經(jīng)典空間向量知識點(diǎn)復(fù)習(xí)歸納總結(jié)

1、經(jīng)典空間向量知識點(diǎn)復(fù)習(xí)歸納總結(jié)經(jīng)典空間向量知識點(diǎn)復(fù)習(xí)歸納總結(jié)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)空間向量的基本概念及運(yùn)算知識要點(diǎn)。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向 量。注:（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或 相等的向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來 表不。2.空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如 下（如圖）。24 / 25OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R 入入=6運(yùn)算律：加法交換律：a b b a +=+加法結(jié)合律：)

2、()(c ba c b a+=+數(shù)乘分配律:b a b a入入入+=+)( 3. 共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量,a 平行于b ,記作b a /。當(dāng)我們說向量a 、b共線(或a /b ) 時(shí)，表示a 、b的有 向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量 a 、b (b ?0 ),a /b 存在實(shí)數(shù)入，使a =入b 。4.共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說 明：空間任意的兩向量都是共面的(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量,a b不共線,p與向量,a b

3、共面 的條件是存在實(shí)數(shù)，x y 使p xa yb =+ 。5 .空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，,a b c 不共面，那么對空間 任一向量 p ,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，,x y z , 使p xa yb zc=+。若三向量,a b c 不共面，我們把,a b c 叫做空間的一個(gè)基 底,a b c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè),O A B C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) P ,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，,x y z , 使OP xOA yOB zOC =+6 .空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz -,對空間

4、任一點(diǎn) A ,存在唯一的有序?qū)?數(shù)組(,)x y z , 使zk yi xi OA +=, 有序?qū)崝?shù)組(,)x y z叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O xyz -的坐標(biāo)，記作(,)A x y z ,x叫橫坐標(biāo),y叫縱坐標(biāo),z叫豎坐標(biāo)。(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1,這個(gè)基底叫單位正交基底，用,i j k 表示。(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 123(,)a a a a =,123(,)b b b b =,則 112233(,)a b ab a b a b +=+,112233(,)a b a b a b a b -=-,123(,)()a a a a R 入入入入入=6

5、 , 112233a b a b a b a b ? =+,112233/,()a b a b a b a b R 入入入入 ? = , 1122330a b a b a b a b ? +=。若 111(,)A x y z,222(,)B x y z ,則 212121(,)AB x x yy z z =-。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終 點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。(4)模長公式：若 123(,)a a a a =,123(,)b b b b =,則 22212311a a a a a a =? =+,22212311b b b b b b =? =+ (5)夾角公式

6、：112233222222123123cos 1111a b a b a b a ba b a b a a a b b b +? ?=? +。(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若 111(,)Ax y z ,222(,)Bx y z ,則 2222212121|()()()AB AB x x y y z z =-+-+-, 或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-7 .空間向量的數(shù)量積。(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量,a b ,在空間任取 一點(diǎn)O，作,OA a OB b =,則AOB/叫做向量 a與b的夾角，記作,a b ;且規(guī)定0,a b兀w ,

7、顯然有,a b b a =; 若,2a b兀=,則稱a與b互相垂直,記作:a b o(2)向量的模：設(shè)OA a =，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度 或模，記ABCDA 1B 1C 1D 1EF xy作：|a。(3)向量的數(shù)量積：已知向量,a b ,則1111cos ,a b a b ? ? 叫 做,a b的數(shù)量積，記作a b ?，即a b ? =|11cos ,a b a b ? ? 。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： 11cos ,a e a a e ?=。 0a b a b ?=。 211a a a=? 。 (5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：()()()a b a b a b 入入入？=?=?

8、。 a b b a ? =?(交換 律)。()a b c a b a c ? +=? +?(分配律)。例1如圖，在正方體 ABCD A 1B 1C 1D 1,E 、F分別是 BB 1、 CD的點(diǎn)(1)證明AD D 1F ; (2) 求AE與D 1F所成的角；(3)證明面 AED，面 A 1D 1F解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD 1為x軸、y軸、z軸建立直角 坐標(biāo)系，取正方體棱長為2,則A (2,0,0) 、A 1(2,0,2)、D 1(0,0,2)、E (2,2,1)、F (0,1,0)(1) /DA - 1D F =(2,0,0) (0,1, -2) =0,.AD D 1F.AE D 1F

9、 ,即 AE 與 D 1F 成 90 角(3) . DE 1D F =(2,2,1) (0,1, -2)=0,.DE D 1F /AE D 1F , /. D 1F，面 AE D.D 1F 面 A 1D 1F, .面 AED，面 A 1D 1F例2棱長為2的正方體 A 1B 1C 1D 1-ABCD ,E、F分別是C 1C 和D 1A 1的點(diǎn),(1)求EF長度;(2)求;3)求點(diǎn)A到EF的距 離分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問題，建立空間直 角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向 量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解解：以D為原點(diǎn)，DA ,DC ,DD 1分別為x軸，y

10、 軸,z軸建立直角 坐標(biāo)系，則 A (2,0,0),B (2,2,0), E (0,2,1),F (1,0,2)由此可得:AB =(0,2,0),EF =(1,-2,1)FA =(1,0,-2),|AB|=2,|FA |=5,AB EF ? = - 4, FA EF ? =1-2=-1,所以(1)|EF =6 (2)cos=|AB EFAB EF ? =-36,所以 =兀-arccos 36 (3)FA 在 EF 上的射 影的數(shù)量 FA cos=|FA FEFE ? =61A 至(J EF 的距離=221174|()66FA -=例 3 在三棱錐 S ABC，/ SAB =/ SAC =ZAB

11、C DA 1B 1C 1D 1EF x z y AB CS x z y ACB =90 ,AC =2,BC = 13,SB =29(1)求證:SC BC ;(2)求SC與AB所成角的余弦值解法一：如圖，取A為原點(diǎn),AB、AS分別為y、z軸 建立空間直 角坐標(biāo)系，則有 AC =2,BC =13,SB =29,得 B (0,17,0) 、S (0,0,23)、 C (21713,174,0),/.SC =(21713,174,-23),CB =(-21713,1713,0)(1) /SC CB =0, . .SC BC(2)設(shè) SC 與 AB 所成的角為 , AB =(0,17,0),SC- AB

12、 =4,|SC| AB |=417, cos %二1717,即為所求解法二:(1) /SA，面 ABC ,AC BC ,AC是斜線 SC在平面 ABC內(nèi)的射影一二SC B C(2)如圖，過點(diǎn)C作CD II AB ,過點(diǎn)A作AD / BC交CD于點(diǎn)D ,連結(jié)SD、SC ,則/ SCD為異面直線SC與AB所成的角丁四邊形ABC渥平行四邊形,CD =17,SA =23,SD =22AD SA +=1312+=5,在ASDC，由余弦定理得cos /SCD =1717,即為所求例 4 如圖正方體 1111ABCD A B C D -,11111114B E D F A B =,求1BE與1DF所成角的余

13、弦。AB CSD解：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系O xyz -, 則(1,1,0)B ,13(1,1)4E,(0,0,0)D, 11(0,1)4F , .,.11(0,1)4BE =-,11(0,1)4DF =, /. 11174BE DF =,11111500()114416BE DF ? =? +-? +?=。11151516cos ,17171744BE DF =。直線、平面、簡單幾何體空間角高考要求1掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念2會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角知識點(diǎn)歸納1 .異面直線所成的角：已知兩條異面直線,a b ,經(jīng)過空間任一點(diǎn)

14、O作直線,/a a b b ,a b 所成的角的大小與點(diǎn) O的選擇無關(guān)，把,a b 所成的銳角(或直角)叫異面直線,a b所成的角(或夾角).為了簡便，點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍:2,0(兀b 0ba2 .求異面直線所成的角的方法：(1)幾何法;(2)向量法3 .直線和平面所成角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0?角 直線和平面所成角范圍：0,2(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角最小的角4 .公式：平面口的斜線a與

15、內(nèi)一直線b相交成0角，且a與%相交成？ 1角,a在上的射影c與b相交成？ 2角，則有0 ? ? c o sc o s c o5 21= 5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，具的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角 ，這條直線 叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面若棱為l ,兩個(gè)面分別為， B的二面角記為l % B -；6 .二面角的平面角：(1)過二面角的棱上的一點(diǎn)O分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線,OA OB，則AOB/叫做二面角l % (3 -的平面角(2) 一個(gè)平面垂直于二面角l % B -的棱l ,且與兩半平面交線分別為,OA OB O為垂

16、足，則AOB/也是l 0c B -的平面角說明：二面角的平面角范圍是0,180;二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩 個(gè)平面互? 2? 1cb a0 PaOAB相垂直7 .二面角的求法：幾何法；向量法8求二面角的射影公式：SS =0 cos ,其各個(gè)符號的含義是：S是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形 F的面積,S 是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影，0是二面角的大小9.三種空間角的向量法計(jì)算公式：異面直線,a b 所成的角0 :cos cos ,a b 0 =;直線a與平面口（法向量n ）所成的角0 :sin cos ,a n 0 =;銳二面角0 :cos cos ,m n8=，其,m

17、 n為兩個(gè)面的法向量題型講解例1直三棱柱 A 1B 1C 1 -ABC , Z BCA=90，點(diǎn)D 1、F 1分別是A 1B 1、A 1C 1的點(diǎn),BC=CA=CC 1則BD 1與AF 1所成角的余弦值是（）A .1030 B .21 C .1530D .1015解法一:（幾何法）如圖，連結(jié)D 1F 1,則D 1F11121C BH11C BBC /.D 1F1BC 21HH設(shè)點(diǎn)E為BC點(diǎn)/.D 1F1 BE 1BDEF 1EF 1A或補(bǔ)角即為所求由余弦定理可求得cos / EF1A=1030.解法二：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1則A (-1,0,0),F 1(-21,0,1),

18、ABCA 1B 1C 1D 1EF 1x zyB (0,-1,0),D 1(-21,-21,1)即 1AF =(21,0,1),1BD =(-21,21 ,1).cos=103041411411141+? +-例2 正方體ABCD-EFGH棱長為a，點(diǎn)P在AC上,Q在BG上， 且AP=BQ=a,求直線PQ與平面ABCD所成的角白正切值；求直線 PQ與AD所成的角分析：(1)先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC面ABCD , 作QM XBC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，/QP網(wǎng)是要求 的角，也可以先求出面 ABCD的法向量QM與QP的角，然后再求它的余 角即得(2)(向量法

19、)解：建立坐標(biāo)系后，求出|PQ AD PQ AD ?及, 可由cos =e|PQ ADPQ AD ?求解，解作QM XBC于M，連MP,則/QMPM是直線PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM=a 22, MP=(1-a )22tan /QPM=21MQMP二+ (2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則Q (0,)22,22a a P ()0,22),221(a a - A (a,0,0),D(a,a,0),22(1),0,)22QP a a =-,AD =(0,a,0)0QP AD ?= QP與AD所成的角為90AB C D EF GHM PQ xzy例3 已知AB =(2,2,1),AC =(4,

20、5,3), 求平面ABC的單位法向量解：設(shè)面ABC的法向量(,)n x y z =,貝U n LAB 且 n LAC，即 n - AB =0,且 n - AC =0,即 2x +2y +z=0 且 4x +5y +3z=0,解得 1,2,x z y z ?=? ? ? =-?n =z (21,-1,1),單位法向量0|nn n = (31,-32,32)點(diǎn)評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解例4如圖，在底面是直角梯形的四

21、棱錐S-ABCD ,/ ABC=90 ,SA，平面 ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=21,求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值分析：此題二面角的棱沒有畫出，按常規(guī)解可延長 BA ,CD相交于E ,則SE是二面角的棱，因?yàn)镈A，面ABS，過點(diǎn)A作SE的垂線交SE于F，連結(jié)DF ,則/ ADF就是所求二面角的平面角若用向量法求解，就是要求兩個(gè)面的法向量所成的角或補(bǔ)角解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D ()0,0,21,C (1,1,0), S (0,0,1), 可知 11(,0,0)2AD n =是面SAB的法向量設(shè)平面SCD的法向量2n =(x ,y ,z )1(,0,1),2SD =- 1(,1,0)2DC = 2n SD ? =0,20n DC ?=可推出,02,02=+=-y xz x 令 x=2，則有 y=-1,z=1, -2n =(2, -1,1)設(shè)所求二面角的大小為。，則AB CDSy zxcos 0=12121111n n n n ? =2222120(1)016231()2112? +?-+? =+ 33sin =0 , t