2019河南中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題之函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究-最新教學(xué)文檔

1、2019河南中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題之函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究【中考母題】某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù) y= x22岡的圖象和性 質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：x352-2-1012523y354m-10-10543其中，m=0;(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫(huà)出該圖象的另一部分；(3)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出兩條函數(shù)的性質(zhì)；(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：函數(shù)圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)方程x2 2|x|=0有3個(gè)實(shí) 數(shù)根；方程x2 2|x|=2有2個(gè)實(shí)數(shù)根；關(guān)于x的方程x2 2|x|= a

2、有4個(gè)實(shí)數(shù)根、a的取值范圍是一1<a<0.解：(2)如圖所示.(3)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)圖象開(kāi)口向上等，答案不唯一.(注：本題不累計(jì)給分，除(3)中每條性質(zhì)2分外，其他每空1分) (2019河南21題10分)某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù) y= x2- 2| x|的 圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：x-352-2-1012523y354m-101054 丫，3其中，m=.；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角2坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分， H) 1 2 3請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分.y

3、. -2 (3)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出兩條函數(shù)的性質(zhì).(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：函數(shù)圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程x2 2| x|=0有個(gè)實(shí)數(shù)根；方程x22| x|=2有個(gè)實(shí)數(shù) 根；關(guān)于x的方程x2 2|=2有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍是解：(1)0 ; (1 分)(2)如解圖所示：(3分)解圖(3)函數(shù)圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，坐標(biāo)分別是(1, 1)和(1, 1);函數(shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=0(y軸)；從圖象信息 直接看出：當(dāng)x<1或0cxe 1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小； 當(dāng)1< x< 0或x>1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大； 在x< 2或x&g

4、t;2時(shí)，函數(shù)值大于0,在2<x< 0或0cx<2時(shí)，函數(shù)值小于0等.(答案不唯一，寫(xiě)出兩條合理即可)(6分)第1頁(yè)(4) 3, 3; 2;1<a<0. (10 分)【解法提示】觀察圖象可知函數(shù)圖象與 x軸有3個(gè)交點(diǎn)，.方程 x2-2| x| = 0有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；把拋物線 y= x2-2| x|向下 平移2個(gè)單位，得拋物線y= x2-2| x| 2,則拋物線y= x2-2| x| -2 與x軸只有2個(gè)交點(diǎn)，.方程x22| x| 2=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根；把拋物線y=x2-2| x|向上平移a(0<a<1)時(shí)，拋物線與x軸有4 個(gè)交點(diǎn)，.二拋

5、物線解析式 y=x2-2| x|a中，0< a<1,.一1<a <0.【強(qiáng)化練習(xí)】1.有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù) y = 2x2+x的圖象與性質(zhì)，小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y= 1x2+1的圖象與性質(zhì)進(jìn)行 2 x了探究，下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.x3-2-112131 312123y2531一15 8一5318551735m62218822函數(shù)y= 1x2+ 1的自變量x的取值范圍是 工0, m的值為29; 2 x6(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 xOy中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫(huà)出該函數(shù)的大致圖象；(3)進(jìn)一步

6、探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：函數(shù)圖象與 x軸有1,個(gè)交點(diǎn)，所以第3頁(yè)對(duì)應(yīng)方程;x2+1 = 0有1個(gè)實(shí)數(shù)根；方程Jx2+1=2有3個(gè)實(shí)數(shù)根；2 X2 X 結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì).解：(2)函數(shù)圖象如圖所示.(3)答案不唯一，如：函數(shù)沒(méi)有最大值或函數(shù)沒(méi)有最小值 ，函數(shù)圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第四象限.2.問(wèn)題情境：已知矩形的面積為 S(S為常數(shù)，S>0),當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最??？最小值是多少？數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為 x,周長(zhǎng)為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 S、，小y=2(x+-)(x>0). X1探索研究：我們可以借鑒學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)y=x+1(x>0)X'

7、;'的圖象性質(zhì).列表：X14131 21234y17 4m5225210 317 4描點(diǎn)：如圖所示；連線：請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出該函數(shù)的圖象；觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；解決問(wèn)題：在求二次函數(shù)y=ax2 + bx+ c(a# 0)的最大(小)值時(shí)，除了通過(guò)觀察圖象，還可以通過(guò)配方得到.同樣通過(guò)配方也可以求函數(shù) y1=x+ (x>0)的取小值.X、y=x+ ：= (Vx)2+hjx)2= (Vx)2+ (yJX)2 2Vx2vx yjx= (W aJX)2 + 2. (W JX)2A0,2.當(dāng) Vx yx= 0,即 x=1時(shí)，y最小=2.請(qǐng)類(lèi)比上面配方法，直接寫(xiě)出“問(wèn)題情境”中的問(wèn)題的答

8、案.解：探索研究如圖.性質(zhì)：答案不唯一，如：函數(shù)有最小值2,S 當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大.解決問(wèn)題：y=2(x+-) = 2(Vx x''+ 4小，當(dāng)g爰=o, 即乂=4S時(shí)，y有最小值4凡當(dāng)該矩形 的長(zhǎng)為 平時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是44S.3.如圖，P是AB所對(duì)弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM XAB交AB于點(diǎn) M,連接MB,過(guò)點(diǎn)P作PNLMB于點(diǎn)N.已知AB=6 cm,設(shè)A, P 兩點(diǎn)間的距離為x cm, P, N兩點(diǎn)間的距離為y cm.(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或 點(diǎn)B重合時(shí)，y的值為0)小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律 進(jìn)行了探究.下面是小東的

9、探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，得到了 x與y的幾組值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.1160.90(說(shuō)明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的第5頁(yè)點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng) PAN為等腰三角形時(shí)，AP 的長(zhǎng)度約為2.2cm.解：(2)利用描點(diǎn)法，畫(huà)出圖象如圖所示.(3)當(dāng) PAN為等腰三角形時(shí)，x= y,作出直線y=x與圖象的交點(diǎn)坐 標(biāo)為(2.2, 2.2),.PAN為等腰三角形時(shí)，PA=2.2 cm.4.根據(jù)下列要求，解答相關(guān)問(wèn)題：(1)請(qǐng)補(bǔ)全以下求不等

10、式2x2 4xA0的解集的過(guò)程.構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象：根據(jù)不等式的特征構(gòu)造二次函數(shù)y=-2x2- 4x.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x= 1,開(kāi)口向下，頂點(diǎn)( 1,2),與x軸 的交點(diǎn)是(0,0), (2,0),用三點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù) y= -2x2-4x的圖 象如圖1所示；數(shù)形結(jié)合，求得界點(diǎn)：當(dāng) V=。時(shí)，求得方程2x2 -4x= 0的解為；借助圖象，寫(xiě)出解集：由圖象可得不等式一 2x2- 4x> 0的解集為.(2)利用(1)中求不等式解集的方法步驟，求不等式 x2- 2x+ K4 的解集.構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象；數(shù)形結(jié)合，求得界點(diǎn)；借助圖 象，寫(xiě)出解集.(3)參照以上兩個(gè)求不等式解集的過(guò)程，借助一元二次

11、方程的求 根公式，直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式ax2 + bx+ c> 0(a>0)的解集.i*+*f奇i-4 - + »o,Br « a h» B « * I *E *不手+ 1-4 4 «.4 B ifcJ *4*4* *», * , 1 c iR*»*»*1III 1.F.X0 HI， 一，1，/,！ii 1i i > ！+'！ %ai，* '. *' *!1 * 勺*01 2 3 45 %+ i * * 喉; 二 ;：c;t :+3 + T B + 1* r * 

12、7; B *- P *-* 警中*f*f+« V * 1 ：5. 圖f*f*4*21f + y1 ¥ - 4 V B< 4解：(1)X1 = 0, X2= 2;2Wx<0;(2)構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象：構(gòu)造函數(shù) y= x2 2x+1,拋物線的 對(duì)稱(chēng)軸為x=1,開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng) 的一對(duì)點(diǎn)為(0,1), (2,1),用三點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象如解圖所示：數(shù)形結(jié)合，求得界點(diǎn)：當(dāng)y= 4時(shí)，方程x22x+1 = 4的解為 X1 = 1, X2= 3;借助圖象，寫(xiě)出解集：由題圖可知，不等式 x2- 2x+1<4 的解集是1<x<

13、3;(3)當(dāng)b2 4ac>。時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2 + bx+ c>0(a>0)的-口一 b+ Vb24ac b，b4acr 0r解集是x>o或x<o;當(dāng)b24ac=。時(shí),2a2a關(guān)于x的不等式ax2+bx+ c>0(a>0)的解集是x# 2a；當(dāng)b2 4ac<0時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2+bx+ c>0(a>0)的解集是全體實(shí)數(shù).5.已知拋物線C1 :y=ax2-4ax-5(a>0). (1)當(dāng)a=1時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn) 坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸；（2）試說(shuō)明無(wú)論a為何值，拋物線G 一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定 點(diǎn)，并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；將拋物線

14、G沿這兩個(gè)定點(diǎn)所在直線 翻折，得到拋物線G,直接寫(xiě)出C2的表達(dá)式；（3）若（2）中拋物線G的頂點(diǎn) 到x軸的距離為2,求a的值.解：（1）當(dāng) a=1 時(shí),拋物線 G:y=x2-4x-5.?（1 分）令 y=0,則 x2-4x-5=0, 解得Xi=-1,X2=5,.拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,（5,0）,? （2分） 對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.?（3分）（2）由拋物線 C1 :y=aX2-4ax-5（a>0）, 可得其對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=-=2.?（4分）令x=0，有y=-5.拋物線G過(guò)定點(diǎn)（0,-5）.? （5分）易知點(diǎn)（0,-5）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 為點(diǎn)（4,-5）, .由拋物線

15、的對(duì)稱(chēng)性可知，無(wú)論a為何值，拋物線G 一定經(jīng) 過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（0,-5）和（4,-5）.? （6分）y=-ax2+4ax-5（或 y=-a（x-2）2+4a-5）.?（7 分）（3）對(duì)于拋物線 C2:y=-ax2+4ax-5,當(dāng) x=2 時(shí),y=4a-5,拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4a-5）,?（8分）6.閱讀下面材料：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y產(chǎn)ax+b與雙 曲線y2=-?交于A（1,3）和B（-3,-1）兩點(diǎn).圖1觀察圖象可知：x=-3或1時(shí),必二次;當(dāng)-3<x<0時(shí),y1>y2,即通過(guò)觀察函 數(shù)的圖象，可以得到不等式ax+b*的解集.有這樣一個(gè)問(wèn)題：求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上 知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)求不等式x3+4x2-x-4>0的解集進(jìn)行了探究.下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)將(2)(3)(4)補(bǔ)充完整：(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式不成立；當(dāng)x>0時(shí),原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x-1h；當(dāng)x&