容斥原理_教師版

1、7-7容斥原理教學目標1 . 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容;2 .掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應用.目tMI正 知識精講知識點說明一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關集合元素個數(shù)的計算.求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地 把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個 數(shù)，用式子可表示成：AUB A B AI B（其中符號“ U”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“ I ”讀作“交”，相當于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大

2、圓與小圓的公共部分，記為：AI B,即陰影面積.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AI B,即陰影面積.先包含一一A B重疊部分AI B計算了 2次，多加了 1次； 包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B的并集AUB的元素的個數(shù)，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合 A B的元素個數(shù)，然后加起來，即先求A B （意思是把A B的一切元素都“包含”進來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去 C AI B（意思是“排除” 了重復計算的元素個數(shù)）.二、三量重疊問題A類、B類與C類元素個數(shù)的總和A類元素的個數(shù) B類元素個數(shù) C類元

3、素個數(shù) 既是A類又是B類的元素個數(shù) 既是B類又是C類的元素個數(shù) 既是A類又是C類的元素個數(shù) 同時是A類、B類、C類的元素個數(shù).用符號表示為：AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C.圖示如下:A的元素的個數(shù)，中圓表示 B的元素的個數(shù)，ABCAI B、B I C、CI A重疊了 2次，多加了 1次.A B C AI B BI C AI C在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.目tM昨 例題精講板塊一、兩量重疊問題【例1】 兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上，覆蓋面積有多少 平方厘米？圖3【解析】兩個長方形

4、如圖擺放時出現(xiàn)了重疊 （見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為 2厘米的正方形，如果利用兩個4 2的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，被覆蓋面積長方形面積之和-重疊部分.于是，被覆蓋面積4 2 2 2 2 12 （平方厘米）.【鞏固】 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多長？【解析】因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長38 53 4 87（厘米）.【鞏固】 把長23厘米和37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部

5、分長3厘米，焊接后這根鐵條有多長？23 37 3 57（厘米）.【解析】焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長:【例2】【解析】實驗小學四年級二班， 參加語文興趣小組的有 28人，參加數(shù)學興趣小組 的有29人，有12人兩個小組都參加. 這個班有多少人參加了語文或數(shù)學 興趣小組？如圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學興趣小組的人，A與B重合的部分C （陰影部分）表示同時參加兩個小組的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興趣小組的人,中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學興趣小組未參加語文興趣小組的人，有有28 12 16（人）；圖29

6、12 17（人）.方法一：由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有：16 12 17 45（人）.參加語文或數(shù)學興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學興趣小組的人兩個小組都參加的人，即： 2829 12 45（人）.【鞏固】【解析】芳草地小學四年級有 58人學鋼琴, 畫畫的分別有多少人？43人學畫畫，37人既學鋼琴又學畫畫，問只學鋼琴和只學解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題,畫圖時注意把不同的對象與不同的區(qū)域?qū)宄?建議教師幫助學生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義.如圖，A圓表示學畫畫的人，B圓表示學鋼琴的人， C表示既學鋼琴又學畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示

7、只學畫畫的人，有:43 37 6（人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學鋼琴的人，有：58 37 21（人）.【例3】【解析】一個班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學作業(yè)；一種是完成數(shù)學作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學作業(yè)都完成了.已知做完語文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學作業(yè)的有42人.這些人中語文、數(shù)學作業(yè)都完成的有多少人？不妨用下圖來表示：克成效學作業(yè)的人致線段AB表示全班人數(shù)，線段 AC表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，線段DB表示做完數(shù)學作業(yè)的人數(shù),重疊部分DC則表示語文、數(shù)學都做完的人數(shù).根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有 37人，即AC 37 .做完數(shù)學作業(yè)的有 42人，即DB

8、 42.方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得:AC DB 37 42 79（人）L L L L AB 48（人）L L L L 式減式，就有 DC 79 48 31（人）所以，數(shù)學、語文作業(yè)都做完的有31人.【鞏固】 四年級科技活動組共有 63人.在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學有42人，裝配好一架飛機模型的同學有34人.每個同學都至少完成了一項活動.問：同時完成這兩項活動的同學有多少人？【解析】因42 34 76, 76 63,所以必有人同時完成了這兩項活動.由于每個同學都至少完成了一項活動，根據(jù)包含排除法知，42 34 （完成了兩

9、項活動的人數(shù)）全組人數(shù)，即76 （完成了兩項活動的人數(shù)）63.由減法運算法則知，完成兩項活動的人數(shù)為76 63 13（人）.也可畫圖分析.【鞏固】 實驗二校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，兩種都能表演的有7人.這個表演隊共有多少人能登臺表演歌舞？【解析】根據(jù)包含排除法，這個表演隊能登臺表演歌舞的人數(shù)為：10 18 7 21（人）.【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有 28人，有18人兩項比賽都參加了，這個班參加棋類比賽的共有多少人？【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時參加

10、兩項比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有32 18 14（人）；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有28 18 10（人）.由此得到參加棋類比賽的人有14 18 10 42（人）.或者根據(jù)包含排除法直接得：32 28 18 42（人）.【例4】（第二屆小學迎春杯數(shù)學競賽 ）有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語.問既懂英語又懂俄語的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英語或俄語的有： 100 10 90（人）.又因為有75人懂英語，所以只懂俄83 15語的有：90 75 15（人）.從83

11、位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的68（人）就是既懂英語又懂俄語的旅客.方法二：學會把公式進行適當?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得:AUB A B AI B 75 83 90 68（人）.名學生參47加數(shù)學和語文考試，其中語文得分95分以上的14人，數(shù)學得分95分以上的21人,兩門都不在95分以上的有22人.問：兩門都在 95分以上的有多少人?如圖，用長方形表示這47名學生，A圓表示語文得分95分以上的人數(shù)，B圓表示數(shù)學得95分以上的人數(shù)， A與B重合的部分表示兩門都在95分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在95分以上的人數(shù).由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在95分以上的人數(shù)與

12、兩門都不在95分以上的人數(shù)之和，則至少一門在95分以上的人數(shù)為：47 22 25（人）.根據(jù)包含排除法，兩門都在95分以上的人數(shù)為：1421 25 10（人）【鞏固】 某班共有46人，參加美術小組的有12人，參加音樂小組的有 23人，有5人兩個小組都參加了. 這 個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人？【解析】已知全班總人數(shù)，從反面思考，找出參加美術或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總人數(shù)減去這個人 數(shù)，就得到既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一 個小組的總人數(shù)為12 23 5 30 （人）.所以，該班未參加美術或音樂小組的人數(shù)是 46 30 16（人）

13、.【鞏固】四年級一班有45人，其中26人參加了數(shù)學競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項比賽都參加了. 一班有多少人兩項比賽都沒有參加？【解析】由包含排除法可知，至少參加一項比賽的人數(shù)是：26 22 12 36（人），所以，兩項比賽都沒有參加的人數(shù)為:45 36 9（人）.【鞏固】 某次英語考試由兩部分組成， 結果全班有12人得滿分，第一部分有25人做對，第二部分有19人 有錯，問兩部分都有錯的有多少人？【解析】如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對的人數(shù). B圓表示第二部分對的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩部分都有錯的人數(shù).已知第一部分對的有 25人，全又的有12人，可知只對第一

14、部分的有：25 12 13（人）.又因為第二部分有19人有錯，其中第一部分對第二部分有錯的有13人，那么余下的19 13 6（人）必是第一部分和第二部分均有錯的，兩部分都有錯的有6人.【鞏固】 對全班同學調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有20人，會打籃球的有25人.兩項都會的有10人，兩項都不會的有9人.這個班一共有多少人？【解析】如圖，用長方形表示全班人數(shù)，A圓表示會游泳的人數(shù)，B圓表示會打籃球的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩項都不會的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù) 至少會一項的人數(shù)兩項都不會的人數(shù)，至少會一項的人數(shù)為：20 25 10 35（人），全班人數(shù)為：35 9 44 （人）.【例5】 在46人參加

15、的采摘活動中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有 7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？采桃采的既櫻又杏【解析】如圖，用長方形表示全體采摘人員46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，B圓表示采了杏的人數(shù). 長方形中陰影部分表示既沒采櫻既沒采櫻桃 又沒采杏的桃又沒采杏的人數(shù).由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 6 40（人），而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40 18 7 15（人）.【例6】甲、乙、丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組

16、擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃.那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？【解析】68塊玻璃不是甲組才§的，說明這 68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52塊玻璃是甲、丙兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的 68塊玻壬B圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃.因甲乙兩組共擦了 60塊玻璃，那么68 52 60 60（塊），這是兩個丙組擦的玻璃數(shù).60 2 30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃.乙組擦了：68 30 38（塊）玻璃，甲組擦了： 52 30 22（塊）玻璃.【鞏固】 育才小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有

17、 15幅畫不是五年級的，五、六年級共展出25幅畫，其他年級的畫共有多少幅？【解析】 通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是16,通過15幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是15,那也就是說五年級的畫比六年級多1幅，我們還知道五、六年級共展出25幅畫，進而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，那么久可以求出其他年級的畫作共有3幅.【例71一次數(shù)學測驗，甲答錯題目總數(shù)的1,乙答錯3道題，兩人都答錯的題目是題目總數(shù)的求甲、46乙都答對的題目數(shù).n 、 a c二4【解析】(法一)設共有n道題。由右圖知d即為所求，并有關系式c b 3(2)nc

18、6由知，n是4和6的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)。將代入，有 b 36由于b是非負整數(shù)，所以 n=12 ,由此求出 c=2 , b=1 , a=1.又由a+b+c+d=n ,得到d=n-(a+b+c)=8(法二)顯然兩人都答錯的題目不多于3道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答錯題目總數(shù)是整數(shù).【例8】 在1100的全部自然數(shù)中，不是 3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？【解析】如圖，用長方形表示1100的全部自然數(shù)， A圓表示1100中3的倍數(shù)，B圓表示1100中5的倍數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100 3 33L 1可知，1100中3的倍

19、數(shù)有33個；由100 5 20可知，1100中5的倍數(shù)有20個；由100 (3 5) 6L 10可知，1100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6個.由包含排除法，3或5的倍數(shù)有：33 20 6 47(個).從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有 100 47 53（個）.【鞏固】 在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個？【解析】11000之間，5的倍數(shù)有 1000 =200個，7的倍數(shù)有 1000 =142個，因為既是5的倍數(shù),又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是 35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有1000 =28個.35所以既不能被5除盡，又不能被 7除盡的數(shù)有+-28=686 個.【

20、鞏固】 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)。【解析】 記 A: 1100中3的倍數(shù)，100 3 33L L 1 ,有33個；B： 1100中7的倍數(shù)，100 7 14L L 2 ,有14個；A B： 1100中3和7的公倍數(shù)，即21的倍數(shù)，100 21 4L L 16, 有4個。依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有33 14 4 43個，則能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)為43個.【鞏固】50名同學面向老師站成一行.老師先讓大家從左至右按1, 2, 3,，49, 50依次報數(shù)；再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn).問：現(xiàn)在面向老師的同學還有多少名？【解

21、析】在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學分成兩類：第一類是標號既不是 4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標號既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù).150之間,4的倍數(shù)有50 =12,6的倍數(shù)有° =8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有 50 =4 .于是，第一類同學有 50-12-8+4=34 人，第二 12類同學有4人，所以現(xiàn)在共有34+4=38名同學面向老師.【鞏固】 在游藝會上，有100名同學抽到了標簽分別為1至100的獎券.按獎券標簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：(1)標簽號為2的倍數(shù)，獎2支鉛筆；(2)標簽號為3的倍數(shù)，獎3支鉛筆；(3)標簽號既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復領獎；

22、(4)其他標簽號均獎 1支鉛筆.那么游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有多少支？【解析】1100 , 2的倍數(shù)有 =50 , 3的倍數(shù)有 100 =33個，因為既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標簽為這樣的數(shù)有 100 =16個.于是，既不是2的倍數(shù)，又不是36的倍數(shù)的數(shù)在 1100中有100-50-33+16=33.所以，游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有:50 X2+33 X3+33 X1=232 支.板塊二、三量重疊問題34人，手中有黃旗的【例9】 某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有共有26人，手中有藍旗的共有18人.其中手中有紅、黃、藍三種小

23、旗的有6人.而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍兩種小旗的有 4人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人,那么這個班共有多少人？【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，B圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍旗的.如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復計算了一次，應減去，手中有三種顏色小旗的重復計算了二次，也應減去，那么，全班人數(shù)為：（34 26 188 （9 4 3）6 2 50（人）.【鞏固】 某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球， 4人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人

24、三種球都不愛好.問：既 愛打籃球又愛打排球的有幾人？【解析】由于全班42人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人.根據(jù)包含排除法，42 （26 17 19） （9 4既愛打籃球又愛打排球的人數(shù) ）0,得到既愛打籃球又愛打排球 的人數(shù)為：49 42 7（人）.【例10】四年級一班有46名學生參加3項課外活動.其中有 24人參加了數(shù)學小組，20人參加了語文小 組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學小組也參加文藝小組人數(shù)的3. 5倍，又是3項活動都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當于3項都參加的人數(shù)的 2倍，既參加數(shù)學小組又參加語文小組的有10人.求參加文藝小組的

25、人數(shù).【解析】 設參加數(shù)學小組的學生組成集合A,參加語文小組的學生組成集合B,參加文藝小組的學生組成集合 G .三者都參加的學生有z人.有|AU BUC| =46 , |A =24 , | B =20 ,用=, |AI C|=7 |AI BI C|, |BI C|=2 |AI BI C| , |AI B=10 .因為|AUBUC |A |B| |C AI B |AI C BIC AI BI C ,所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得 x=3 ,即三者的都參加的有 3人.那么參加文藝小組的有 3 7=21人.【鞏固】 五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項.其中有2

26、5人一參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組， 參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美日泉術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語C文、美術、自然3科興趣小組都參加的有 4人.求這個班的學生人數(shù).j，遢文【解析】設參加自然興趣小組的人組成集合A,參加美術興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C.|A=25 , |B =35 , C=27 , |BIC|=12 , |AI B|=8, |AIC|=9 ,|AI BI C =4.|aubuc|= a b c AIb| ai c| |biC AIBI C .所以，這

27、個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而這個班每人至少參加一項.即這個班有62人.【鞏固】 五年級三班有46名學生參加三項課外活動，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的倍，又是三項活動都參加人數(shù)的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當于三項都參加人數(shù)的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數(shù)。【解析】 設三項都參加的人數(shù)有 X人，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X人，于是有46= （24+2

28、0+7X-2X-2X-10+X ）,解得X=3,所以參加朗誦小組的人數(shù)為21人。【例11】三個面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個紙片共同重疊的面積是10平方厘米.三個紙片蓋住桌面的總面積是100厘米.問：圖中陰 （A 盡 B影部分面積之和是多少？.；10-.【解析】 將圖中的三個圓標上 A、B、C .根據(jù)包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總弋面積 （A圓面積 B圓面積 C圓面積）（八與8重合部分面積 A與C重合部分面積 B與C重合部分面積）三個紙片共同重疊的面積，得：100 （50 50 50）（人與8重合部分面積 A與C重合部分面積B與C重合部分面積）10 ,得到A、B、C三個

29、圓兩兩重合面積之和為：160 100 60平方厘米，而這個面積對應于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即： 60 10 3陰影部分面積，則陰影部分面積為：60 30 30（平方厘米）.【鞏固】如圖，已知甲、乙、丙 3個圓的面積均為 30,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部 分的面積分別為 6, 8, 5,而3個圓覆蓋的總面積為 73.求陰影部分的面積.【解析】設甲圓組成集合 A,乙圓組成集合 B,丙圓組成集合 C.畫/A| |b| |c|=30 , |AI B|=6, |BI C|=8, I AI C|=5 , |AUBUC|=73 ,1而|aubuc|=|A |b| |c|

30、|ai b| |bi c| |ai c| |ai bi c|.有73=30 X3-6-8-5+ |AI BI C| ,即|AI BI C=2,即甲、乙、丙三者的公共面積（部分面積） 為2.那么只是甲與乙（），乙與丙（），甲與丙（）的公共的面積依次為 6-2=4 , 8-2=6 , 5-2=3 , 所以有陰影部分（、部分之和）的面積為73-4-6-3-2=58./【例12如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等， 都等于60平方厘米.陰 .X 影部分的面積總和是 40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？U次.所以三張紙重疊部分的面積(60

31、3 100 40) 2 20 (平方厘米).【解析】陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三'【鞏固】如圖所示，A、 B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露8、7 , A、B、C這三張在外面的總面積為 38 .若A與B、B與C的公共部分的面積分別為紙片的公共部分為 3 .求A與C公共部分的面積是多少？【解析】設A與C公共部分的面積為x,由包含與排除原理可得： 先“包含"：把圖形A、B、C的面積相加：12 28 16 56,那么每兩個圖形的公共部分的面積都重復計算了1次，因此要排除掉. 再“排除” ：56 8 7

32、x,這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回.再“包含” ：56 8 7 x 3,這就是三張紙片覆蓋的面積.根據(jù)上面的分析得：56 8 7 x 3 38,解得：x 6 .【例13】 在某個風和日麗的日子，10個同學相約去野餐， 每個人都帶了吃的， 其中6個人帶了漢堡，6個 人帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有 3個人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕.2個人既帶了漢堡又帶了芝士蛋糕.問： 三種都帶了的有幾人？只帶了一種的有幾個？三種都帶了的人數(shù),【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人，B圓表示帶雞腿的人， C圓表示帶芝士蛋糕的人.根據(jù)包含排除法，總人數(shù)（帶漢堡的人數(shù)

33、帶雞腿的人數(shù) 帶芝士蛋糕的人數(shù)）（帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝土蛋糕的人數(shù)帶雞 腿、芝士蛋糕的人數(shù)）三種都帶了的人數(shù)，即10 （6 6 4）（3 2 1得三種都帶了白勺人數(shù)為:10 10 0（人）.10 (3 2 1 4(A).只帶了 求只帶一種的人數(shù)，只需從 10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即種的有4人.【鞏固】盛夏的一天，有10個同學去冷飲店，向服務員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計表：要可樂、雪碧、橙汁的各有5人；可樂、雪碧都要的有 3人；可樂、橙汁都要的有 2人；雪碧、橙汁都要的有 2人;三樣都要的只有1人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要.【解析】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)（要

34、可樂的人數(shù) 要雪碧的人數(shù)要橙汁的人(5 5 5)(3 2 2 1 9 (A). 10 9 1(人)，所以其中有1人這數(shù)）（要可樂、雪碧的人數(shù)要可樂、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù)）三種都要的人數(shù)，即至少要了一種飲料的人數(shù)為： 三種飲料都沒有要.【例14】（2008年西城實驗考題）新年聯(lián)歡會上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參

35、加跳舞的有 人.【鞏固】設只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數(shù)為 3x,由50人沒有參加演奏、10人同時參加了 跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50 10 40人，即x 3x 40,得x 10,所以只參加合唱的有 10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時參加三項的有 3人，所以參加了合唱的人中“同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有： 40 10 10 3 17人.【鞏固】 五一班有28位同學，每人至少參加數(shù)學、語文、自然課外小組中的一個。其中僅參加數(shù)學與語文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學小組的人數(shù)，沒有

36、同學僅參加語文或僅參加自然小組，恰有6個同學參加數(shù)學與自然小組但不參加語文小組，僅參加語文與自然小組的人數(shù)是3個小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個小組全參加的人數(shù)是一個不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學和語文小組的人有多少人？【解析】 參加3個小組的人數(shù)是一個不為 0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于 4,那么僅參加語文與自然小組的人數(shù)則大于等于 20 ,而僅參加數(shù)學與自然小組的人有6個，這樣至少應有 30人，與題意矛盾，所以參加 3個小組的人數(shù)為 2。僅參加語文與自然小組的人數(shù)為10,于是僅參加語文與自然、僅參加數(shù)學與自然和參加3個小組的人數(shù)一共是 18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學與語文以及僅參加數(shù)學的

37、。由于這兩個人數(shù)相等， 所以僅參加數(shù)學和語文小組的 有5人。【鞏固】 某學校派出若干名學生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項目，已知參加長跑、跳高、標 槍三個項目的人數(shù)分別為 10、15、20人，長跑、跳高、標槍每一項的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項目，求這所學校一共派出多少人參加比賽？由條件可知，參加長跑的人中有 2人參加其它項目，參加跳高的人中有3人參加其它項目，參加標槍的人中有4人還參加別的項目，假設只參加長跑和跳高的人數(shù)為x,只參加長跑和標槍的人數(shù)為 y,只參加標槍和跳高的有 z人,三項都參加的有 n人.那么有以下方程組:由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項

38、目，參加跳高的人中有3人參加其它項目，參加標槍的人中有4人還參加別的項目，假設只參加長跑和跳高的人數(shù)為x,只參加長跑和標槍的人數(shù)為 y,只參加標槍和跳高的有 z人，三項都參加的有 n人那么有以下方程組：xyn2xzn 3zyn4將 3 條等式相加則有2 （ x+y+z ） +3n=9 ，由這個等式可以得到，n 必須是奇數(shù)，所以，n 只能是1或3、5、7,如果n >3時x、y、z中會出現(xiàn)負數(shù).所以n=1 ,這樣可以求得 x=0 , y=1 ,z=2.由此可得到這個學校一共派出了10+15+20-0-1-2-2X1=40人.將 3 條等式相加則有2 （ x+y+z ） +3n=9 ，由這個等

39、式可以得到，n 必須是奇數(shù)，所以，n 只能是1或3、5、7,如果n >3時x、y、z中會出現(xiàn)負數(shù).所以n=1 ,這樣可以求得 x=0 , y=1 ,z=2.由此可得到這個學校一共派出了10+15+20-0-1-2-2X1=40人.15】 全班有25個學生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運動項目沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數(shù)學成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6 個人數(shù)學不及格，那么，16】 數(shù)學成績優(yōu)秀的有幾個學生？17】 有幾個人既會游泳，又會滑冰？ 有 6個數(shù)學不及格，那么及格的有：25 6 19 （人 ），即最多不會超過19人會這三項運動之一而又

40、因為沒人全會這三項運動，那么，最少也會有：（ 17 13 8）2 19 （人 ）至少會這三項運動之一于是，至少會三項運動之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以沒有數(shù)學成績優(yōu)秀的 上面分析可知，及格的19 人中，每人都會兩項運動：會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車所以， 全班有 19 17 2（人 ）既會游泳又會滑冰五年級一班共有36人，每人參加一個興趣小組，共有A、 B 、 C 、 D 、 E 五個小組，若參加A組的有1

41、5人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C組、D組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只有 4 人那么，參加B 組的有 人【解析】 參加B, C, D三組的總人數(shù)是36 15 4 17（人），C, D每組至少5人，當C, D每組6人時， B 組為 5 人，不符合題意，所以參加B 組的有 17 5 5 7 （ 人 ） 18】 以 105為分母的最簡真分數(shù)共有多少個？它們的和為多少？【解析】 以105為分母的最簡真分數(shù)的分子與105互質(zhì)，105=3 X5X7,所以也是求1到105不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少個，3的倍數(shù)有35個，5的倍數(shù)有21個，7的倍數(shù)有15個，15的倍數(shù)有7 個，21的倍數(shù)有5個，3

42、5的倍數(shù)有3個，105的倍數(shù)有1個，所以105以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù) 有+7+5+3-1=48 個，顯然如果 n與105互質(zhì)，那么（105-n ）與n互質(zhì)，所以以105為分母 的48個最簡真分數(shù)可兩個兩個湊成 1 ,所以它們的和為 24.【鞏固】 分母是385的最簡真分數(shù)有多少個？并求這些真分數(shù)的和【解析】3 85=5 X7X11 ,不超過385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有77個；被7整除的數(shù)有55個；被11 整除的數(shù)有35個；被77整除的數(shù)有5個；被35整除的數(shù)有11個；被55整除的數(shù)有7個； 被385整除的數(shù)有1個；最簡真分數(shù)白分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240. 對于

43、某個分數(shù)a/385如果是最簡真分數(shù)的話，那么（385-a ） /385也是最簡真分數(shù)，所以最簡真分數(shù)可 以每兩個湊成整數(shù) 1 ,所以這些真分數(shù)的和為120.【例19】（2008年西城實驗考題）在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是 3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的 數(shù)共有 個.【解析】1到2008這2008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有 馴8133個，3和7的倍數(shù)有 至895個,15215和7的倍數(shù)有00857個，3、5和7的倍數(shù)有008 19個.所以，恰好是3、5、7中35105兩個數(shù)的倍數(shù)的共有 133 19 95 19 57 19 228個.【鞏固】 有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控

44、制著，現(xiàn)按其順序編號為1,2, 3,，2000,然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？【解析】 三次拉完后，亮著的燈包括不是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是 6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù)。12000這2000個正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個，3的倍數(shù)有666個，5的倍數(shù)有400個，6的倍數(shù)有333個，10的倍數(shù)有200個，15的 倍數(shù)有133個，30的倍數(shù)有 66個，亮著的燈一共有 2000-+2 X （333+200+133 ）-4 X66=1002 盞。在從1到1998的自然數(shù)中，能被2整除，

45、但不能被3或7整除的數(shù)有多少 個？a 7一表不取商的整數(shù)部分. 例如，-3.要注意的是，符號 與、b2、 符號一樣，也是一種運算，叫取整運算.本題中，先求出能被 2整除的數(shù)有多少個，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數(shù)的個數(shù)，那么用能被2整除的數(shù)的個數(shù)減去能被 2和3整除的數(shù)的個數(shù)，再減去能被2和7整除的因為它多減了能同時被2、數(shù)的個數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細想想你會發(fā)現(xiàn)不是的,3、7整除的數(shù).故能被2整除的有：1998 2 999（個）.能被2和3同時整除的有：1998 （2 3） 333（個）.能被2和7同時整除的有：1998 （2 7 142 .能被2、3、7同時整除的

46、有：1998 （2 3 7 47（個）.所以，能被2整除，但不能被 3或7整除的數(shù)有999 333 142 47 571（個）.且M匹 課后練習練習1.【解析】一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是個邊長4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積.兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊 （見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為4厘米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋 桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了. 所以，組合圖形的面積長方形面積之和 重疊部分.于是，組合圖形的面積12 8 10 6

47、 4 4 140（平方厘米）.練習2.科技活動小組有 55人.在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機模型的同學有40人，制作好一艘艦艇的同學有32人.每個同學都至少完成了一項制作.問兩項制作都完成的同學有f多少人？'： A 1cB【解析】因為40 32 72, 72 55,所以必有人兩項制作都完成了.由于每個同一）學都至少完成了一項制作，根據(jù)包含排除法可知：全組人數(shù)40 32完成了兩項制作的人數(shù),即55 72完成了兩項制作的人數(shù).所以，完成了兩項制作的人數(shù)為：72 55 17（人）.練習3.在前100個自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個?【解析】如圖所示，A圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被 2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是前100個