R b)2 2 0, (h R b) R262 22 4.2cm設(shè)負(fù)電軸到點(diǎn)p(x, y)的距離矢量為r2

8、,正電軸到點(diǎn)p(x, y)的距離矢量為r1(p點(diǎn)應(yīng)在以R為半徑的兩個(gè)圓之外)，則p點(diǎn)的電位為(x, y)2 ln( 一)1In (x b)2(x b)22y2y兩根導(dǎo)體之間的電壓為u,因此右邊的圓的電位為(h R,0)由此可得21nh-R bh-R-b100041n(12)2501n(1 . 2)于是(x, y)250/(x b)2y"1n(1.2n.(x b)2 y2E grad250 (x b)(x b)2y2 (x b)(x b)2 y2ex1n(12)(x b)2y2(x b)2 y2y(x b)2y2 y(x b)2 y2。、2222ey(x b) y (x b) y &q

9、uot;由于兩根導(dǎo)線帶的異號(hào)電荷相互吸引，因而在兩根導(dǎo)線內(nèi)側(cè)最靠近處電場(chǎng)最強(qiáng)電荷密度最大，而在兩導(dǎo)線外側(cè)相距最遠(yuǎn)處電荷密度最小。max2222250 (x b)(x b)2 y2 (x b)(x b)2y2 e1n(1,(x b)2y2(x b)2y2x2222y(x b)2y2 y(x b)2y2y0r/ J2211V221ey x h(x b) y (x b) y (ex)in(1250/2)(rv rv) 1.770 10 7C/m2min250(x b)(x b)2y2 (x b)(x b)2y2 e1n(12)(x b)2y2(x b)2 y2xy(x b)2y2y(x b)2 y2

10、(x b)2y2(x b)2y2y 0x h R ex250(ln(1 . 2) h R b1a n)8.867 10 8C/m2 h R bAx218、對(duì)于空氣中下列各種電位函數(shù)分布，分別求電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷體密度:(1)、Axyz、2Ar sin Brz(4)、2 Ar sin cos解：求解該題目時(shí)注意梯度、 散度在不同坐標(biāo)中的表達(dá)式不同o(1)、zk)2(Ax2).i 2Axi x、, ExEy0( xy(ix(qiA( yzi0口(xzjAyz)err星)zAxyz .j yxyk)(Axz) y1 erEx-k) zAxyz-k) zk) z-(2Ax) 2A o x(4)、 Ee r

11、 sin(2 Ar sin(2 Ar sinJ0 2r2(Ar sinBrz)err-(Ar2sin Brz)k) z(2Arsinz(Br)12.(Ar sinBz)e Ar cos0- - r rr (2 Ar sinBrz)ee Brk)Bz)(Ar cos )，1，A .0一(4Ar sin rBz) Asin04Asin Bz) rAsin elr sin2 .er(Ar sinr(Ar2coscos。之rcos2 .(Ar sin cossin)er)ercos )1 2-(Ar rcoscos)er sin2 .(Ar sinsin )e (Ar cos cos )e (Ar s

12、in-(r2Er) rrsin(E sin )e 1r sin(E )3 .、1-(2Ar sin cos )rrsin(Ar coscos sin )r sin(Arsin )0 6AsincosAcossin/ 2(cos. 2.sin )Acossin解：(1)、設(shè)內(nèi)球中的電位函數(shù)為 1,介質(zhì)的介電常數(shù)為 一兩球表面之 間的電位函數(shù)為2,介質(zhì)的介電常數(shù)為2,則1,2所滿足的微分方程分別為2121,21選球坐標(biāo)系，則1 111)2 一. T 一r sin11212 22、(r)r定解條件為:分界面條件:二一(r 一) -(sinr r rr sin1221丁一 (r 一)(sinr r r

13、 r sin212_2)2 .2"一r sin2由于電荷對(duì)稱,所以2均與 、無關(guān)，即2只是r的函數(shù)，所-) r電位參考點(diǎn):0;附加條件:1 r 0為有限值(2)、設(shè)介電常數(shù)為1的介質(zhì)中的電位函數(shù)為1 ,介電常數(shù)為2的介質(zhì)中的電位函數(shù)為2,則1、2所滿足的微分方程分別為選球坐標(biāo)系,12 212(r )r r r2.r sin(sin1)2.2r sin1/ 22、丁 一(r )r r r1, .-(Sinr sin2)2 .r sin由于外球殼為一個(gè)等電位面，內(nèi)球殼也為一個(gè)等電位面，所以無關(guān)，即1和2只是r的函數(shù)，所以Jr* 2)r r r0,-)0 r由分解面條件可知 足的微分方程為

14、,則在兩導(dǎo)體球殼之間電位滿2一)r電位參考點(diǎn):0；邊界條件：2a2(1Er 2Er)rQ,即,介質(zhì)中的電位函數(shù)為，則0,選球柱坐標(biāo)系，則1 (r一) r r r1 222r194、一個(gè)由兩只同心導(dǎo)電球殼構(gòu)成的電容器，內(nèi)球半徑為a,外球殼半徑為b,外球殼很薄，其厚度可略去不計(jì)，兩球殼上所帶電荷分別是Q和 Q,均勻分布在球面上。求這個(gè)同心球形電容器靜電能量。解：以球形電容器的心為心做一個(gè)半徑為 r的球面，并使其介于兩導(dǎo)體球 殼之間。則此球面上任意一點(diǎn)的電位移矢量為題1-9-4圖電場(chǎng)強(qiáng)度為而電場(chǎng)能量密度為1匚 we2E32Q22 4r球形電容器中儲(chǔ)存的靜電場(chǎng)能量為WeV WedVQ32a 02-22

15、sinrQ0 3222_.W sin rdrdrQ3202(cos0cos)(2b 10) r drar2Q28dr r二 (1 1)8ab_ 2Q2 b a8 ab195、板間距離為d電壓為Uo的兩平行板電極浸于介電常數(shù)為£的液態(tài)介質(zhì)中，如圖所示。已知液體介質(zhì)的密度是m,問兩極板間的液體將升高解：兩平行板電極構(gòu)成一平板電容器，取如圖所示的坐標(biāo)，設(shè)平板電 容器在垂直于紙面方向的深度為 w,則此電容器的電容為C（x）T電容中儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為xwdWe-CUo21 /L x)w o2(xw)Uo2液體表面所受的力為U2w(2d此力應(yīng)和電容器中高出電容器之外液面的液體所受的重力平衡，由此可

16、得U 02w2do) mgdwh2(o)U：質(zhì)的電導(dǎo)率為25、內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為 Ri和R2的圓柱形電容器，中間的非理想介若在內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓為Uo,求非理想介質(zhì)中各點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。題2-5圖解：設(shè)圓柱形電容器介質(zhì)中的電位為選擇圓柱坐標(biāo)，使z軸和電容器的軸線重合,則有11(r-)-2r r r r假定電容器在z方向上很長(zhǎng)，并考慮到軸對(duì)稱性，電位函數(shù) 只能是r的函數(shù), 因此 所滿足的微分方程可以簡(jiǎn)化為1 (r r r rr Ci,r兩邊再積分得電位的通解Cir定解條件：Uo,R2C1lnrC20將電位函數(shù)的通解帶入定解條件，得C1 In R1 C2 UoC1 In R2C20由上述兩式解得

17、,R1 'In -R2C2U。Uo .In r ,Ri In -R2 erU0In -R21一 er rU。U_2RIn -R2UoRIn - R2lnR1ln UoRi/ U0 r（InU。）r . R1R1In 1R2zUer ”1 rIn i 6.5 107 西門子/米，21.2鋼片厚度為2毫米，電極間的電壓U 30V ,且電極 1。求:、弧片內(nèi)的電位分布(設(shè)、總電流I和弧片的電阻x軸上電極的電位為0);R;2 7、一導(dǎo)電弧片由兩塊不同電導(dǎo)率的薄片構(gòu)成，如圖所示。若107西門子/米，R2 45厘米，Ri 30厘米,、在分界面上D, E是否突變、分界面上的電荷密度解：（1）、設(shè)電導(dǎo)

18、率為1的媒質(zhì)中的電位為1,電導(dǎo)率為2的媒質(zhì)中的電位為2,選取柱坐標(biāo)研究此問題。由于在柱坐標(biāo)中電極上的電位和r及z無關(guān)，因而兩部分弧片中的電位也只是的函數(shù)，即212 z222 z由上邊兩式可得1、2的通解分別為1 C1C22 C3C4此問題的定解條件是:2012/12d4412(b)根據(jù)上述四式可得C12C2C14 C2C3 4聯(lián)立以上四式解得C4,1C12c3C14U 2(12)，C2U -C12U( 12)C34U 1(12)C4于是4UU( 1(5.9520.65) V(2)、根據(jù)Ei4U i( i32.26 V(因此iEiE4U2e2) r5.95eri dS7.7364U i( iR2

19、Ri2e2)r3.868r6.5i08e5 R2-5i0 ln( 2) 3.i4 i0 ARi305I 3.i4 i09.55 i0 5i07(更5e )(0.002)e d r83.868 i0 er(3)、由于電流密度的法向分量在分界面上連續(xù)，且在此題目中電流密度只有法向分量，因此i4電流密度與電導(dǎo)率的比值，又。分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度等于分界面處的42,因此EiE2_。對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)4中的電流場(chǎng)，媒質(zhì)的介電常數(shù)一律為0,因此DiD2(4)、(DiD20(44U 2 e ( i 2 ) r_)44Ue( i 2)r4U °( i 2 ) r( i 2)2ii、以橡膠作為絕緣的電纜的漏電阻

20、通過下屬辦法測(cè)定：把長(zhǎng)度為l的電纜浸入鹽水溶液中，然后在電纜導(dǎo)體和溶液之間加電壓，從而可測(cè)得電流。 有一段3米長(zhǎng)的電纜，浸入后加200V的電壓，測(cè)得電流為2 i0 9A 0已知絕 緣層的厚度和中心導(dǎo)體的半徑相等，求絕緣層的電阻率。解：設(shè)導(dǎo)體的電位高于鹽水的電位，則絕緣層中的漏電流密度為：Ier2 Ir而絕緣層中的電場(chǎng)強(qiáng)度為：E Ier2 I r設(shè)導(dǎo)體的半徑為R,電纜絕緣層的外半徑為R2,則導(dǎo)體和鹽水之間的電壓為:R2E d rR1R2R1 2R2 1RiIn2將已知數(shù)據(jù)代入上式，得2 10 9220012.727-In 32RiRi半徑為d rrR2Ri12,10/ mI1 ，II rITer

21、 erd r-InR2IR1°In2 3.677 600R2Id rR 2 I r13 10 13 S/ma長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體，被一同樣長(zhǎng)度的同軸圓筒導(dǎo)體所包O求圓筒內(nèi)外的圍，圓筒半徑為b,圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體載有相反方向電流I磁感應(yīng)強(qiáng)度（導(dǎo)體和圓筒內(nèi)外導(dǎo)磁媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為0）。解：求解此問題可將圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體視為無限長(zhǎng)。在垂直于z的平面 上以z軸和此平面的交點(diǎn)為心做一半徑為r的圓I ,設(shè)I的方向和z符合右手螺 旋關(guān)系。圖3-2-1由安培環(huán)路定律得:H dl Iil符合右手螺旋關(guān)系時(shí)為正，否則為式中I為l中包含的電流，其方向與負(fù)?？紤]到在l上H的大小相等,方向?yàn)閘的切線方向，則有2 rH

22、Be2 r因而a時(shí),2-0- - I2 r a2b時(shí),有Ib時(shí)，有I 00r2 a23 3 3、在恒定磁場(chǎng)中，線密度k 2exA/m ,已知H1若兩種不同媒質(zhì)分解面為xoz平面，其上有電流(ex 2ey 3ez) A/m，求 H 2。解：設(shè)y 0的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為b2； y 0的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為2、H2、H1、Bi0由已知條件得:Hiz 3;Hix1;BiyHiy 1由分解面條件得:H2zHiH2XHix0； B2yBly將已知條件代入，得:于是H2z 2 Hiz5；2yH 2 H 2xeH 2 y eyH2B2yH2Hix i；B2yiHi

23、y(ex2iey25ez) A/m3 4 3、已知電流分布為J J0 r ezra處)Jo為常數(shù)，求矢量位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B （注A的參考點(diǎn)選為r ro解：設(shè)r 0的區(qū)域中的矢量磁位為 M r 0的區(qū)域的矢量磁位為A2,則A、A2所滿足的微分方程分別為:2 A0J°rez2A20考慮到電流密度只有z分量，矢量磁位也只能有z分量，上兩可改寫為2Az2 A2z選圓柱坐標(biāo)系，上兩式變?yōu)槿?A1z2Az0 J 01 A2z(r ) rr r12A2z2 A2z由于電流密度不隨z和 變化，所以矢量磁位也不隨 式可簡(jiǎn)化為變化，因此上述兩(D(r3) 0r(2)（1）、（2）兩式的通解分別為A1z

24、C1 In rC2(3)A2C3 ln rC4(4)定解條件:附加條件：當(dāng)0時(shí),A1z應(yīng)為有限值；參考點(diǎn)處矢量磁位為0,即A2z rro，11分解面條件：Az- 4z； 一( Al)一( A2)r ar ar ar a00根據(jù)定解條件，得：Cl 0(5)C3lnro C40(6)般 a3 Cilna C2c3lna C4L(00 J 0 21a C1 -3a1 C3(8)C3 ln r0 C40-a3 C2 C3ln a C4 90J 0 2C3a 一3 a聯(lián)立上述三式解得：C30J0 a3 ;C40J0 a3 ln r0 ;330 J 03r0,C2a 1 3ln -9a于是A r3 a3(

25、1 3ln)ez99a0J 03T ra3(1 3lnr0)ezaA20J 03 0 J 03 a ln r a In r0 ez33oJ o33 . r0 ia In - ezr由柱坐標(biāo)中的旋度公式1AzAArAz1(rA) ArAer(z)e (L ) e-(-)rzzrr r可得：BiAi e ( -A1)r0 Jo 2r e3B2A2e ( A2£)r0 J 0a3r3-6-1、在磁導(dǎo)率 7 °的半無限大導(dǎo)磁媒質(zhì)中距媒質(zhì)分界面 2cm有一 載流為10A的長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，試求媒質(zhì)分界面另一側(cè)（空氣）中距分界面 1cm 處p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：此題如圖1所示，圖中h 2c

26、m, h1 1cm , I 10A （設(shè)其方向和 正z軸的方向一致）求空氣中的磁場(chǎng)的等效模型如圖2所示。圖中的HpI .i2 (h 兒)Bp0Hp 1.16-I07I42 (0.01 0.02)310 4 i (Wb/m2)i 875 i (A/m)37 2、有一截面為正方形的鐵磁鐲環(huán)， 均勻繞有500匝導(dǎo)線，鐲環(huán)內(nèi)外半徑分別為R 6cm和R2 7cm,高h(yuǎn) 1cm,800 0,求線圈的自感系數(shù)。題3T-2圖解：做一個(gè)半徑為r的圓，使此圓所在的平面在正方形鐵磁鐲環(huán)的兩個(gè)端 面之間，且與端面平行，圓心在鐵磁鐲環(huán)的軸線上。設(shè)線圈的匝數(shù)為n,根據(jù)安培環(huán)路定理，得 H d l nIl對(duì)于此題，在上述所

27、做的圓上磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小處處相等，方向沿圓的切線 方向，于是上述積分的結(jié)果為2 rH nl磁通為B dsnS2r2hn I .d z d rRi0 2 rR2Rinl h R2In 一2 R1線圈的磁鏈為R2再由LI ,得, n2 h, R25002 800 0 0.01 7L - In InI 2 R1262 一7500800 4100.017In 一260.0616H37 3、如圖所示，求真空中：（1）、沿Z軸放置的無限長(zhǎng)直線電流和匝 數(shù)為1000的矩形回路之間的互感；（2）、如矩形回路及其它長(zhǎng)度所標(biāo)尺寸的單 位，不是米而是厘米，重新求互感。解：（1）、在x 0, y 0的半平面內(nèi)2 y0不

28、oIH e，而 B 0H -e設(shè)立感磁通m的方向如圖中的 所示，則Ldzdy 02y*n522與線圈交鏈的總互感磁鏈為2500I 0 - 5、m ln(2)而M _m 2500 01n(5)9.163 10 4 (H)(2)、如圖中的尺寸的單位為厘米時(shí)25-5八M -pm -1n(|) 9.163 10 6 (H)3-8- 1、求無限長(zhǎng)同軸電纜單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間區(qū)域內(nèi)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 R,外導(dǎo)體很薄，半徑為R2,內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0,電纜中的電流為I解：設(shè)同軸電纜的橫截面及內(nèi)導(dǎo)體中電流的方向如圖所示， 則內(nèi)外導(dǎo)體之 間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為(取圓柱坐標(biāo)，使z軸和同軸

29、電纜的軸線一致，其方向和I的 方向相同)wm-H2WmoI28 2rI 212而Wmm 0 0.2R212 R2 0 Iwmr dr d dzdr d dzR1m0 0 R182roI2 丁.,212 R2 10I 1 2dr d dz r0 0 R1 r8 20 0ln - d dzRi£lnR24R13 8 2、在題 372的鐲環(huán)線圈中，通以電流1A求磁場(chǎng)能量:E1(1)、用 Wm LI 2 求解；(2)、用 Wm 2解：利用題3 -7-2的一些結(jié)果，有HdV求解。(1)、 Wm、WmnIH e ,2 rn2 h R2 ln -2 R11Un 應(yīng)一 2 2R12_500800 4

30、BdVXn%4 R72100.01 14ln763.08 10 2(J)1 h R22 0 RnIe 一2 r 2nI-e rd dr dz r1 h R22 0 Rin2I 2 d dr dz4 2 rn2I2 8 2R2Ri1d dr dz rR 3.08 10 2(J) Ri41、長(zhǎng)直導(dǎo)線中通過電流i, 一矩形導(dǎo)線框置于其近旁，兩邊與直導(dǎo)線 平行，且與直導(dǎo)線共面，如圖所示。(1)、設(shè)i I m COS( t),求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(設(shè)框的尺寸遠(yuǎn)小于正弦 電流的波長(zhǎng))。(2)、設(shè)i I。，線框環(huán)路以速度v向右平行移動(dòng)，求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(3)、設(shè)i I m cos( t),且線框又向右平行移動(dòng)，

31、再求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)解：取電動(dòng)勢(shì)和磁通的方向如圖所示，選柱坐標(biāo)且使 方向與電流的方向一致。(1)、線圈不動(dòng)，電流隨時(shí)間變化：z軸與線電流重合,b c a i o-e e dr dz0 c 2 ri ob, a cIn 2 c由于e和 符合右手螺旋關(guān)系，所以de - dtd J ob, a c、(ln)dt 2 cob2Im c aln()sin(ct)(2)、電流不變，線圈運(yùn)動(dòng)：取積分路徑的方向和電動(dòng)勢(shì)的方向一致，則e lvB dlb o(vI 0 0e )2 (c vt)c vtezdzcvte ) erdrbo(vI 0 0e2 (c vt a)(ez)dzc vt ac vt (vb(vIo

32、oo 2 (c vt)ezdzb0(vI o o-一；e ) ( ez)dz 2 (c vt a)b vIo o ez o2 (c vt)ezdzVlo0 2 (c vt a)ez ( ez)dzb VIo o . dzo2 (c vt)vI o o,dz 2 (c vt a)vIo ob12 (c vt) c vt a(3)、電流和線圈的位置都隨時(shí)間變化:b c vt a i o, , i ob, a c vte e dr dz In0cM 2 r2 c vtd d J oba c vt、 ob d a c vt、e 一 一 (In) -(i ln)dt dt 2 c vt 2 dt c v

33、tob da c vtI m cos( t)ln2 dtc vtobIm d丁 產(chǎn) t)ln(ac vt) cos( t)ln(c vt)obI m2 sin( t) ln(avt) cos(Vc vtsin( t) ln(c vt) cos( t) c vtobIm a c vt11 ln- sin( t) v( ;)cos( t)2c vtc vt a c vt42、已知一種有損耗媒質(zhì)中的電流密度 Jc 0.02sin(109t) A/m2 ,若媒質(zhì)的 103S/m, r 6.5,求位移電流密度。解：用相量表示電流密度，則Jcm 0.02/00 Cl H電場(chǎng)強(qiáng)度為Em Jm 空擎 2 10

34、 5/00 V/m103電位移相量為Dm Em r °Em10501314026.5 2 10 5/00 10 /0°C/m236-36W_913_ 14 _0_ 6 _02Dm j Dmj10910 /0°j1.149 10 6/0°A/m236所以D 1.149 10 6sin(109t 900)A/m 245、由圓形極板構(gòu)成的平板電容器如圖所示，兩極板之間充滿電導(dǎo)率 為、介電常數(shù)為、磁導(dǎo)率為0的非理想介質(zhì)。把電容接到直流電源上，求 該系統(tǒng)中的電流及電容器極板之間任意一點(diǎn)的坡印亭向量， 并證明其中消耗的 功率等于電源供給的功率。解：忽略邊緣效應(yīng)后有U

35、0E ez),d227( eU °r e2d電容中任意一點(diǎn)的坡印亭矢量為:U0S E H0edU 0r e2dUor2d2 er電流為:U0R2d電源提供的功率為：Ps U0I 匹 R2 d 電容消耗的功率為：pcsS ds . SdsdsS dss3上式中的S,Si ，S2和S3分別是電容器的外表面、介質(zhì)與上極板的分界面、介質(zhì)與下極板的分界面和電容器的外側(cè)面。 由于在介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面處，導(dǎo) 體一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0,所以Pcs3sdsU：2- R( er ) erdss3 2dS3-2 Rds 2dA247、已知空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度為_9E 0.1sin(10 x)cos(6109tz)

36、e求相應(yīng)的解：v10 710 936108 m/s1Hm j 一109Emv 3 1080.1sin(10Em20x)e jXExmrad/meyezex j JeyezyE ymzE zmE ymjE ymE ym _exezz xjex一(0.1sin(10 x)e j z) zez (0.1sin(10 x)e j z) x1jex0.1sin(10 x)( j )e j zez0.1 10 cos(10 x)e j zj z j900 , cos(10 x)e 0.1i zexsin(10 x) e jez100.1. 一 、一 j z 一 一 、97 exsin(10 x) 20 e

37、ez10 cos(10 x)e61041012 exsin(10 x) 2 e j z ezcos(10 x)e j z j90 241021j z j900 ex2-sin(10 x) e12101ez2 cos(10 x)e2410j z j900H ex-112101一一一 9一2sin(10 x)cos(610 t 20 z)_ 9_0 一ez24102 cos(10 x)cos(610 t 20 z 90 ) A/m623、已知自由空間中電磁場(chǎng)的電場(chǎng)分量表達(dá)式為E 37.7cos(6108t 2 z)eyV/m這是一種什么性質(zhì)的場(chǎng)試求出其頻率、 波長(zhǎng)、速度、相位常數(shù)、傳播方向及H的表

38、達(dá)式。解：此場(chǎng)為一種沿負(fù)z軸方向傳播的均勻平面波f 3 108Hz , v3 108 m/s,了 1m 3 108_ 6 108v 3 1082 rad/mZ00120037.7120cos(6108t 2 z)ex0.1cos(6108t 2z)exA/m6 2 4、某電臺(tái)發(fā)射600kHz的電磁波，在離電臺(tái)足夠遠(yuǎn)處可以認(rèn)為是平 面波。設(shè)在某一點(diǎn)a,某瞬間的電場(chǎng)強(qiáng)度為10 10 3V/m ,求該點(diǎn)瞬間的磁場(chǎng) 強(qiáng)度。若沿電磁波的傳播方向前行100m,到達(dá)另一點(diǎn)b,問該點(diǎn)要遲多少時(shí) 間才具有此10 10 3V/m的電場(chǎng)。解：空氣可以視為理想介質(zhì)，設(shè)電磁波沿 x方向傳播，因此E Emcos(2 6

39、105tx)設(shè)電磁波傳播到a點(diǎn)的時(shí)間為t1 , a點(diǎn)的x坐標(biāo)為Xi ,則_ 5_ 2Emcos(2 6 10 tl x1) 10Em10一 一5、cos(2 6 10 tlx1)于是E zcos(2 6 105 tcos(2 6 105tlx1)根據(jù)理想介質(zhì)中磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，有2H 7cos(2 6 105 tZo 120 cos(2 6 105t1Xi)x)x)當(dāng)t t1 , xXi時(shí)，有H -cos(2 6 105tlx1)Zo 120 cos(2 6 105t1Xi)10 22.65 10 5A/m121設(shè)電磁波傳播到b點(diǎn)的時(shí)間為t2, b點(diǎn)的x坐標(biāo)為X2。依據(jù)題意可得cos(

40、2 65210 t2X2) 1010 2，一一 一5、cos(26 10 t1x1)將 X2X1cos(2 6 105t 2100帶入上式，得cos（2根據(jù)上式，可得_ 56 10 t2(t2 3)10026 105X2)(Xicos(2100)6 105tlcos(2_ 56 105«一 1003 10826 1056-3-1、均勻平面波在海水中垂直向下傳播,已知Xi )_ 510 t1 X1)10 6 sf 0.5MHz ,海水的r 80 , r 1 , 4S/m，在 X 0 處H 20.5 10 7 cos( t 350 )ey求：（1）、海水中的波長(zhǎng)及相位速度；（2）、x 1

41、m處, 由表面到1m深處，每立方米海水中損耗的平均功率。E和H的表達(dá)式；（3）、解：由于1800 ,所以此時(shí)的海水為良導(dǎo)體。(1)、20.5 106 80 362_22 】67J 5m ；,20.5 106 410 7 422 25 1055 3，7 10 m/s410 7 42v(2)、25 105 410 7 42.81 1/m20.5 10 7e 2.81xcos( t 350 2.81x) eyZo/450_5_ 725 10410 /4500.993/45020.5 10 7 0.993e 2.81x cos( t3502.8僅450)( ez)2.81x 450)( ez)20.3

42、6 10 7e 2.81xcos( t 350在x 1處E 1.226 10 7 cos( t 1510) ( ez)H 1.234 10 7 cos( t 1960) ey(3)、S E H 20.36 10 7e 2.81x cos( t 150 2.81x) ( ez)20.5 10 7e 2.81x cos( t 350 2.81x) ey4.17 10 12e 5.62xcos( t 1502.81x) cos( t 350 2.81x)ex2.085 10 12e 5.62xcos(450) cos(2 t 250 5.62x) ex1 TSav- o 2.085 1012e cos(450) cos(2 t 250 5.62x) exdt2.085 10 12e 5.62xcos(450)exP 2.085 1012 cos(450 )ex ( ex)dss1s22.085 10 12e 5.62cos(450)ex (ex)dssi2.085 10 12 cos(450)ds s22.085 10 12e 5.62 cos(450)ds2.085 10 12 0.707 ds e 5.62