中高考函數(shù)復習精華

1、初三數(shù)學數(shù)學總復習(十)函數(shù)綜合題函數(shù)與方程、多項式及幾何相結(jié)合的試題，也是中考的熱點，這類問題通常是占有較大分值的綜合 題，做這類題應注意：1、數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)的重要思想方法，解題時要學會善于利用“形”幫助思考；2、幾何問題中的線段都是正量，而點的坐標中的有序?qū)崝?shù)對不一定是正量，因此注意它們區(qū)別與聯(lián)系十分重要；3、綜合題總是有一定難度的，特別是有些題若不加留意，將會出現(xiàn)漏解或誤解下面結(jié)合一些典型的題例加以說明，幫助同學們在復習中，既充滿信心，不畏艱難，又學會必要的 解題方法，達到良好的復習效果例 1 已知拋物線 y= (9 m1 2 3) x2-2(m 3)x+ 3m 的頂點 D 在雙曲線

2、 y=- -上，直x線 y= kx+ c 經(jīng)過點 D 和 C (a, b),且使 y 隨 x 的增大而減少，a、b 滿足方程組 a2 b2 3= 0- 2 22 J a 5ab+ 2b = 0(1)求這條直線的解析式；(2)在同一坐標系內(nèi)畫出題中的拋物線、雙曲線和直線的草圖(不寫畫法) 分析 綜合題總以基礎(chǔ)知識為前提，這題就體現(xiàn)了如下的基礎(chǔ)內(nèi)容：(1)拋物線的頂點坐標的表示；(2)圖象上的點的坐標滿足它的解析式；(3)二元二次方程組的解法.解題時，要把解題的程序“設(shè)計”一下，圍繞目標逐步進行，如此題的目標是求直線 y= kx+c 的解析式，即確定 k、c 的值，因此確定點 C、D的坐標是問題的

3、關(guān)鍵.(1)先求點C的坐標29解方程組-a b3=02；. a2 5ab + 2b2= 0解得-a1= 2 ,|-a2= 2,1 b1= 1 ;1 b2= 1 .則點C的坐標為(2, 1)或(一 2, 1)(2)再確定頂點 D 的坐標由拋物線 y= (9 m2)x2 2( m 3) x+ 3m知頂點 D 的坐標為：-2(m -3) =_22(9 -m )m + 3D 的坐標為(一m+333m 10m-3)3_ 3m210m -3這時不難感覺，求 m 的值是下步方向.由點 D 在雙曲線 y= 23m 10m-3m 3解得 m1= 4, m2= 6則點 D 的坐標為(1, 5)或( (丄，丄，15

4、).3(3) 最后求直線 CD 的解析式C1D1,C1D2, C2D1, C2D2，但要重視題目給出的使 y 隨 x 的增大而減小的特殊限制，故直線C1D1、C1D2是不2 212m(9 m ) -4(m -3)4(9 _m2)()=5從已求得的 C1(2,1), C2( 2, 1)和 D1(1,5),D2(v,- -15).應當組成的直線有符合條件的.(想想看，什么道理？)因此，所求的直線 CD 解析式為:y= 6x 13 或 y=（圖略）411x33例 2 如圖，直角梯形 ABCD 的底邊 AB = 5,/ BAD = 45 ,腰 AD =2、2，將此直角梯形置于直角 坐標系xoy 中，使

5、 AB 在 x 軸上，點 C 在直線 y= x 4 上.(1)按要求建立直角坐標系，并求出直角梯形 各頂點坐標；(2)若直線 y= x 4 與 y 軸交于點 M，問過點 M、A 的拋物線的頂點能否在腰 BC 上？如果能在 腰 BC 上，求出拋物線的解析式；如果不能在腰 BC 上，請你說明理由.分析 這是一道能力試題，不僅要求學生有扎實的基礎(chǔ)知識，而且更能考查運用知識的能力怎樣把直角梯形 ABCD 置于符合要求的直角坐標系內(nèi)呢？建立坐標系的關(guān)鍵是確定x 軸、y 軸和坐標原點的位置.由于 x 軸確定了(即直線 AB),所以確定坐標原點是目標 根據(jù)條件點 C 在 y = x 4 上，而 C 點縱坐標

6、為 2, x= 6,即點 C(6,2).則點 B、A 的坐標應分別為(6,0 )和(1,0 ).從而建立了如圖所求的直角坐標系.不難求得各頂點坐標分別為：A (1, 0) , B (6 , 0), C (6 , 2), D (3 , 2).,yD-CoAB xM問題(2)是許多學生感到困惑的，不知道如何去解決，其實，這仍然是個基礎(chǔ)知識的應用問題.我們不妨把問題改為下面的兩小問，你看是否可以？若是可以，你又會覺得難以解決嗎？(i)求對稱軸為 x= 6,且過點 A (1 , 0)與點 M (0 , 4)的拋物線的解析式；(ii) 判斷該拋物線的頂點的縱坐標是否在 0vyv2 的范圍內(nèi).顯然可見，問

7、題就是對上面的兩小問題的解決設(shè)此拋物線的解析式為：y= a(x 6)2+ h (為什么選用頂點式?)點 A(1,0)和點 M(0, 4)在拋物線上a+h=0, a+h= 4.100h=10011過 A、M 兩點的拋物線的頂點不能在腰BC 上.例 3 邊長為 a 的正三角形 ABC 中，D、E 分別為 BC、AC 上的點，且/ ADE = 60,設(shè) AE = y, DC = x.(1)試寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y 的最小值；(2)若 BD: DC = 1:2,求厶 ADE 的面積；(3)當/ DAE = 45時，求x(1) 建立 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，就是要設(shè)法找到 y 與

8、x 間的等量關(guān)系./ / ADC = 60+/ EDC = 60+/ BAD / EDC = / BAD故可證得 ABDDCE則=-BD.亙=a二x,DC CExa yD解得DxC2即 y=xx+a (0vxwa),a當 x = 時,y最小值=23a.4當 BD:DC = 1:2 , 即x=2ax= a3 y=丄(2、227a)a+ a =aa 339Sx ADE=SAADC9而& ADC= ”ABC而 DH = AH = AC CH = a丄 x.(想想看，為什么 CH = - x)2 2解方程 -x= a x,解得 x= (-.3 1) a.22例 4 已知拋物線 y= ax2+ bx +

9、 c 經(jīng)過點(1,3),(:,-)和(：，:),其中：、：是一元二次方程 x2 5x+ 5=0 的兩個根.(1)求這條拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線與直線 y= x 相交于坐標原點 O 和 A,平行于 y 軸的直線 x = m(0vmv3)與拋物線交于點 P,與直線y= x 交于點Q1在如圖所示的直角坐標系中，畫出這條拋物線以及直線 y= x 和 x= m,并標出點 A、P、Q 不寫畫法);2求線段 PQ的長(用含 m 的代數(shù)式表示);3寫出 POA 的面積為 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當面積 S 最大時，點 P 的坐標.(1)求拋物線 y = ax2+ bx+ c 的解析式，就是確定

10、 a、依題意，不難寫出：a+ b+ c= 3aa2+ ba +C=B ap2+ bE +C=a 也容易想到，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到 :+:= 5, :- - = 5.怎樣消去等式、中的呢？不難知道，+得(X ct + P2) + b( a + B) + 2c= a+ P即 15 a + 5b+2C=5.而 一得 a( : +：)( : -) + b(:：)=(:-)yx=mx = 2Py=xQ:、oy=-x2+4X求厶 ADE 的面積是用含 a 的代數(shù)式表示ADE與SAABC的等量關(guān)系.,可利用“等高的兩個三角形面積的比等于底的比”找出SA又SA ABC=xax2作 DH 丄 A

11、C, H 為垂足,DH = xsin60C的值.54則SAADE=SAADE亠X2AB=上上9327ox.2即 5 a+ b = 1.(要學會善于觀察問題的特點，選擇較好的方法)故求得：a = 1, b = 4,C=0. 則拋物線的解析式為y= x2+ 4x.22可知點 P、Q的坐標分別為(m, m+ 4m)和(m, m).則線段 PQ的長為一 m+ 3m.不少學生對于直線x= m(0vmv3)不知如何表現(xiàn),其實這與直線 x= 2 沒有本質(zhì)的區(qū)別,我們只要在條件 0vmv3 中任意畫一條平行于 y 軸的直線即可.怎樣找到厶 POA 的面積 S 與 m 間的關(guān)系呢？解題時,不要忘記前一問求 PQ

12、的長應起到的作用.1S= &POQ+SSPQ= PQ( hi+ h2)(其中 hi、h2分別為 POQ APQ邊 PQ上的高)2不難看出，hi+ h2的值即為點 A 的橫坐標 x= 3(怎樣求得的？你知道嗎？)12329故 S= ( m + 3m)3= m + m22 2當面積 S 最大時，m=4.這時點 P 的坐標為(？,15).224練習21. 已知拋物線 y = x + mx+ 6 與 x 軸相交于 A、B 兩點，點 P 是拋物線的頂點.(1) 當厶 FAB 的面積為1時,求此拋物線的解析式；8(2) 是否存在實數(shù) m,能使 PAB 為正三角形，若存在，求出 m 的值;若不存在，請說明理

13、 由2. 已知拋物線 y= ax2+ bx+ c 與 y 軸交于點 C,與 x 軸交于點 A(X1,0)、B(X2,0)( X1vX2), 頂點 M 的縱坐標為一4,若 X1、X2是方程 x2 2(m 1)x+ m2 7 = 0 的兩根，且 x/+ X22=10.(1) 求 A、B 兩點的坐標；(2) 求拋物線解析式和 C 點的坐標；(3) 在拋物線上是否存在點P,使厶 PAB 的面積等于四邊形 ACMB 面積的 2 倍？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.43. 如圖，直角坐標系中,0 是坐標原點，A 點的坐標為(一 3,0), B(m,-)是以 OA 為直5徑的OM

14、上一點，且 tg / AOB=1, BH 垂直于2(1) 求 H 點的坐標；(2) 求圖象過 A、B、O 三點的二次函數(shù)解析式；設(shè)C 為中二次函數(shù)的頂點，問經(jīng)過 B、C兩點的直線是否與OM 相切,并說明理由.42m 24, 2解得 m= 6.經(jīng)驗證 m= 6 時， PAB 為正三角形。答案或提示則拋物線的解析式為:2、2y= x + 5x+ 6 或 y= x 5x+ 6.xi+ X2= 2( m 1)2. (1)由題意得,xiX2= m2 7電22一Xi+ X2= 10 2 2 2( m 1) 2( m 7) = 10.解得 m= 2,- X1= 1, X2= 3.( X1 X2)則 A( 1,0),B(3,0).(2)所求拋物線的解析式為y= X22X3.與 y 軸的交點 c 的坐標為(0, 3).(3)符合條件的點 P 有兩個：P1(1 .13,9)和 P2(1 +,13,9).3. (1)點 H 坐標為(一12,0).5(2)過 A、B、O 三點的二次函數(shù)解析式為y= - X2+ -X.6 2(3)頂點 C 的坐標為(-,15),直線 BC 的解析