用叉乘求法向量

1、平面法向量的求法及其應(yīng)用平面的法向量1、定義：如果ala,那么向量a叫做平面口的法向量。平面a的法向量共有兩大類(從方向上分) ，無數(shù)條。2、平面法向量的求法萬法一(內(nèi)積法)：在給7E的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面 a的法向重n = (x, y,1)或7 = (x,1, z),或n = (1, y, z),在平面a內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量 2笛。由7_16，得n，a = 0且n，b = 0,由此得到關(guān)于 x, y的方程組，解此方程組即可 !得到n。方法二：任何一個(gè)x, y, z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個(gè)平面的方程是x, y, z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C不同時(shí)為

2、0),稱為平面的一般方程。其法向量"n = (A, B, C);若平面與3個(gè)坐標(biāo)軸的x y z父點(diǎn)為Pi(a,0,0), P2(0,b,0), P3(0,0,c),如圖所示，則平面方程為：一2-=1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化 a b c為一般式即可求出它的法向量。方法三(外積法)：設(shè)胃,E為空間中兩個(gè)不平行的非零向量，其外積ax b為一長度等于|a|b|sin日，(8為優(yōu)，兩者交角，且0<9 <冗)，而與a, b皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手 四指由E的方向轉(zhuǎn)為 的方向時(shí)，大拇指所指的方向規(guī)定為ax b的方向，aM b = - bx a設(shè) a =

3、(9, %,z1),b =(x2, y2,z2),則：a'b =1ylz1V2z2乂2z2(注：1、二階行列式：M=ad -cb ； 2、例 1、 已知，a=(2,1,0),b=(1,2,1),試求(1) ： aM b;( 2) ： bx a.Key： (1) a b =(1,-2,5) ;(2)b a =(1,2,5)x1x2y1y2例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體 ABCD A1B1cl D1中,1 .T T T求平面AEF的一個(gè)法向重 n。key:法向重n平面法向量的應(yīng)用1、求空間角(1)、求線面角：如圖 2-1, AB是平面口的一條斜線， 所成的角為：,>設(shè)n是平面a

4、的法向量,Ae« ,則AB與平面圖 2-1-1:1Jl T T-：n, AB2T T n AB圖 2-1-2: 1二一一 arccos 22 m T T n ABAB一一 二arccos一2|n|AB| 2JIsin 二-| cos :二 n, AB |Tn分別是平面a、-p的平面角為:mnnm兩個(gè)平法向量方向選取合適2-2平面角2-32-2m的方向?qū)?-3m的方向?qū)ζ矫鍮ba2-4AnBMNAm,n面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為n的方向?qū)ζ矫鍼而言向內(nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積平面a而言向外，n的方向?qū)ζ矫鎙-P的平面角A O|n|(2)、點(diǎn)到平面的

5、距離：方法指導(dǎo)：如圖2-5，若點(diǎn)B為平面”外一點(diǎn)右手定則”)使得兩個(gè)半平求向量AB在n上的射影d,則異面直線a、b間的距離為方法指導(dǎo)：如圖2-4,作直線a、b的方向向量a、ba、b的法向量n,即此異面直線 a、b的公垂線的方向向量n - a, n - b, A a, B bd=Earccos _m I(圖 2-3) |m| |n|,可使法向量夾角就等m nm,narccos|m|n|2-2);圖2-5P的法向量，則二面角 a -l(2)、求面面角：設(shè)向量m,圖2-8為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為 n ,則點(diǎn)P到,> ,>平面a的距離公式為d = | AB*n|n|(3)、直線與平

6、面間的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-6，直線a與平面久之間的距離：AB n4d 二一丁,其中AWu,B wa。n是平面a的法向量|n I(4)、平面與平面間的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-7兩平行平面a, P之間的距離:T -fd =| A,n 1,其中Aw5B w P。 1是平面ot、P的法向量。 |n|3、證明(1)、證明線面垂直：在圖 2-8中，m向是平面的法向量，a是證明平面的法向量與直線所在向量共線( m =九a )。(2)、證明線面平行：在圖 2-9中，m向是平面Ct的法向量，a是直線a的法向量與直線所在向量垂直(m,a =0)。圖 2-10直線a的方向向量,的方向向量，證明平面(3)、證明面

7、面垂直：在圖 2-10中，m是平面d的法向量，n是平面P的法向量，證明兩平面0的法向量,B的法向量，證明兩平面Tn是平/ DAB = 90 , PA _L 底的法向量垂直(m,n =0)T(4)、證明面面平行：在圖2-11中，m向是平面的法向量共線(m = * n)。三、高考真題新解1、(2005全國I, 18)(本大題滿分 12分)已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB/DC,面 ABCD ,且 PA=AD=DC= 1AB=1 , M 是 PB 的中點(diǎn).2(I )證明：面 PAD，面PCD;(n)求AC與PB所成的角；(出)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小.解:以A點(diǎn)

8、為原點(diǎn)，以分別以AD , AB , AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示.(I ).1 AP =(0,0,1), AD =(1,0,0),設(shè)平面 PAD 的法向量為 m = APx AD =(0-1,0)又 = DC =(0,1,0) , DP =(-1,0,1),設(shè)平面 PCD 的法向量為 = DCm DP =(1,0,1)T TT TPAD_L 平面 PCD。.m,n=0,，m_Ln,即平面T T,AC*PB.10(II ). v AC =(1,1,0) , PB =(0,2, -1), AC,PB >= arccos=arccos5|AC|PB|51'

9、; '''11(III ). ；CM =(1,0,), CA =(1,1,0),設(shè)平在 AMC 的法向量為 m = CMCA=(-,1).22 211又， CB =(1,1,0),設(shè)平面 PCD 的法向量為 n =CM mCB =(,1).2 2T T_m*n_/ 2、.:m, n arccos： =arccos( ).T TQ|m|n|3一 ，2、-2.，面AMC與面BMC所成二面角的大小為 arccos(-).或narccos- 332、(2006年云南省第一次統(tǒng)測 19題)(本題滿分12分)如圖3-2,在長方體 ABCD- ABCD中，已知 AB= AA=a, B

10、C= 72 a, M 是 AD 的中點(diǎn)。(I )求證：AD/平面ABC(H )求證：平面AMCL平面ABD;(田)求點(diǎn)A到平面AMC勺距離。解：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz如圖所示.22(I). BC =(f 2a,0,0) , BA1 =(0,a,a),設(shè)平面 Abc 的法向量為 n = BC BA1 =(0,J2a ,V2a )T；T TT T又丫 AD =(42a,0,0)，二 n,AD =0,，AD _L n ,即 AD平面 AiBC.>2>222 2. 2 2、(II ). v MC =(a,0,a), MA1 =

11、(a,a,0)，設(shè)平面 AMC 的法向量為：m = MCxMA1 =(a ,a -a ), 2222又丫 BD1 =(-T2a,-a,a),BA1 =(0，e a)，設(shè)平面 ABD的法向量為：n*= BD1x BA1 = (0, J2a2, J2a2),f fT T二 m*n =0,. m _L n,即平面 AiMC _L平面 AiBDi.(III ).設(shè)點(diǎn)A到平面AiMC勺距離為d,2 '.2 2.2 2、：m=MCMMA1 =(a ,a，a )是平面AiMC的法向量， 22又 MAa,0,0）, 二A點(diǎn)到平面AiMC的距離為：d =T| m*MA|m|四、用空間向量解決立體幾何的“

12、三步曲（i）、建立空間直角坐標(biāo)系（利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件，相關(guān)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，建立右手系 ），用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）、把向量的運(yùn)算結(jié)果 翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題） 春到四月，如火如荼，若詩似畫，美到了極致，美到了令人心醉。 你是一樹一樹的花開，是燕，在梁間呢喃，你是愛，是暖，是希望，你是人間的四月天喜歡才女林徽因歌頌四月之美的這首你是人間的四月天，她將四月的萬種風(fēng)情描摹得淋漓盡致，

13、讀來如沐春風(fēng)如飲甘露。四月之美，美在清明。時(shí)光剛剛跨入四月的門檻，清明就如期而至，清明時(shí)節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂。”清明是一種傳承了數(shù)千年的古老文化，是一場活著的人祭奠逝去的祖先的親情style。風(fēng)吹曠野紙錢飛，古墓壘壘春草綠”，每到清明，人們不會(huì)忘記在天堂的祖先，都會(huì)放下手中繁忙的工作，即便遠(yuǎn)離故土，也會(huì)懷揣濕漉漉的心事回到鄉(xiāng)下，挑揀一個(gè)最宜祭祀的日子，趕往祖先墓地，虔誠地獻(xiàn)上一捧鮮花，點(diǎn)上幾支香火，燒上一些紙錢，將祖先的墳?zāi)寡b扮一新，以表達(dá)對(duì)已逝親人的思念和祝福。清明時(shí)節(jié)，最容易勾起與已逝親人一起度過的那些美好歲月的回憶，讓人深刻體悟到親情的可貴。于是，親情跨越了時(shí)空，淚水模糊了雙眼。在瑩

14、瑩淚光中，就讓活著的人好好活著，讓已經(jīng)逝 去的人在天堂感到欣慰。四月之美，美在祭祖的哀思，美在人間傳遞著的溫情。四月之美，美在谷雨。清明早、立夏遲，谷雨種棉正當(dāng)時(shí)”，清明過后，雨水增多，有利于谷類作物的生長。因此,谷雨是春播春種的關(guān)鍵時(shí)期。在鄉(xiāng)間，一到谷雨時(shí)節(jié)，村民們便忙了起來，房前屋后，田間地頭，處處是村民們忙碌的身影，處處噫亮起勞動(dòng)的號(hào)角，處處律動(dòng)著勞作的喜悅。他們將生活的希望播撒，將幸福的種子栽種，早出晚歸，樂而不疲，笑容滿面。他們?yōu)⑾碌氖且涣ＡＯ虧暮顾?，成就的將是整個(gè)秋天曠野上豐碩的果實(shí)。累了，他們舉頭仰望綻開在湛藍(lán)天空上多情的太陽；倦了，他們想一想等待在前方的耀眼金秋。春風(fēng)，貼著他

15、們的身影吹過，將灼熱的期盼和夢想帶向遙遠(yuǎn)、遙遠(yuǎn)他們勞動(dòng)的姿勢，仿佛在大地上書寫一首生活的真愛長歌；他們奔忙的步伐，舞動(dòng)出四 月美妙和諧的韻律；他們洋溢在嘴角的笑意，仿佛閃爍在陽光下的一朵朵桃花。四月之美，美在他們的不輟勞作，美 在他們孜孜不倦地創(chuàng)造甜蜜生活的那顆淳樸心靈。四月之美，美在花繁草盛。黃四娘家花滿蹊，千朵萬朵壓枝低?！彼脑?，千芳競放，婢紫嫣紅，你不讓我我不讓你，爭相斗妍，好不熱鬧。桃花，在多情春風(fēng)的表白下雙頰緋紅，欲語還羞；梨花，一束束一簇簇，洋洋灑灑，熱烈、雪 白而純情；櫻花，懷揣粉紅的夢想，輕輕搖落一地的深情。地上的小草也不敢示弱，紛紛抬起掛著剔透露珠的綠色腦 袋，在陽光的照耀下折射出誘人的光澤。四月的小草，已不再是初春時(shí)那樣遙看近卻無了，山坡、谷底、河畔、溪邊， 到處一派翠綠，盡情釋放著勃勃的生機(jī)，大地好像悄悄鋪上了一層綠色的地