行程問(wèn)題教師版

1、第二講相遇與追及【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在今天這節(jié)課中，我們來(lái)研究行程問(wèn)題中的相遇與追及問(wèn)題. 這一講就是通 過(guò)例題加深對(duì)行程問(wèn)題三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系的理解，使學(xué)生養(yǎng)成畫圖解決問(wèn)題的好 習(xí)慣！在行程問(wèn)題中涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題， 其中最常見(jiàn)的是相遇 問(wèn)題和追及問(wèn)題.一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了 A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間 =（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間二速度和X相遇時(shí)間.一般地，相遇問(wèn)題的關(guān)系式為：速度和 X相遇時(shí)間二路程和，即二、追及有兩個(gè)人同時(shí)

2、行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了 “追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在 某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時(shí)間-乙的速度X追及時(shí)間 =（甲的速度-乙的速度）X追及時(shí)間二速度差X追及時(shí)間.般地，追擊問(wèn)題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程二速度差X追及時(shí)間，即S差重重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1 .直線上的相遇與追及2 .環(huán)線上的相遇與追及 &U【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】 1.多人多次相遇與追及【例1】（難度等級(jí)派）一

3、輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行48千米。3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？【分析與解】（46+48 ） X3.5=94 X3.5=329（千米）.【例2 】 （難度等級(jí)）兩地間的路程有255 千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行45 千米，乙車每小時(shí)行40 千米。甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？【分析與解】255 + （45+40 ） =255 +85=3 （小時(shí)）。45 X3=135（千米）。40 X3=120（千米）。.【例3 】 （難度等級(jí)）兩地相距3300 米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘行82

4、米， 乙每分鐘行83 米，已經(jīng)行了15 分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】3300-（82+83 ） X15 + （82+83 ）=3300-165 X15 +165=3300-2475+165=825 +165=5 （分鐘）【例4 】 （難度等級(jí)）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10 千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時(shí)行駛15 千米，乙每小時(shí)行駛10 千米，問(wèn)：乙經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間能追上甲？【分析與解】出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距 10千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短15-10 =5 （千米），即兩人的速度的差（簡(jiǎn)稱速度差） ，所以 10 千米里有幾個(gè)5 千米就是幾小時(shí)能追上.10+ （15-10

5、 ） =10+5=2 （小時(shí)）.【例5 】 （難度等級(jí)） 南轅與北轍兩位先生對(duì)于自己的目的地s 城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時(shí)分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為 50 千米 / 時(shí)， 60 千米 / 時(shí)，那么北轍先生出發(fā) 5 小時(shí)他們相距多少千米?【分析與解】?jī)扇穗m然不是相對(duì)而行，但是仍合力完成了路程，（50+60 ） X 5=550 （千米）.【例6 】 （難度等級(jí)）軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000 米， “我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470 米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問(wèn)“我”海軍

6、英雄艦從A 島出發(fā)經(jīng)過(guò)多少分鐘可射擊敵艦?【分析與解】“我”艦追到 A 島時(shí)， “敵”艦已逃離10 分鐘了，因此，在 A 島時(shí)， “我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000 X10 ）.又因?yàn)椤拔摇迸炘诰嚯x“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400 （ =10000 米-600 米）即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問(wèn)題中，不妨把 9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追及時(shí)間.即（ 1000 X10-600 ） +（1470-1000） = （10000-600 ） +470=9400 +470=20（分鐘），所以，經(jīng)過(guò) 20 分鐘可開炮射擊“敵”艦【例7 】 （難度等級(jí)）

7、小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步，若小紅讓小藍(lán)先跑20 米，則小紅跑5 秒鐘就可追上小藍(lán)；若小紅讓小藍(lán)先跑 4 秒鐘，則小紅跑6 秒鐘就能追上小藍(lán) . 小紅、小藍(lán)二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍(lán)先跑20 米，則 20 米就是小紅、小藍(lán)二人的路程差，小紅跑5 秒鐘追上小藍(lán)，5 秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為20+5=4 （米/秒）；若小紅讓小藍(lán)先跑 4秒，則小紅6秒可追上小藍(lán)，在這個(gè)過(guò)程中，追及時(shí)間為6秒，根據(jù)上一個(gè)條件，由追及差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過(guò)程中的路程差，這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程，路程差就等于4X6=24 （米），也即小藍(lán)在4秒內(nèi)跑了 24米，所以可求出小藍(lán)的速度，也

8、可求出小紅的速度.綜合列式計(jì)算如下： 小藍(lán)的速度為：20+54+4=6 （米/秒），小紅的速度為：6+4=10 （米/秒）【例8】（難度等級(jí)派）小明步行上學(xué)，每分鐘行 70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問(wèn)爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70 X12=840 （米），爸爸與小明的速度差：280-70=210 （米/分），爸爸追及的時(shí)間：840 +210=4 （分鐘）.【例9】（難度等級(jí)派）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家 4千米的地方追上了他.然后爸爸

9、立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【分析與解】畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：，平年小明1笆爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4 =4 （千米）.而爸爸騎的距離是4+ 8= 12 （千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12+4 = 3（彳t）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 8X3=24 （千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了 8分鐘，騎行了 4+ 12 = 16 （千米） 少騎行24-16 =8 （千米）.摩托車的速度是8+8=1 （千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘 .8 + 8+ 16 =

10、32.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分?！纠?0 】 （難度等級(jí)）甲車每小時(shí)行40 千米，乙車每小時(shí)行60 千米。 兩車分別從A， B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后 3 時(shí)，甲車到達(dá)B 地。求A， B 兩地的距離?！痉治雠c解】相遇后甲行駛了 40 X3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說(shuō)明甲乙二人的相遇時(shí)間是120 +60=2小時(shí)，則兩地相距（40+60 ） X2=200 千米.【例 11 】 （難度等級(jí) ）小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。 小紅每分鐘走52 米， 小強(qiáng)每分鐘走70 米， 二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在 A處相遇。小紅和小

11、強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)?【分析與解】因?yàn)樾〖t的速度不變， 相遇地點(diǎn)不變， 所以小紅兩次走的時(shí)間相同， 推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4分。由（70 X4） + （90-70 ） =14 （分），推知小強(qiáng)第二次走了14分，第一次走了 18分，兩人的家相距（52+70 ） X 18=2196（米）.【例 12 】 （難度等級(jí) ）甲乙兩車分別從A、 B 兩地同時(shí)相向開出， 4 小時(shí)后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3 小時(shí)，此時(shí)甲車距B 地 10 千米，乙車距A 地 80 千米問(wèn)：甲車到達(dá)B 地時(shí)，乙車還要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才能到達(dá)A地？【分析與解】由4時(shí)兩車相遇知，4時(shí)兩車共行A, B間的一個(gè)單程.相遇后又行3時(shí)，剩下的

12、路程之和10 +80 =90 （千米）應(yīng)是兩車共行 43 = 1 （時(shí)）的路程.所以 A, B兩地的距離是（10+ 80 ） + （4 3） X4 = 360 （千米）。因?yàn)?時(shí)甲車比乙車共多行 80 10 =70 （千米），所以甲車每時(shí)比米），又因?yàn)閮绍嚂r(shí)甲車行 50千乙車多行70+7=10 （千 每時(shí)共行90千米，所以每 米，乙車行40千米.行個(gè)單程，乙車比甲車多用 360 +40 360 +50 =9 7. 2 = 1 . 8 （時(shí)）=1時(shí)48分.【例13（難度等級(jí)派）甲、乙二人分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘

13、行50米，求A、B兩地的距離.【分析與解】先畫圖如下：若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C,甲追及乙的地點(diǎn)為 D,則由題意可知甲從 A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6 ） =20 （分）。同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于 BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在 26 分鐘內(nèi)所走的路程之和，為 50 X （26 +6） =1600（米）.所以，甲的速度為 1600 + 20 =80 （米/分），由此可求出 A、B間的距離。50 X (26+6 ) + (26-6 ) =50 X 32 + 2080 (米/分)(80+50 ) X 6=

14、130 X 6=780 (米)【例14（難度等級(jí)派）小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行 5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離？【分析與解】畫一張示意圖（可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？）1千米I1甲T離中點(diǎn)1千米的地方是 A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少 1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走（5-4 ）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2 + （5-4 ） =2 （小時(shí)）因此，甲、乙兩地的距離是（ 5+ 4） X2 = 18 （千米）.【

15、例15（難度等級(jí)派）甲、乙兩車分別同時(shí)從 A B兩地相對(duì)開出，第一次在離 A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求 A B兩地間的距離？【分析與解】畫線段示意圖（實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線）:笫1次第遇第2次鼎通可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離.當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了 95千米，當(dāng)它們共行三個(gè) A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即95 X3=285（千米），而這285千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：9

16、5 X3-25=285-25=260（ 千米）.1 .甲、乙二人分別從相距 30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問(wèn)：二人幾小時(shí)后相遇？【答案】3小時(shí)2 .哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書.哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，哥哥才從家出發(fā)，當(dāng)?shù)艿艿竭_(dá)學(xué)校時(shí)哥哥正好追上弟弟也到達(dá)學(xué)校，問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn) ？【答案】520米3 .小新和正南二人同時(shí)從學(xué)校和家出發(fā)，相向而行，小新騎車他的三輪車每分鐘行100米，5分鐘后小新已超過(guò)中點(diǎn)5。米，這時(shí)二人還相距3。米，正南每分鐘行多少米？【答案】74米/分4 . B地在A, C兩地之間.甲從 B地到A

17、地去送信，甲出發(fā) 10分后，乙從 B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后 10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過(guò)來(lái).已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過(guò)來(lái)后返回B地至少要用多少時(shí)間。【答案】先追甲120分鐘，先追乙90分鐘5 .夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，兩地相距1100米，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，問(wèn)兩人在距兩地中點(diǎn)多遠(yuǎn)處相遇？【答案】50米6.甲、乙兩列火車同時(shí)從東西兩鎮(zhèn)之間的A地出發(fā)向東西兩鎮(zhèn)反向而行，它們分別到達(dá)東西兩鎮(zhèn)后，再以同樣的速度返回，已知甲每小時(shí)行 60千米，乙每小時(shí)行70千米,相

18、遇時(shí)甲比乙少行 120千米，東西兩鎮(zhèn)之間的路程是多少千米？（難度等級(jí)）【答案】780千米小新和阿呆各騎一輛自行車從相距32千米的兩個(gè)地方沿直線相向而行，在他們同時(shí)出發(fā)的那一瞬間，一輛自行車把上的一只小鳥開始向另一輛自行車徑直飛去，它一到達(dá)另一輛自行車的車把，就立即轉(zhuǎn)向往回飛行，這只小鳥如此在兩輛自行車的車把之間來(lái)回飛行，直到小新和阿呆相遇為止.如果小新每小時(shí)行駛 17千米，阿呆每小時(shí)行駛 15千米，小鳥每小時(shí)飛行24千米，那么小鳥總共飛行了多少千米?“答案】24千米第三講行程之流水行船箍富【專題知識(shí)點(diǎn)概述】J通常我們所接觸的行程問(wèn)題可以稱作為“參考系速度為 0”的行程問(wèn)題，例 如當(dāng)我們研究甲乙

19、兩人在一段公路上行走相遇時(shí)， 這里的參考系便是公路，而公 路本身是沒(méi)有速度的，所以我們只需要考慮人本身的速度即可。但是在流水行船問(wèn)題中，我們的參考系將不再是速度為 0的參考系，因?yàn)樗?身也是在流動(dòng)的，所以這里我們必須考慮水流速度對(duì)船只速度的影響.一i、基本概念順?biāo)俣?船速+水速，V順V船V水 逆水速度=船速-水速.V逆V船V水（其中V船為船在靜水中的速度，V水為水流的速度） 由上可得：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2; 水速二（順?biāo)俣?逆水速度）+2.二、流水行船中的相遇與追及（1）兩只船在河流中相遇問(wèn)題.當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、

20、乙兩船速度和.這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）+ （乙船速-水 速）二甲船船速+乙船船速.這就是說(shuō)，兩船在水中的相遇問(wèn)題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問(wèn)題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.（2）同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間， 也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無(wú)關(guān).這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水 速）二甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度二（甲船速-水速）-（乙船速-水速）= 甲船速-乙船速.這說(shuō)明水中追及問(wèn)題與在靜水中追及問(wèn)題一樣 .由上述討論知，解流水行船問(wèn)題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的相遇和追及問(wèn)題來(lái)

21、解答【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇與追及1流水行船中的相遇與追及【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)刈一艘輪船在兩個(gè)港口間航行，水速為每小時(shí)6千米，順?biāo)滦行枰?4小時(shí)，返回上行需要7小時(shí).求：這兩個(gè)港口之間的距離 ？【分析與解】（船速+6 ） X4=（船速-6） X7,可得船速二22 ,兩港之間的距離為：（22+6 ） X4=112 千米.【例2】（難度等級(jí)派）兩個(gè)碼頭相距 352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí).逆流而上，行完全程需要16小時(shí)，求這條河水流速度?！痉治雠c解】（352 +11-352 +16 ） +2=5 （千米/小時(shí)）.【例3】（難度等級(jí)派

22、）甲、乙兩港間的水路長(zhǎng) 208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治雠c解】順?biāo)俣龋?08 +8=26 （千米/小時(shí)），逆水速度：208 +13=16 （千米/小時(shí)），船速：（26+16 ）+2=21 （千米/小時(shí)），水速：（26 16）+2=5 （千米/小時(shí)）【例 4 】 （難度等級(jí) ）船往返于相距180 千米的兩港之間，順?biāo)滦栌?10 小時(shí)，逆水而上需用 15 小時(shí)。由于暴雨后水速增加，該船順?biāo)兄恍? 小時(shí)，那么逆水而行需要幾小時(shí)?【分析與解】本題中船在順?biāo)?、逆水、靜水中的速度以及水流的速度都可以求出 .但

23、是由于暴雨的影響，水速發(fā)生變化，要求船逆水而行要幾小時(shí)，必須要先求出水速增加后的逆水速度.船在靜水中的速度是：（180 +10+180 +15）+2=15 （千米/小時(shí)）.暴雨前水流的速度是：（180 +10-180 +15 ） +2=3 （千米/小時(shí)）.暴雨后水流的速度是：180+9-15=5（千米/小時(shí)）.暴雨后船逆水而上需用的時(shí)間為：180 + （15-5 ） =18 （小時(shí)）.【例 5 】 （難度等級(jí) ）甲、 乙兩艘小游艇， 靜水中甲艇每小時(shí)行2.2 千米， 乙艇每小時(shí)行1.4 千米。 現(xiàn)甲、乙兩艘小游艇于同一時(shí)刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行， 乙艇從相距18 千米的上游下行，兩艇于途中相

24、遇后， 又經(jīng)過(guò) 4 小時(shí)， 甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地。 問(wèn)航道上水流速度為每小時(shí)多少千米?【分析與解】18+（2.2+1.4）=5（小時(shí)），所以經(jīng)過(guò) 5小時(shí)后兩艇相遇。2.2-18 +（5+4）=0.2（千米/小時(shí)），所以航道上水流速度為每小時(shí)0.2千米.【例 6 】 （難度等級(jí) ）乙船順?biāo)叫? 小時(shí)，行了 120 千米，返回原地用了 4 小時(shí) . 甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?3 小時(shí) . 甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)?【分析與解】乙船順?biāo)俣龋?20 + 2=60 （千米/小時(shí)）.乙船逆水速度：120 +4=30 （千米/小時(shí)）。水流速度：（60-30 ） +2 = 15 （千米/小時(shí)）.

25、甲船順?biāo)俣龋?20 +3 = 40 （千米/小時(shí)）。甲船逆水速度：40-2X15=10 （千米/小時(shí)）.甲船逆水航行時(shí)間：120+10=12（小時(shí)）。甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間： 12-3=9 （小時(shí)） 【例 7 】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí)24 千米和每小時(shí)32 千米，兩船從某河相距336 千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時(shí)后乙船追上甲船？【分析與解】相遇時(shí)用的時(shí)間：336 + （24+32 ） =6 （小時(shí)），追及用的時(shí)間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336 + （32 24 ） = 42 （小時(shí)）【例 8 】

26、 （難度等級(jí) ）小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過(guò)船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2 千米， 假定小船的速度是每小時(shí)4 千米，水流速度是每小時(shí)2 千米， 那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？【分析與解】此題是水中追及問(wèn)題，已知路程差是2 千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴? 水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差= 船順?biāo)俣? 水壺飄流的速度 = （船速 + 水速） - 水速 = 船速 .路程差+船速=追及時(shí)間，2+4=0.5（小時(shí)）.【例 9 】 （難度等級(jí) ）乙兩船的船速分別為每小時(shí)22 千米和每小時(shí)18 千米 兩船先后從同一港口順?biāo)_出， 乙船比甲船早出發(fā) 2 小時(shí)

27、，如果水速是每小時(shí)4 千米，問(wèn)：甲船開出后幾小時(shí)能追上乙船？【分析與解】要求甲船追上乙船所用的時(shí)間，根據(jù)公式：路程差=速度差X追及時(shí)間，關(guān)鍵要求出路程差（速度差由題干所給條件容易求出 ） ，即甲出發(fā)時(shí)，乙已經(jīng)行駛過(guò)的路程，為順?biāo)谐虇?wèn)題乙船先行的路程為：（18+4）x2=44（千米），追及時(shí)間為：4422-18）=44+4=11（小時(shí)）?！纠?10 】 （難度等級(jí)）某河有相距45 千米的上、下兩碼頭，每天定時(shí)有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時(shí)出發(fā)相向而行. 一天甲船從上游碼頭出發(fā)時(shí)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下， 4 分鐘后，與甲船相距1 千米 . 預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可以與此物相遇

28、?【分析與解】船速：1000 +4=250 （米/分），相遇時(shí)間：45000 +250=180（分）=3 （小時(shí)）.【例 11 】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩船在靜水中速度相同，它們同時(shí)自河的兩個(gè)碼頭相對(duì)開出， 3 小時(shí)后相遇已知水流速度是 4 千米小時(shí)求：相遇時(shí)甲、乙兩船航行的距離相差多少千米?【分析與解】為了求出相遇時(shí)兩船航行的距離相差多少， 若考慮將兩船的各自航程分別求出的話， 需根據(jù)：航程=速度X時(shí)間，要求出兩船的順?biāo)俣然蚰嫠俣?，即要求兩船（在靜水中）的船速.而在兩船的船速相同的情況下， 一船由已知條件分析，船速無(wú)法求出.下面我們來(lái)分析一下, 順?biāo)?，一船逆水，它們的航程差是什么造成的?/p>

29、不妨設(shè)甲船順?biāo)?，乙船逆水甲船的順?biāo)俣? 船速 + 水速，乙船的逆水速度= 船速一水速，故：速度差=（船速+水速）一（船速一水速）=2 X水速，即：每小時(shí)甲船比乙船多走2X4=8（千米）.3小時(shí)的距離差為3 X 8=24（千米）.【例 12 】 （難度等級(jí)）甲、乙兩船從相距 64千米的A、R兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，2小時(shí)相遇；若兩船同時(shí)同向而行，則甲用 16 小時(shí)趕上乙問(wèn)：甲、乙兩船的速度各是多少？【分析與解】?jī)纱乃俣群?64 +2=32 （千米/小時(shí)），兩船的速度差=64 +16=4（千米/小時(shí)），根據(jù)和 差問(wèn)題，分別求甲、乙兩船的速度： 18 和 14 千米小時(shí)【例 13 】 （難度等級(jí)）

30、江上有甲、 乙兩碼頭， 相距 15 千米，甲碼頭在乙碼頭的上游， 一艘貨船和一艘游船同時(shí)從甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛， 5 小時(shí)后貨船追上游船。 又行駛了 1 小時(shí)， 貨船上有一物品落入江中 （該物品可以浮在水面上） ， 6 分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了， 便掉轉(zhuǎn)船頭去找， 找到時(shí)恰好又和游船相遇。 則游船在靜水中的速度為每小時(shí)多少千米.【分析與解】此題可以分為幾個(gè)階段來(lái)考慮。 第一個(gè)階段是一個(gè)追及問(wèn)題。 在貨艙追上游船的過(guò)程中， 兩 者的追及距離是15千米， 共用了 5小時(shí)，故兩者的速度差是15 + 5=3千米。由于兩者都是順?biāo)叫校?故在靜水中兩者的速度差也是3 千米。 在緊接著的 1 個(gè)小時(shí)

31、中， 貨船開始領(lǐng)先游船，兩者最后相距3X1=3千米.這時(shí)貨船上的東西落入水中，6分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。 此時(shí)貨船離落在水中的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度1/10 千米，從此時(shí)算起， 到貨船和落入水中的物體相遇， 又是一個(gè)相遇問(wèn)題， 兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度，所以這段時(shí)間是貨船的靜水速度1/10 +貨船的靜水速度=1/10小時(shí)。按題意，此時(shí)也剛好遇上追上來(lái)的游船。貨船開始回追物體時(shí)，貨船和游船剛好相距3+3X 1/10=33/10 千米，兩者到相遇共用了 1/10 小時(shí)，幫兩者的速度和是每小時(shí) 33/10 + 1/10=33千米，這與它們兩在靜水中的速度和相等。（解釋一下）又已知

32、在靜水中貨船比游船每小時(shí)快3千米，故游船的速度為每小時(shí)（33-3 ） + 2=15千米14】 （難度等級(jí)） 一條船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為每小時(shí) 9千米，平時(shí)逆行與順行所 用的時(shí)間比為2:1。一天因?yàn)橄卤┯?，水流速度是原?lái)的 2倍，這條船往返共用了 10小時(shí)， 甲、乙兩港相距多少千米？【分析與解】平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2:1 ,設(shè)水流的速度為 x,則9+x=2 （9-x ）, x=3 。那么下暴雨時(shí)，水流的速度是 3X2=6 （千米），順?biāo)俣染褪?+6=15 （千米），逆水速度就是 9-6=3 （千米）。逆行與順行的速度比是 15:3=5:1 。逆行用的時(shí)間就是 1

33、0 X5/（1+5）=25/3 （小時(shí)），兩港之間的距離是 3 X25/3=25 （千米）.【例15（難度等級(jí)派）A、B兩景點(diǎn)相距10千米，一艘觀光游船從 A景點(diǎn)出發(fā)抵達(dá)B景點(diǎn)后立即返回，共用3小時(shí).已知第一小時(shí)比第三小時(shí)多行 8千米，那么水速為每小時(shí) 千米？ 【分析與解】第一小時(shí)比第三小時(shí)多行，所以去的時(shí)候順?biāo)?，回的時(shí)候逆水.因?yàn)榈谝恍r(shí)比第三小時(shí)多行8千米， 所以第一小時(shí)行的肯定超過(guò) 8千米.如果第一小時(shí)之內(nèi)尚未到達(dá)B景點(diǎn)，則后兩小時(shí)行的總和超過(guò) 10千米，第三小時(shí)要逆水而行超過(guò)5千米（不然的話逆水而行一小時(shí)不超過(guò)5千米，第二小時(shí)又要先順行一段，又要逆行超過(guò)5千米，這不可能在一小時(shí)內(nèi)完成）

34、，但這樣的話第一小時(shí)比第三小時(shí)多行的將少于8千米，矛盾.所以第一小時(shí)之內(nèi) 已經(jīng)到達(dá)B景點(diǎn)了， 后兩小時(shí)都逆水行駛.那么后兩小時(shí)行的路程相等，為20 +（8-3 ） =4千米， 第一小時(shí)行了 4+ 8 =12千米. 所以逆水速度為4千米/時(shí)，逆水行2千米需要半小時(shí)，所以第一小時(shí)的前半小時(shí)順?biāo)辛?0千米，順?biāo)俣葹?0千米/時(shí)， 所以水速為（20 -4 ）+2 =8千米/時(shí).劉【作業(yè)】1. 一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16時(shí)；順流航行60千米，逆流航行120千米也用16時(shí)。求水流的速度？【答案】2.5千米/小時(shí)2. 某船順流而下，行完全程要11小時(shí)；逆流而上， 行完全程要16

35、小時(shí)，已知水流速度為每小時(shí)10千米，則順流速度為 千米/時(shí)， 全程的距離為千米？【答案】64千米/小時(shí)，704千米3. 一艘輪船在兩個(gè)港口間航行，船速為每小時(shí)21千米，順?biāo)滦行枰?小時(shí)，返回上行需要9小時(shí). 求這兩個(gè)港口之間的距離？【答案】135千米4. 甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需 35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花 了 5小時(shí)?，F(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí) 12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少 小時(shí)？【答案】64小時(shí)5. 一只小船在靜水中的速度為每小時(shí)25千米. 它在長(zhǎng)144千米的河中逆水而行用了 8小時(shí). 求返回原處需用幾個(gè)小時(shí)？【答案】4.5小時(shí)兆戰(zhàn)自己（難度等級(jí)）只快

36、船從甲地到乙地往返共用4小時(shí)。去時(shí)順?biāo)确祷貢r(shí)逆水每小時(shí)多行10千米，因此,、前兩小時(shí)比后兩小時(shí)多行 16千米，則甲、乙兩地的水路長(zhǎng)多少千米?【答案】40千米第四講行程之火車問(wèn)題螺演【專題知識(shí)點(diǎn)概述】0在行程問(wèn)題這個(gè)大家族中，除了我們常常研究的相遇與追擊外，還有三大 類我們必須了解的問(wèn)題：火車過(guò)橋、流水行程和時(shí)鐘問(wèn)題.它們雖然也涉及速度、 時(shí)間、路程這三個(gè)基本關(guān)系，但在應(yīng)用中要兼顧考慮一些其它因素，譬如：火 車車長(zhǎng)、水流速度等等.其中火車過(guò)橋、流水行程是我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)有 所接觸的內(nèi)容，在下面的學(xué)習(xí)中我們先回憶鞏固原有基本概念，而后相應(yīng)的拓 展提高！一、解火車過(guò)橋問(wèn)題常用方法 火車過(guò)橋時(shí)

37、間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是 橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和.火車與人錯(cuò)身時(shí)，忽略人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與 火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和則為兩車身長(zhǎng)度之和.火車與火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的 長(zhǎng)度，那么他所看到的錯(cuò)車的相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.對(duì)于火車過(guò)橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、 追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來(lái)進(jìn)行.:重重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1 .火車過(guò)橋要謹(jǐn)記車身長(zhǎng)度2 .火車與多人多次相遇與追及【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1 .火車與多人多次相遇與追及【習(xí)題精講】【例 1 】 （難度等

38、級(jí)）慢車的車身長(zhǎng)是142 米， 車速是每秒17 米， 快車車身長(zhǎng)是173 米， 車速是每秒22 ， 慢車在前面行駛，快車從后面追上到完全超過(guò)慢車需要多少時(shí)間 ?【分析與解】根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車的追及情況，（ 142 + 173 ） + （22 17） = 63（秒）【例 2 】 （難度等級(jí)）一列客車長(zhǎng)190 米，一列貨車長(zhǎng) 240 米，兩車分別以每秒20 米和 23 米的速度相向行進(jìn)，在雙軌鐵路上，兩車從車頭相遇到車尾相離共需要多少時(shí)間 .【分析與解】根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車相遇的情況，（190 +240 ） + （20 +23 ） =10 （秒）【例 3 】 （難

39、度等級(jí)）一列長(zhǎng) 72 米的列車，追上長(zhǎng)108 米的貨車到完全超過(guò)用了 10 秒，如果貨車速度為原來(lái)的1.4 倍，那么列車追上到超過(guò)貨車就需要15 秒。貨車的速度是每秒多少米？【分析與解】根據(jù)題目的條件，可求出兩列火車原來(lái)的速度之差，當(dāng)貨車速度為原來(lái)的 1.4 倍后，也可求出列車與加速后的貨車速度之差，再根據(jù)前后兩次速度之差的變化，就可求出貨車的速度。兩列火車的長(zhǎng)度和： 72+108=180 （米）列車與貨車原來(lái)速度差：180 勺0=18（米）列車與加速后貨車的速度差：180 勺5=12（米）貨車的速度是：（18-12 ） + （1.4-1 ） =15 （米）【例 4 】 （難度等級(jí)）長(zhǎng) 180

40、 米的客車速度是每秒15 米，它追上并超過(guò)長(zhǎng) 100 米的貨車用了 28 秒，如果兩列火車相向而行，從相遇到完全離開需要多少時(shí)間？【分析與解】根據(jù)題目的條件， 可求出客車與貨車的速度差， 再求出貨車的速度， 進(jìn)而可求出兩車從相遇到完全離開需要的時(shí)間。兩列火車的長(zhǎng)度之和： 180 100=280 （米）兩列火車的速度之差：280 + 28=10 （米）貨車速度： 15-10=5 （米）兩列火車從相遇到完全離開所需的時(shí)間：280 + （15 +5） = 14 （秒）【例5 】 （難度等級(jí)）快車長(zhǎng) 106 米， 慢車長(zhǎng) 74 米，兩車同向而行， 快車追上慢車后，又經(jīng)過(guò) 1 分鐘才超過(guò)慢車；如果相向而

41、行，車頭相接后經(jīng)過(guò)12 秒兩車完全離開。求兩列火車的速度?！痉治雠c解】根據(jù)題目的條件， 可求出快車與慢車的速度差和速度和， 再利用和差問(wèn)題的解法求出快車與慢車的速度。兩列火車的長(zhǎng)度之和： 106 74=180 （米）快車與慢車的速度之差：180 + 60=3 （米）快車與慢車的速度之和： 180 + 12 = 15 （米）快車的速度：（15+3） +2=9 （米）慢車的速度：（15-3 ） +2=6 （米）【例6 】 （難度等級(jí)）方方以每分鐘 60 米的速度沿鐵路邊步行，一列長(zhǎng)252 米的貨車從對(duì)面而來(lái)，從他身邊通過(guò)用了 12 秒鐘，求列車的速度?【分析與解】20m/s, 可以把火車就看成兩點(diǎn)

42、，頭和尾，頭遇到人的時(shí)候?qū)嶋H上尾和人相距252m ， 12s后人和尾相遇，人走12m ，車 240m 【例7 】 （難度等級(jí)）一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280 米，慢車的車長(zhǎng)是385 米，坐在快車上的人看見(jiàn)慢車駛過(guò)的時(shí)間是11 秒，那么坐在慢車上的人看見(jiàn)塊車駛過(guò)的時(shí)間是多少秒？【分析與解】8s ，可以把車上的人給抽象出來(lái)看成一點(diǎn)，那么就類同題 1 。得出快車和慢車的速度和是35,反之，由車長(zhǎng)和速度得到280/35 =8【例 8 】 （難度等級(jí) ）. 優(yōu)良例如同方向行駛的火車，快車每秒行30 米，慢車每秒行22 米。如果從輛車頭對(duì)齊開始算，則行24 秒后快車超過(guò)慢車，如果從輛車尾對(duì)

43、齊開始算，則行28 秒后快車超過(guò)慢車?？燔囬L(zhǎng)多少米，滿車長(zhǎng)多少米？【分析與解】快車每秒行30 米，慢車每秒行22 米。如果從輛車頭對(duì)齊開始算，則行24 秒后快車超過(guò)慢車，每秒快8 米， 24 秒快出來(lái)的就是快車的車長(zhǎng) 192m ，如果從輛車尾對(duì)齊開始算，則行 28 秒后快車超過(guò)慢車那么看來(lái)這個(gè)慢車比快車車長(zhǎng)， 長(zhǎng)多少呢？長(zhǎng)得就是快車這4 秒內(nèi)比慢車多跑的路程啊4X8 = 32,所以慢車224 .【例 9 】 （難度等級(jí) ）某列車通過(guò)250 米長(zhǎng)的隧道用 25 秒，通過(guò) 210 米長(zhǎng)的隧道用 23 秒，若該列車與另一列長(zhǎng)150 米 . 時(shí)速為 72 千米的列車相遇，錯(cuò)車而過(guò)需要幾秒鐘？【分析與解

44、】根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000 +3600 =20 （米/秒），某列車的速度為：（25O 210 ） + （25 23 ） = 40 +2 =20 （米/秒）某列車的車長(zhǎng)為：20 X25-250 = 500-250 =250 （米），兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：（250 + 150 ） + （20 +20 ） = 400 +40 = 10 （秒）?！纠?10 】 （難度等級(jí)）鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上， 有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)， 行人速度為 3.6 千米/ 時(shí)，騎車人速度為 10.8 千米 / 時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過(guò)來(lái)，火車通過(guò)行人用 22秒，通過(guò)騎

45、車人用 26 秒，這列火車的車身總長(zhǎng)是多少?【分析與解】本題屬于追及問(wèn)題， 行人的速度為 3.6 千米 /時(shí)=1 米 /秒， 騎車人的速度為 10.8 千米 /時(shí)=3 米/秒?；疖嚨能嚿黹L(zhǎng)度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為 x 米/ 秒，那么火車的車身長(zhǎng)度可表示為（ x-1 ）X22或（x-3 ） X26,由此不難列出方程。設(shè)這列火車的速度是x 米 / 秒，依題意列方程，得（x-1 ） X22= （x-3 ） X26。解得x=14 。所以火車的車身長(zhǎng)為（ 14-1 ） X 22=286（米）【例11 】 （難度等級(jí)）以同一速度行駛的一列火車， 經(jīng)過(guò)一根有信號(hào)燈的電線桿用了 9 秒， 通過(guò)一座 468 米長(zhǎng)的鐵橋用了35 秒，這列火車長(zhǎng)多少米？【分析與解】火車行駛一個(gè)車身長(zhǎng)的路程用時(shí)9 秒，行駛 468 米長(zhǎng)的路程用時(shí)35-9=26（ 秒 ） ，所以火車長(zhǎng) 468 +26 X