2019新版考研數(shù)學(xué)模擬題目(含解析)

1、如19最新考研數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)學(xué)校：姓名：班級：考號：題號一總分得分一、解答題1.利用習(xí)題22(2)證明:sin x ,dx 二sin x cosxcosx , 冗dx 二sin x cosx 4a并由此計(jì)算-0證明：由習(xí)題dx.i(a為正常數(shù))x va2-x222(2)可知兀一 一2 sin x dx =0 sin x cosxcosx , dxsin x cosxsin x , dx0 sin x cosx故等式成立.兀02cosxsin x cosxdx兀r2無二 dx 二一02a dx令 x 印 sint0-22x a - xcosxsin t cost花dt =42.證明下列曲

2、線積分與路徑無關(guān),1,1算積分值:(2)(4)證:x -y jdx -dy )；口6xy2-y3削;1,2 ydx -xdy1,16,8 xdxydy1,0 -x"=y7沿在右半平面的路徑;沿不通過原點(diǎn)的路徑;(1)P=x-y, Q=y-x.顯然P, Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且FP FQFy ：x=-1 ,故積分與路徑無關(guān).取L為從(0,0)到(1,1)的直線段，則L的方程為：y=x,1x -y dx -dy = 00dx =0Q. =12xy -3y2,有 史=登，所以積分與路徑無關(guān). xy x取 L 為從(1,2) 一(1,4) 一(3,4)折線，則6xy2 - y3 dx，

3、6x2y -3xy2 dy423二 2 6y -3y dy 96x -64 dx十 以8x2 64x-23=_3y -y二 236平面內(nèi)恒有1Q P, Q在右半平面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且故在右半平面內(nèi)積分與路徑無關(guān).2Py達(dá)J ,在右半：x x.y；x取L為從(1,1)到(1,2)的直線段，則1,2 ydx -xdy2,1,1= 1 T dy = -1(4) P x 2 , Q - y 2 ,且 P- x yx y 二y在除原點(diǎn)外恒成立，故曲線積,Q:x分在不含原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，取L為從(1,0) 一(6,0) 一(6,密折線，則xdx_ydy = 6 x dxx21 1 一 ,=5十二 2

4、436 +0 36+y28dy2 -二913.求函數(shù)f(x)=在x0 = 1處的n階泰勒公式. x解: =1 -x-x2 i (-1)nxn (-1)1 xn 1n 1 x(1 ")n 21f(x)二 x1 一(x 1)= (x 1) (x 1)2 III (x 1)nn 11:(x 1)(2 (0 i1).0 234 .計(jì)算e的近似值，使誤差不超過 10解:0.2 e23Txxxxe 4e =1 x 一 x (0 < 1 < 1)2624(0.2)2 (0.2)3：1 0.2 1- 11 =1.2213 : 1.221a0 0231_ e_ 43_41-4_R(0.2)

5、=(0.2):二(0.2)0,2 : 0.0002 :二 0.001242485. 一個(gè)水槽長12m,橫截面是等邊三角形，其邊長為2m,水以3m3 min-1的速度注入水槽內(nèi)，當(dāng)水深0.5m時(shí)，水面高度上升多快？ 解：當(dāng)水深為h時(shí)，橫截面為12=4 3h2h2 體積為 V=sh'=h:3dVdh=4,3 2h dtdt當(dāng) h=0.5m 時(shí)，dV dt3=3mmin故有3 -4 .3 2dh 0.5, dtdh _3dt 一 4(m3 min1).6.設(shè)一路燈高 4m, 一人高5 m,3若人以56 m - min-1的等速沿直線離開燈柱，證明：人影的長度以常速增長.證明：如圖，設(shè)在 t時(shí)

6、亥L人影的長度為 y m.化簡得53 . y4 y 56t7y =280t,y =40t, y =40(m - min 1). dt即人影的長度的增長率為常值7 .計(jì)算拋物線y=4x x2在它的頂點(diǎn)處的曲率.解：y= (x2)2+4,故拋物線頂點(diǎn)為(2, 4)當(dāng) x=2 時(shí)，y'=0,y"=2,k y 2 k 一(1 y 2)3/28 .試證:方程sin x =x只有一個(gè)實(shí)根.證明：設(shè)f(x)=sinxx,則f(x)=cosx任0,f(x)為嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)，因此f(x)至多只有一個(gè)實(shí)根.而f(0)=0,即x = 0為f(x)的一個(gè)實(shí)根，故f(x)只有一個(gè)實(shí) 根x = 0,

7、也就是sin x = x只有一個(gè)實(shí)根.9.求下列曲線的拐點(diǎn)：(1) x =t2,y =3t t3;解:dy 3 3t2 dx - 2td2y 3(t2 -1) dx2 - 4t3. d2y令一=o,得t=i或dx2t= 1貝 U x=1 , y=4 或 x=1 , y= 4d2y當(dāng)t>1或t<1時(shí)，空>o,dx曲線是凹的,d2 y當(dāng)0vt<1或一1<t<0時(shí)，V<0,曲線是凸的,dx故曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)(1, 4), (1, - 4).(2) x=2 acot 0,y=2 asin2 0.解:dy 2a 2sin 二 cos 13 =2- =-2sin c

8、 cosdx 2a ( -csc )d2y12 = (-6sin c cos 3 2sin 1)2dx22a(-csc2)=1 sin4 ? cos2(3 - tan2 二) a令襄=。,得8=3或-g不妨設(shè)a>0,不失一般性，當(dāng) J3Atan8 aJ3時(shí)，即<e3d2v 當(dāng)tan日> J3或tan日< 一J3時(shí)，即日 < 一一或8 >二時(shí) 一233 ' dx冗LIC 時(shí),3d2y：0,3a, a2及與a,4故當(dāng)參數(shù)9=或8 =-時(shí)，都是y的拐點(diǎn)，且拐點(diǎn)為12®33y310.用定積分的幾何意義求下列積分值：1(1)2x dx;解：由幾何意義

9、可知，該定積分的彳1等于由 x軸、直線x=1、y=2x所圍成的三角形的面積，故原式二1.:.R2 -x2dx (R 0).解：由幾何意義可知，該定積分的值等于以原點(diǎn)為圓心，半徑為 R的圓在第一象限內(nèi)的面1 c積，故原式=1成2.411.解:1 x t2_a, b, c取何實(shí)數(shù)值才能使 lim 1 ,. dt = c成立.x-0 sin x - ax b , 1 t2因?yàn)閤t 0時(shí)，sinxaxT 0而該極限又存在，故 b=0.用洛必達(dá)法則，有所以2120,a # 1,lim = lim = 2xxT cosx - a1 x2x_0 cosx -a lim= -2, a = 1.x 10 -si

10、n xa =1,b =0,c - -2或 a=1,b=0,c=0.11 x , 一i,12.求函數(shù)y= ln的反函數(shù)2 1 -xx = (y)的導(dǎo)數(shù).解:1y ln(1 x) - ln(1 - x) 2dx 2 1 x 1 -x故反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：12-xdxdy13.求下列不定積分:x2 1(TH?dx；解：原式=12-2(x+1)2(x+1) (x1)111 -1 .小方+21nx+1+21n x-#C1 21nx 1c.急;1 1_x +2 、解：原式=n+ 9x 2lx+1 x x+1)1dx =ln x +1 一一 ln2x2 - x 117dx2 x2 - x 1=ln =,x2 -

11、x 1、3 2x -1arctan c.3.354 ox x - 8.3dx ;x - x1x2解：原式=x11ln t t c ln 22 x 1 - dx x x 1 x -1x 8ln x -4ln x 1 -3ln x -1 cx6 1dx ；,1解：原式=-d(x3)33 1 (x )2arctanx3c.23.sin x , dx ;1 sin x解:原式=Jin2x cos x,2,1,21、，dx - tan xdx = (sec x - 1)dx = secx - tan x x c.cosx(6)cotx ”dx;sin x cosx 1解:令 t 4an原式21 -t21

12、 t2烏dt1 t2旦旦1 t2 1 t22 t(t 1)1 11dt dt2 t2,x tan一2tan)c.22.x(1 x)dx ；解：原式=2d(、x) = 2ln(、. x . 1 x) c.x 17(8)dx；=x 2lnx-2 口dxx.x 1 1解：原式=l1 2 _ 2_x_1 dx x x_ x 1 ,2 dxxt2t2 -11 dt = 4t 4 dt2 -1=4t 2lnt -1t 1F cc = 4、x 1 2ln故原式=x - 4 ,x 1 4ln( ,x 1 1) c.14.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明1lim -2 =0； n .：二 n2n -a(3) lim a-

13、 =1;n-. n3n -13(2) lim= 一 ;n3 2n 12(4) lim 0.99IH9 =1.n i.證：(1Rw:>0 ,要使-1-0 = !<w,只要n >J-.取N| EL則當(dāng)n>N時(shí)，恒有n2n2卜I1-1-(2) Vs>0,要使3n -1 32n 1 - 2f _0 < z.故 lim f =0. n25n=5 < <- <S,只要n >勺，取N =符L則當(dāng)n>N2(2 n 1) 4n n； 一；升后行3n -13 拓3n -13時(shí)，恒有- 8.故lim=一 .2n+1 22n+1 2(3) 一；-0,要

14、使則當(dāng)n>N時(shí)，恒有，從而M上直=1.n " n(4)因?yàn)閷τ谒械恼麛?shù)n,有1J 0.9991 II91<1，故Vs >0 ,不防設(shè)8<1 ,要使' I = < % 只要 n > ，取 N = J 則當(dāng) n > N 時(shí)，恒有0. 991 9 110n,ln10_ln10u0 . 919 -ij<明故 lim 0.99山9=1 9 1ni15.求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：(1) 由y=x2與y2=x3圍成的平面圖形繞22 y = x解：求兩曲線父點(diǎn)弓2=,得(0, 0) , (1 , 1)V= ：1(x3 -x4)dx，0')

15、=心4-Alx軸旋JI20(2)由(14)3y =x,x=2 , y=0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn);解：見圖 14, Vx= 1, 1 x%x=¥ / , 064"5(2)星形線x2/3+y2/3=a2/3繞x軸旋轉(zhuǎn);解：見圖15,該曲線的參數(shù)方程是：x二 acos t -y=asin3t "上幾由曲線關(guān)于x軸及y軸的對稱性，所求體積可表示為Vx=2 : i y2dx - o二2 二(asin3t)2d (acos3t)c 一 3=6 二 a2sin7tcos2tdto323105 a(15)16.功？把長為10m,寬為6m,高為5m的儲水池內(nèi)盛滿的水全部抽出，

16、需做多少解：如圖19,區(qū)間x , x+dx上的一個(gè)薄層水,有微體積dV=10 - 6 dx*/,力/,設(shè)水的比重為(19)1,則將這薄水層吸出池面所作的微功為dw=x 60gdx=60 gxdx.于是將水全部抽出所作功為w二60gxdx=750g(KJ).17 .設(shè)有一半徑為 R,中心角為 。的圓弧形細(xì)棒，其線密度為常數(shù) p,在圓心處有一質(zhì)量 為m的質(zhì)點(diǎn)，試求細(xì)棒對該質(zhì)點(diǎn)的引力。解：如圖22,建立坐標(biāo)系，圓弧形細(xì)棒上一小段ds對質(zhì)點(diǎn)N的引力的近似值即為引力元素km 二R2Fx7 kmP=2cos d 2-2 R2叫osd陋<P sin 2km PdsdF :2R2. km PdFx =

17、dF cos 1 =cos rd 二,Rkm ：dFv = dF sinsin id1yRFy = .2；0 km：sin 二d1-0.9kmP 中 、.故所求引力的大小為任mLsin ,方向自N點(diǎn)指向圓弧的中點(diǎn)。R 25% （每年），若打算 10年后18 .某父母打算連續(xù)存錢為孩子攢學(xué)費(fèi)，設(shè)建行連續(xù)復(fù)利為攢夠5萬元，問每年應(yīng)以均勻流方式存入多少錢？解：設(shè)每年以均勻流方式存入 x萬元，則105=xe(10 上)0.05dt-0即 5=20x(e0.5_1)1x =-0.385386 萬兀=3853.86 兀.4(e-1)習(xí)題六19 .寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng):111, (1)1 + + + +11

18、1 ;3 5 7.x x x xx2(2) - 22 4 2 4 6 2 4 6 8-1解：(1)Un =；2n -1nx2(2)Un =-；2n !n：；1 aUn=(-1)2n 120.判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂?1111 一正十不一石"匕1ln n 11111125 3352 on n 1 2(4) 1(-1) n 二n!(5尸_1n 1R）；J-11(6) -1-HIna.23解：(1)UnN10oOU Un是交錯(cuò)級數(shù)，且滿足n W.1 c，lim /= = 0 ,n入n由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂，又Q0'、' Unn =1二 1 口一

19、=Z1是P<1的n 42n2P級數(shù)，所以J Un發(fā)散，故nm原級數(shù)條件收斂.(2) Un h-1n 1 Il .n 1)，Z (1 )ln n 1 ndln n 1>,ln n 1 ln n 2Un>ln n 1 n 1所以，£ Un發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂.n 11(3) U n - -1n5 3民，顯然Z Un =£15 3nCL5n=1二11 4是收斂的等比級nd3數(shù)，故U Un收斂,所以原級數(shù)絕對收斂.(4)因?yàn)?limn ,"Un22n 1= lim= f -n一：n 1故可得Un書 Un,得 lim Un #0,，lim U n =0

20、,原級數(shù)發(fā)散. n lim =0,由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于ln n 1od .1,lim = 0 ,由來布尼 nT：n茨判別法知級數(shù)收斂，但這時(shí)工(-1尸n:oO發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.0° 1(5)當(dāng)o>1時(shí)，由級數(shù)1 收斂得原級數(shù)絕對收斂.n4 n-當(dāng)0<戶1時(shí)，交錯(cuò)級數(shù)£一(_1 f滿足條件: njn-當(dāng)aW 0時(shí)，lim Un #0 ,所以原級數(shù)發(fā)散.n 5 二，一 11 .1(6)由于.1+_+_+|+_1而， 1發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)n =4 n1 :1十4+4+川+4)±ll發(fā)散. n3 I 2 3 nJ n記un i1

21、1 - 1 in 1 工，則 2 3 n n1+ 一212J"IH111一 一一2n n n 1 n 1.一n n n 1 i n 10知lim Un = 0 ,由萊布尼茨判別法，原級數(shù) n條件收斂.v-|1 1 J III 1 上收斂，而且是 n4 .23 n n1111- - - 2n n n 1 n n 1 n 1即 Un Pm一111. 1又 lim Un = lim 1 - - - - |l - f n .23 n n 1 .=-dxn 0 x1,1 t 1由 lim dx = lim 1=0t t 0 xt 1一一.二 1 一21.將f (x) = 2+|x| (-1Wx

22、W1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)Z 工 的和.n =1 n解：f(x)在(-8,+oo)內(nèi)連續(xù)，其傅里葉級數(shù)處處收斂，由f(x)是偶函數(shù)，故bn=0,(n=1,2,)a0 -f x dx = 2 12 x dx = 5anQ-41osnxdx = 2 2 x cosnxdx= 2,4,61112 ,dnD所以= 1,3,5,|,5f x =2427toO z n 4cos（2n -1）x22n -12Tt，xC -1,122n -1二 1 二 1、-2= '、2、n：1n n z! 2n - 1 n 1122n二 1所以、2n z1 n22.把寬為q高為h ,周期為T的

23、矩形波（如圖所示）展開成傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式解：根據(jù)圖形寫出函數(shù)關(guān)系式0,u t = h,0,一"2T-t2T< 2T< 2<t1 lCo =21 J t dt =-1 .二 2ru t dt 2 hdt = T w一21 lCn 二 一 ute2l ，.n兀-i- - tl1 一dt 2T u t e二工T（=.2n %.-i-t2.he T dt2Th-T=*12e4T2I2n/2ehsin n冗.2n it4 tT dt2n冗tT故該矩形波的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為,2n x_L1一 Th h 二 1 .u t = x sinT MMn -0,3(-oo<

24、t<+oo,且 t # ±_ , 土一，2223 .求面密度為P0的均勻半球殼 x2+y(其中k為比例系數(shù))25.用分部積分法求下列不定積分: (1) x sin xdx ； 解：原式=- x2dcos x = -x2 cosx 2 cosx xdx = -x2 cosx 2 xdsin x+z2=a2(z> 0)對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：三：z='；a2 -x2 - y2, Dxyds = 1-x222a a _ x - y1y、22222«a -x -y jadxdy = dxdy.,a2 -x2 - y2：(x2 y2) 70ds =a。 d2 7t

25、 a r2“0 1號1a02-r2 -a222d(a2 -r2)a22a22. a -r/ 22、(a -r )=-a p0 - (a2IL33-a對7777/。"22x y .Izdxdy222xy a - x - y24 .設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力作用，力的反方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比，若質(zhì)點(diǎn)由 (a,0)沿橢圓移動到B(0,b),求力所做的功.x = a cost解：依題息知 F = kxi+kyj,且L： W, t：y =asintW = l kxdx kydy兀二02 |kacost ：isintkbsint b cost Idtk b2 -a2.=2sin2tdt)co

26、s2t 丁222k b -ak b2 -a2222=-x cosx 2xsin x 2cos x c.(2) xe "dx;解：原式=一 xde" = xe'e"dx - -xe* -e c.(3) xln xdx ；121 211 21 2斛：原式= in x dx = x In x xdx = 一 x In x x c.222242(4) x arctan xdx ；1 3131x3,斛：原式 = arctan xdx = - x arctan x - - 2dx333 1 x1 3,121,"2、=-x arctanx x ln(1 x )

27、 c.366(5) arccosxdx；x xx ，2斛：原式 =xarccosxdx : xarccosx - . 1 - x c .1-x22(6) x tan xdx ；2121 2斛：原式 = x(sec x -1)dx = xd tan x - -x = xtanx - -tan xdx x,1 2=xtan x - in cosx -x c.2 e*cosxdx;解：e"cosxdx = e'dsin x = e* sin xe"sinxdx二,=e sin x -ecos xdx-x . x .xe dcosx=e sin x - e cosx -1

28、二，.、原式=-e (sin x - cosx) c.(8) xsin x cosxdx ；1. _ .1._1,1_ .斛：原式= xsin2xdx =一 xdcos2x =一xcos2x cos2xdx24441 c 1 . c一 一 xcos2x -sin 2x c .(9)dx ；(in x)32 x解：原式=- (in x)3d ! x1Q0二-(in x) -3 (in x) d x13321=_(ln x) -(ln x) -6 In xd - x xx1、33、2 616=- -(ln x) (ln x) - - In x - - c. xxxx(10) , x (3a -2b

29、) (a 2b) -3a a 6a b -2b a -4b b a2dx.郎x -atant 23斛：原式 a sec tdt.又sec3 tdt = sect (tan21 1)dt = tantd(sect)d isectdt3=tant sect - sec tdt ln sect tant3,1,1,所以sec tdt =一tantsect ln sect tant "c22故jjx2 +a2dx =；xq'x2 +a2 +；ln x+ Jx2 +a2 +c.26. 設(shè) f(x , y) 為 連 續(xù) 函 數(shù)， 求1 _222Umy 玲 f(x, y)dn,D =( x

30、, y)|(xx。) +(yy°) <r .解：因?yàn)閒(x, y)為連續(xù)函數(shù)，由二重積分的中值定理得，十二力)WD,使得以 f(x,y)dQ = f(E) =/ 葉(匕尸)又由于D是以(, y°)為圓心，r為半徑的圓盤，所以當(dāng) rT 0時(shí)，尸(x0,y0),1 12.于是.叫丁兒枚丫川仃川四7 H f(-尸)=rimof(-，力=(,)%0) f (，)=f(x0，y0)27. 一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B (2, -1, 7),它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4, -4和7,求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x, y, z),則+AB =4, -4,7 =2 -

31、x, -1 - y,7 - z解得 x=- 2, y=3, z=0故A的坐標(biāo)為 A(-2, 3, 0).2 it- . 一28.已知a, b的夾角中=，且a =3, b = 4,計(jì)算： 3(1) a - b; (2) (3 a-2b) - (a + 2b).，、-22 兀1斛：(1) a , b = cos | a | | b 尸 cos3 4 二 一- 3 4 二 一632二3|a 1 x2+y2+z2=a2 與 z=0,z= : (a>0); z=4-x2, x=0, y=0, z=0 及 2x+y=4; 4a b-4|b|22=3 32 4 (-6) -4 16二 61.29 .試

32、定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：“、x 3 y 4 z 力(1) =和 4x- 2y- 2z=3;-2-73x y z 一(2) _ =上=_ 和 3x-2y+7z=8;3-2 7(3) x2 = y+2 = z-解：(1) (2) (3) (4)分別如圖 和 x+y+z=3.31-4解：平行而不包含.因?yàn)橹本€的方向向量為s=-2, -7, 3平面的法向量n=4, -2, -2,所以s n =(-2) 4 (-7) (-2) 3 (-2) = 0于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0 (-3,-4, 0)代入平面方程有 4m(_3)_2m(H)_2m0 = 4¥3.故直線不在

33、平面上.(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面. 直線在平面上，因?yàn)?3父1+1父1+(4)父1 =0,而直線上的點(diǎn)(2,-2, 3)在平面上.30 .建立以點(diǎn)(1, 3, -2)為中心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程解：球的半徑為 R ：12 32 (-2)2 二J五.設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x- 6y+4z=0為所求球面方程.31 .作出下列曲面所圍成的立體的圖形:(2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;(4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0 及 x+y

34、=1.7-18, 7-19, 7-20, 7-21 所示.圖 7-18圖 7-19圖 7-20圖 7-2132.求下列曲面和直線的交點(diǎn):x -3y -4 z 2-6 一 4(2)22X- .匕1692-z x y z 2-=1 與一=上二44-34解：（1）直線的參數(shù)方程為X =3 3tIy =4 -6tz = -2 4t代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 4, -2) , (6,-2, 2)(2)直線的參數(shù)方程為x =4ty =-3tz - -2 4t代入曲面方程可解得t=1, 得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4, -3, 2）33.求曲線x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上

35、的投影曲線解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為2 a34 .求下列函數(shù)在x = x0處的三階泰勒展開式:(xo =1). y = 7x(x0 =4); y=(x1)lnx1解：y x 2 , y213-x ,y4二 3x：8,y15 4-x 216一， 1所以 y (4), y (4)4y4 /x4)=1-,y (4)=321532567164 Mx-4)2喘”)3.11c故、,x=2+-(x-4) (x -4)4645(x - 4)7 (0 ：»：1).1284 Mx-4)產(chǎn)ln(1 x) = x234(1 rx)4.y = (x-1)ln

36、 x = (x-1)ln1 (x 7)(x -1)2 .(x-1)(x-1)-2(x-1)3(x-1)4= (x-1)234(x-1) . (x-1)341 Mx-1)(x-1)5341 Xx-1)4.fux:xFuy=3u.二 y35 .已知u =2 2x y,求證:x y證明:-:u改2xy2(x y) - x2y2由對稱性知:u:yxex(x y)2 x2y2 2yx3x2y2 2xy3(x y)2(x y)2.:u 3x2y2(x y)y =2二y(x y)36.試證：以三點(diǎn) A (4, 1,9), B (10, -1,6), C (2, 4, 3)為頂點(diǎn)的三角形是等 腰直角三角形.證

37、明：因?yàn)?AB|=|AC|=7.且有 AC|2+|AB2=49+49=98=| BC|2. 故4 ABC為等腰直角三角形37 .畫出積分區(qū)域，把ffD f (x, y)dcr化為累次積分:(1) D =(x, y)|x y M1,y - xM1,y 0;(2) D =( x, y) | y - x-2,x - y22(3) D =( x, y) | y 一, y 三 2x, x 三 2 x解：(1)區(qū)域D如圖10-3所示，D亦可表示為y -1 < x < 1 - y, 0 < y < 1.11 .y所以 D f(x,y)d。= 0dy 口 f (x,y)dx(2)區(qū)域D

38、如圖10-4所示，直線域D可表不為y2 < x < y + 2,y=x-2與拋物線x=y2的交點(diǎn)為(1, -1) , (4, 2),區(qū)-1 < y <2.圖 10-3圖 10-4y 2所以 f(x, y)d；：= dy 2 f(x, y)dx(3)區(qū)域D如圖10-5所示，直線y=2x與曲線2 ,y = 一的交點(diǎn)(1, 2),與x=2的交點(diǎn)為(2,D1,y2可表示為 2 - y - 2x, 1 - x - 2.24),曲線y =一與x=2的交點(diǎn)為(2, 1),區(qū)域 D圖 10-52 2x所以 0 f (x,y)d：,u ：i dx 2 f(x,y)dy.D1x38 .設(shè)平

39、面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y = x2及直線y = x所圍成，它在點(diǎn)(x, y)處的面密度p(x, y) = x2y,求該薄片的重心。解：閉區(qū)域 D如圖10-33所示：薄片的質(zhì)量為m = d :?(x，y)dxdy =1 x 20 dx ,x2x ydy =1 102(x4611517一x )dx x -x2 571一 , 035My = dx P(x, y)dxdy1 x 3=0dx J ydyU(x5-x7)dxJ X0 22 648,Mx = Dy ：(x, y)dxdy1x 9 91=dx 2 x y dy (x - x )dx x0x20 33 61-x954,_My 35_ Mx

40、 35從而x = = , y =一M48 M54所求重心為 35 35 . 485439 .計(jì)算下列對弧長的曲線積分：(1) |jL(x2 + y2) ds ,其中 L 為圓周 x=a cos t, y=a sin t (0< t< 2 u );(2) (x+y)ds,其中L為連接(1,0)及(0, 1)兩點(diǎn)的直線段；IJxds淇中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；(4)e、kds,其中L為圓周x2+y2=a2,直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；1(5) 1r222 ds，其中1為曲線 x=e cost,y=e sint,z=e上相應(yīng)于 t從

41、0變到2的這段x y - z?。?6) jrx2yzds,其中為折線 ABCD,這里 A, B, C, D 依次為點(diǎn)(0,0,0) ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2);i丫$,其中 L為擺線的一拱 x=a(t- sint), y=a(1- cost)(0<t< 2 u )(8) (x2+y2)ds,其中 L 為曲線 x=a(cost+tsint), y = a(sint-tcot), (0w tw2兀)2(9) L2-z一2"ds,其中為螺旋線，x = acost, y = asint, z=at (0< t< 兀).x y2t)n. (-asi

42、nt)2 (acost)2dt22、n,.2 7c,22,2.解：（1） 口x y ) ds = 0 (a cos t a sin2二 2n 12n 1a dt = 2 汨 (2)L 的方程為 y=1-x (0<x< 1).(3)L 由曲線 Li： y=x2(0WxW1),及1 72dx =22.0110-66 所示）。x xds = xds + x xds = x J1 +上LJL1jL2J0 V(x2)12 dx+(x)2dx、. 2xdx1 2 一8 3 l(1+4x2)2 21 _Tx 01_=5.5 6、, 2 -1 .(4)如圖 10-67 所示,L = Li + L2

43、+L3其中 Li： y=0(0<x< a),從而f e*x + ds= f exdx =ea -1花L2:x=acost, y=asint,0wtw 一4=4 aeadt =aea.04L3:y=x(0< x<a).e、x 力 ds = J； ea J(-asin t)2 +(a cost)2dt所以ds=e°x V2dx =e"x2a2 a二 e -1.ds，ekds= (ea -1)九 a , a / a ' _ 九 ； c-ae e -1 =e I 2 a - 2.(5)ds = Jx+y/+z/2dt=(et cost=、3etdt.

44、t2 tt2 2t一e sint)(e sint e cost) e dtx y2 z2ds 二2t 2 M 2t . 2 , 2t e cos t e sin t e.3gdt2二e%t 二0 2_|_x =0(6) AB: y = 0z = 0(0 <t <2),x = tI BC:y=0z = 2(0<t<1),lx =1 CD : y =t z = 2故(0 < t < 3).ix2yzds = x2 yzds _x2yzds_ x2 yzds：0dt + ,0dt +，2tj1 +02 +02dt302tdt=9.22 7r L y ds = 0a

45、2(1 -cost)2 b(1-cost) f (asin t)2dt，J2a3(1cost)2dt =8a3sin5；dt327t 4 t t3 2 42 t )， t )=8a sin sin dt =16a11 - cos d cos022022=-16a3 f ' 1 -2cos2 - +cos4 - Id ' cos- l, 02222兀 一 一-16a38s223 t J 5t |256 3cos 一 一 cos 一 =a .32 52 o 15(8) ds = Jla(cost +tsin t)呼 + ,(sin t -tcost2)*fdt.(atcost)2

46、(atsin t)2dt = atdt.,2.2、.2 7c -2 _.22 .一一2，.,l (xy)ds= © |a (costtsint)a (sint-tcost) atdt27roo. oo=1o a3(1+t2)tdt = 2，a3(1+2，).2(9)7 ds :2.2j a t022 .2 . 2 .0 a cos t a sin t-22222 .,a sin t a cos t a dt40 .設(shè)r為曲線x = t, y = t2, z = t3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧，把對坐標(biāo)的曲線積分 卜Pdx十Qdy +Rdz化成對弧長的曲線積分.解：由 x=t, y=

47、t2, z=t3 得dx=dt, dy=2tdt=2xdt, dz=3t2dt=3ydt, ds = J +4x2 +9y2dt.故 cos-dx _1ds 1 4x2 9y2dy 2xcos =一=ds 1 4x2 9y之dz 3ycos =ds 1 4x2 9y2因而 1rPdx +Qdx + Rdx = 1r P2xQ_3yRds 1 4x2 9y241 .在下列各題中，驗(yàn)證所給二元方程為所給微分方程的解: (x-2y)y =2x-y, x2-xy y2=C;證：方程x2 xy+ y2 =C兩端對x求導(dǎo)：2x -y -xy 2yy =0得y =空二！x -2y代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)( xy -x)y xy yy -2y =0, y=ln(xy).證：方程y=ln(xy)兩端對x求導(dǎo)：.11.yy ()x y得 y =-.x(y -1)()式兩端對x再求導(dǎo)得y 11y 二-：y -1 ILxx (y-1)將y ；y ”代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.42.求下列線性微分方程的通解:y y =e'；解：由通解公式_ dx -liee« exdx c = e«(x c)(2) xy y = x+ 3x+2；解：方程可化為y 1y