探究活動(dòng)行程問(wèn)題探究

1、行程問(wèn)題的探究上海民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校斯宜軍一、教學(xué)目標(biāo)：1、能利用公倍數(shù)及最小公倍數(shù)解決行程問(wèn)題中一類(lèi)同時(shí)成立的問(wèn)題2、經(jīng)歷探究行程問(wèn)題中同時(shí)成立的過(guò)程，體驗(yàn)分類(lèi)討論的思想3、通過(guò)一題多解的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性二、教學(xué)重點(diǎn)：能通過(guò)讀題、審題、探究體會(huì)“同時(shí)成立”三、教學(xué)難點(diǎn)：能用列舉法來(lái)描述有限種結(jié)果，能了解同時(shí)成立的問(wèn)題的處理策 略。四、教學(xué)過(guò)程：（一）導(dǎo)入新課小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路 ”ABCD的頂點(diǎn)D、C處，他們開(kāi)始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶?。?wèn)：（1）小明、小杰分別從一個(gè)頂點(diǎn)走到下一個(gè)頂點(diǎn)需要多少時(shí)間？A答：知道路程和速度求時(shí)間，

2、則小明、小杰分別需要12秒、10秒（2）小明、小杰分別走一圈回到起點(diǎn)需要多少時(shí)間？答：小明、小杰走完一圈分別需要48秒、40秒（二）講解新課小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路ABCD的頂點(diǎn)D、C處，他們 開(kāi)始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶?。?wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多少秒，小明第一次（初始位置除外）到達(dá)點(diǎn) D處，且小杰第一次到達(dá)點(diǎn)C處？經(jīng)過(guò)多少秒，小明第二次到達(dá)點(diǎn) D處，且小杰第二次到達(dá)點(diǎn) C 處？有什么規(guī)律？答：小明每走一圈回到 D處需要48秒，小杰每走一圈回到 C處需要40秒，則 兩人同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)間為48和40的公倍數(shù)。那么第一次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)為 48和40的最

3、小公倍數(shù)，即為240秒；第二次回到出發(fā)點(diǎn)用時(shí)為480秒；規(guī)律：兩人同時(shí)第n次回到出發(fā)點(diǎn)用時(shí)為240n秒。（n為正整數(shù)）（2）經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都處在正方形的頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？答：小明每到下一個(gè)頂點(diǎn)需要12秒，小杰每到下一個(gè)頂點(diǎn)需要10秒，則兩人同 時(shí)處在頂點(diǎn)處的時(shí)間為12和10的公倍數(shù)。那么第一次處在頂點(diǎn)處的時(shí)間為 12 和10的最小公倍數(shù)，即為60秒。規(guī)律：兩人同時(shí)第n次處在頂點(diǎn)處用時(shí)為60n秒。（n為正整數(shù)）（3）經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？答：法（1）先考慮在頂點(diǎn)處，再通過(guò)列舉法找到在同一頂點(diǎn)的情況。因?yàn)槊拷?jīng)過(guò)240秒，小明和小杰所處的位置均恢復(fù)到初始

4、位置，即小明在 D處， 小杰在C處。所以我們只需要考慮240秒內(nèi)，兩人同在頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果。 又因?yàn)閮扇嗣?0秒同時(shí)在頂點(diǎn)處，所以列表如下：時(shí)間60秒120秒180秒240秒小明所處位置CBAD小杰所處位置ACAC所以，第一次兩人都在正方形同一頂點(diǎn)處用時(shí)為180秒法（2）用行程問(wèn)題中相遇的方法來(lái)解決。1.2t t 36 48n （ n為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)n=0時(shí)，即為第一次相遇，解得t 180師問(wèn)：你們覺(jué)得這個(gè)答案嚴(yán)謹(jǐn)嗎？需要檢驗(yàn)嗎？帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)俅握J(rèn)真審題，并鼓勵(lì)他們提出自己的想法。結(jié)論：此時(shí)僅考慮在同一點(diǎn)，并沒(méi)有考慮這個(gè)點(diǎn)是否為頂點(diǎn)。 所以需要檢驗(yàn)所得 的時(shí)間t是否為60的整數(shù)倍。經(jīng)檢驗(yàn)t 18

5、0 240n 60(3 4n) ( n為非負(fù)整數(shù))符合題意(4)小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂點(diǎn) D處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明在點(diǎn)D而小杰在點(diǎn)B處的情況嗎？答：因?yàn)槊拷?jīng)過(guò)240秒，小明和小杰所處的位置均恢復(fù)到初始位置，即小明在 D 處，小杰在C處。所以我們只需要考慮240秒內(nèi)，兩人同在頂點(diǎn)的所有可能結(jié) 果。又因?yàn)閮扇嗣?0秒同時(shí)在頂點(diǎn)處，所以列表如下：時(shí)間60秒120秒180秒240秒小明所處位置CBAD小杰所處位置ACAC所以，由列表可知，兩人不可能同時(shí)出現(xiàn) D處；也不可能出現(xiàn)小明在點(diǎn) D處而小杰在點(diǎn)B處或點(diǎn)C處。門(mén).“ f4(三)鞏固練習(xí)小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路AB

6、CD的頂點(diǎn)D、C處，他們開(kāi)始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶摺?AB問(wèn)：(1)經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？(2)小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂點(diǎn) D處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明在點(diǎn)D而小杰在點(diǎn)B處的情況嗎？（四）小結(jié)小組交流說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課你的收獲（五）作業(yè)布置小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路ABCD的頂點(diǎn)D、B處，他 們開(kāi)始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶?。?wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？（2）小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂點(diǎn) D處嗎？為什么？可能

7、出現(xiàn)小 明在點(diǎn)D而小杰在點(diǎn)B處的情況嗎？五、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明（一）關(guān)于內(nèi)容的說(shuō)明本節(jié)課內(nèi)容安排在第六章一次方程（組）和一次不等式（組）結(jié)束后的探究 活動(dòng)中，用意就是通過(guò)具體的探究活動(dòng)來(lái)掌握同時(shí)成立處理策略?！巴瑫r(shí)成立”從集合的角度來(lái)看即為求兩個(gè)集合的交集的過(guò)程。 所以可以采用分別求出兩者獨(dú) 立成立的情況，再求公共部分。（二）關(guān)于教法的說(shuō)明1、為了降低難度，故設(shè)計(jì)了弓I例。讓學(xué)生簡(jiǎn)單熟悉下行程問(wèn)題中知道路程和速 度求時(shí)間，知道環(huán)線(xiàn)行駛中走n圈所用時(shí)間為單圈的整數(shù)倍。為引出下面的公倍 數(shù)做好鋪墊。2、新課講解中同樣遵循的是教材中原有的順序，先設(shè)計(jì)的問(wèn)題是兩者同時(shí)回到 出發(fā)點(diǎn)所用時(shí)間，所以時(shí)間既是 48

8、的倍數(shù)也是40的倍數(shù)，即為兩數(shù)的公倍數(shù)。從而找到規(guī)律得出結(jié)論，每240秒兩人都回到出發(fā)點(diǎn)，回到初始狀態(tài)，為第三題 的思考做了鋪墊。這里存在了周期性，教學(xué)中可以適當(dāng)介紹。如同你每周四體育 活動(dòng)課，那么你再經(jīng)過(guò)幾天可以上體育活動(dòng)課呢？同樣，第二題也是為第三題做鋪墊的，第二問(wèn)得到的結(jié)論是每 60秒兩人都處在頂點(diǎn)處。本節(jié)課的難點(diǎn)就落在 第三問(wèn)中，我采用了兩種解法剖析了這道題，帶領(lǐng)同學(xué)們用兩種策略處理這里的 同時(shí)成立。法一，先從滿(mǎn)足在頂點(diǎn)處入手，再考慮周期性，故可以在 240秒內(nèi)列舉法表示所有可能的結(jié)果，從結(jié)果中找到處在同一頂點(diǎn)的情況。 這個(gè)邏輯是合理 的。法二，則是先滿(mǎn)足同一點(diǎn)這個(gè)條件，即兩者相遇了，從而解得當(dāng)n=0時(shí)，即為第一次相遇，解得t 180。但往往學(xué)生會(huì)忽略再去考慮此時(shí)相遇的點(diǎn)是否在 頂點(diǎn)處了。所