特殊三角形存在性問題

1、 承 載 信 任 助 力 圓 夢(mèng)特殊三角形的存在性問題1、 等腰三角形存在性問題(一)例題講解例1.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，若POE為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)P共有_個(gè)(二)課堂練習(xí)1.操作：在ABC中，AC=BC=2,C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)，圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中三種.探究：（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么大小關(guān)系？它們的關(guān)系為 ，不必寫出證明過程.（本問1分

2、）（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，PBE能否成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即求出PBE為等腰三角形時(shí)線段CE的長）；若不能，請(qǐng)說明理由. （本問4分）（3）若將三角板頂點(diǎn)放在斜邊上的M處，且AMMB=1n（n為大于1的整數(shù)），和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么大小關(guān)系？仿照?qǐng)D、圖、圖的情況，請(qǐng)選擇一種，寫出證明過程.（本問滿分3分，仿照?qǐng)D得1分、仿照?qǐng)D得2分、仿照?qǐng)D得3分；圖供操作、實(shí)驗(yàn)用）.2.已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的等邊的頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)在軸的正半軸上. 另一等腰的頂點(diǎn)在第四象限，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒

3、3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止 （1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的的面積與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；圖（2）在等邊的邊上（點(diǎn)除外）存在點(diǎn)，使得為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；3.如圖，在直角梯形OABC中， OACB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEOA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交軸于點(diǎn)F設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（

4、單位：秒）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是等腰梯形，請(qǐng)寫出推理過程；（2）當(dāng)t2秒時(shí)，求梯形OFBC的面積；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQF是等腰三角形？請(qǐng)寫出推理過程4已知：如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6.OA、OB的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且OA>OB.(1)求cosABC的值；(2)若E是軸正半軸上的一點(diǎn)，且，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷AOE與DAO是否相似，同時(shí)說明理由；(3)點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F在直線AB上，如果以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)。（此問與等腰三角形的存在性問題一致）5.（2013綿陽）如圖，二次函數(shù)

5、y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（-1，0），直線l：x=m（m1）與x軸交于D。（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；ABCDOxyl（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。6.（2013山西）綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為

6、一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)。（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M,N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。7、（2013寧波）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于

7、點(diǎn)D，連結(jié)BD過P，D，B三點(diǎn)作Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長DQ交Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)求證：BDE=ADP；設(shè)DE=x，DF=y請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由8、如圖，已知：矩形ABCD,AB=6,BC=4,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在邊BC上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作射線PMBC交AD于點(diǎn)M,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)沿射線PM以每秒6個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C

8、時(shí)，所有點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，取PQ的中點(diǎn)E，以QE為直角邊在射線PM的右側(cè)作RtQEF，使兩直角邊之比為3:4（即QE:EF=3:4）,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1) 當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，求出此時(shí)t的值.(2) 求出QF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)t的值.(3) 設(shè)直角三角形QEF與矩形ABCD重疊部分的面積是S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式. (4) 直接寫出CPF為等腰三角形時(shí)t的值.9如圖，在ABC中，ABAC10cm，BC16cm，DE4cm動(dòng)線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止過點(diǎn)E作EFAC交AB于點(diǎn)F(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合)，連

9、接DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t0) (1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長； (2) 在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，DEF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的面積ABCDEF2、直角三角形存在問題 (一)例題講解 例1.如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且 （I）求拋物線的解析式； （II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出 點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值(二)課堂練習(xí)1如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ÐB90&#

10、186;，AB12cm，BC9cm,DC13cm，點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)BP為xcm，PCD的面積為ycm2.（1）求AD的長；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？ （3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.已知拋物線 （1）求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）若拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函

11、數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由3.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過x軸上點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B，且與y軸交于點(diǎn)C.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OPB=90°時(shí),求點(diǎn)P坐標(biāo).（3）若點(diǎn)P在過點(diǎn)C的直線上移動(dòng)，只存在一個(gè)點(diǎn)P使OPB=90°,求此時(shí)這條過點(diǎn)C的直線的解析式.4.已知拋物線如圖1所示，現(xiàn)將以y軸為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，得到新的拋物線.(1)求拋物線的解析式；(2)在圖1中,將OAC補(bǔ)成矩形,使OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩

12、個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上,請(qǐng)直接(不需要寫過程)寫出矩形的周長； （與直角三角形的存在性問題類似）(3)如圖2,若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)M、B重合),PNx軸于N，請(qǐng)求出PC+PN的最小值.相似三角形的存在性問題(一)例題講解例1.如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。求拋物線的解析式；若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

13、。例1題圖圖1圖2(二)課堂練習(xí)1.已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？2.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐

14、標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；yCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍O4.如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積CBA練習(xí)4圖Py（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由5.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)