多元函數(shù)微分學(xué)其他題型2.doc

1、多元函數(shù)微分學(xué)其他題型2其它題型（共 70 小題）1、求橢圓的長半軸與短半軸之長。_ y _ y z 225236+=+=-?2、求橢球面上距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。_ y z 2222470+=236105_ y z -+=3、求平面和柱面交線上與平面距離最短點(diǎn)的坐標(biāo)。_ y z +=236_ y 225+=_y 4、利用拉格朗日乘數(shù)法，求橢圓拋物面到平面的最短Z _ y =+222_ y z +-=232距離。5、利用拉格朗日乘數(shù)法，試在橢球面上，求距離平面21222_ y z +=的最近點(diǎn)和最近距離、最遠(yuǎn)點(diǎn)和最遠(yuǎn)距離。26_ y z +-=6、將分成三個(gè)正數(shù)的和，使它們的正弦值之和取最大

2、值。7、求函數(shù)在條件下的極大值，并證u _y z =2_ y z R _ y z 22224000+=>>>,明對(duì)任意正數(shù)成立。其中。a b c ,ab c a b c 24164+R >08、在空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)處有一單位正電荷，設(shè)另有一單位負(fù)電荷在橢圓p 上移動(dòng)，問兩電荷間的引力何處最大及何處最?。縵 _ y _ y z =+=-?2219、求函數(shù)在條件下的u _ y z =+ln ln ln 23_ y z R _ y z 22226000+=>>>,極大值，從而證明對(duì)任意正數(shù)成立。其中。a b c ,ab c a b c 2361432+R &

3、gt;010、在平面上求一點(diǎn)，使它到三條直線的_y M _ y (,)_ y _ y _ +=-=-24242,距離平方和為最小。11、在空間找一點(diǎn)，使它到三個(gè)平面P _ y z (,)的距離平方和為最小。_ y z _ y z y z +=-+=-=111,12、作一個(gè)容積為立方米的圓柱形無蓋容器，應(yīng)如何選擇尺寸，方能使用料最省。V 13、作一個(gè)容積為立方米的長方體有蓋容器，應(yīng)如何選擇尺寸，方能使用料最省。V 14、求棱長之和為，且具有最大體積的長方體體積。120l l >15、橫截面為半圓形的圓柱形的張口容器，其表面積等于，當(dāng)容器的斷面半徑與長S 度各為多大時(shí)，容器具有最大容積？16

4、、求內(nèi)接于半徑為R 的球且具有最大體積的圓柱體的尺寸。17、在旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成的立體內(nèi)，求底面平行于平面的z _ y =+22z h =_y 最大長方體的體積（）。h >018、用拉格朗日乘數(shù)法求解下面的問題：隧道截面的上部為半圓，下部為矩形，若隧道截面的周界長L 固定，問矩形的邊長各為多少時(shí)，隧道截面的面積最大？19、求外切于半徑為R 的圓，且具有最小面積的三角形的尺寸。20、求體積為常數(shù)V ，且棱長之和為最小的長方體的尺寸。21、求內(nèi)接于橢圓且邊平行于坐標(biāo)軸，并具有最大面積的長方形的面_ y 22416+=積。22、在橢球體位于第一卦限的部分內(nèi)，作各側(cè)面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)_ a

5、y b z c2222221+接長方體，問長方體的尺寸如何，方能使其體積為最大？（）a b c >>>000,23、在圓的部分上找點(diǎn) ，使其到點(diǎn) 的距離為_ y 221+=_ y 00,P M (,)21最小。24、求表面積為S ，而體積為最大的圓柱體的體積。25、求表面積為而體積為最大的長方體的尺寸。a 2a >026、已知平面上兩點(diǎn)，試在橢圓的部分上找A B (,),(,)1342_ y 22491+=_ y 00,點(diǎn) ，使得 的面積為最大。C ?ABC 27、要造一容積為128立方米的長方體敞口水池，已知水池側(cè)壁的單位造價(jià)是底部的2倍，問水池的尺寸應(yīng)如何選擇，方能

6、使其造價(jià)最低？28、造一容積為V 形狀為圓柱體的煤氣罐，已知其頂部和側(cè)壁每單位面積的造價(jià)分別是底部每單位面積造價(jià)的2倍和3倍，問如何設(shè)計(jì)，方能使其造價(jià)最低？29、修建一座容積為V ，形狀為長方體的廠房，已知屋頂每單位面積的造價(jià)是墻壁每單位面積造價(jià)的兩倍，地面造價(jià)不計(jì)，問如何設(shè)計(jì)，可使其造價(jià)最低？30、計(jì)劃作一批形狀為圓柱體的油桶，每只油桶造價(jià)定為元，已知油桶側(cè)壁每單位a 面積的造價(jià)是其上下兩面每單位面積造價(jià)的1.5倍，問如何設(shè)計(jì)油桶的尺寸，才能使每只油桶的容積達(dá)到最大？31、修建一座容積為V 形狀為長方體的地下倉庫，已知倉庫頂和墻壁每單位面積的造價(jià)分別是地面每單位面積造價(jià)的4倍和3倍，問如何設(shè)

7、計(jì)可使其造價(jià)最低？32、某廠生產(chǎn)容積為立方米形狀為圓柱體的盒子，其頂部，底部和側(cè)面用不同0176.的材料制成，它們每平方米的價(jià)格分別為4元，1.5元和2元，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使盒子成本最??？33、修建一座形狀為長方體的倉庫，已知倉庫頂每平方米造價(jià)為300元，墻壁每平方米造價(jià)為20_元，地面每平方米造價(jià)為100元，其它的固定費(fèi)為2萬元，現(xiàn)投資14萬元，問如何設(shè)計(jì)方能使倉庫的容積最大？34、沿廠房的后墻修建一座容積為V 形狀為長方體的倉庫，已知倉庫的屋頂和墻壁每單位面積的造價(jià)分別為地面每單位面積造價(jià)的2倍和1.5倍，廠房后墻的長和高足夠，因而這一面墻壁的造價(jià)不計(jì)，問如何設(shè)計(jì)，方能使倉庫的造價(jià)最低？3

8、5、現(xiàn)投資萬元修建一座形狀為長方體的廠房，已知每單位面積征地費(fèi)用為a 元，設(shè)廠房的長、寬、高分別為 單位，則其造價(jià)，其中常數(shù)b _ y z ,2k_yz C =，問如何設(shè)計(jì)廠房的長、寬、高，方能使其容積最大？0>k 36、已知函數(shù)在點(diǎn)處帶余項(xiàng)的一階泰f _ y _ _ y y _ (,)=+-+3222345)0,0(勒公式是，試用拉格朗日型的余項(xiàng)表達(dá) 。f _ y _ R (,)=-+5411R 37、已知函數(shù)在點(diǎn)處帶余項(xiàng)的一階泰勒公式是f _ y _ y (,)ln=+122)0,0(，試用拉格朗日型的余項(xiàng)表達(dá) 。f _ y y R (,)=+211R 38、若同1相比是很小的量，試

9、利用關(guān)于的二次多項(xiàng)式_ y -12,_ y -12來近似表示函數(shù)。f _ y _ y (,)=39、設(shè)函數(shù)對(duì)各變?cè)哂幸浑A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試用和的一次項(xiàng)近f u v (,)_ +3y -2似表示函數(shù)。z f _ y _ y =+(,)2240、若同1相比是很小的量，試將函數(shù)用的二次多項(xiàng)式y(tǒng) _ ,f _ y e_ y(,)=+3y _ ,來近似表達(dá)。41、設(shè)由方程確定函數(shù)，且，試寫出函數(shù)z _y y z 32423-=z z _ y =(,)z (,)111-=在點(diǎn)（1，1）處的二階泰勒多項(xiàng)式。z _ y (,)42、設(shè)由方程確定函數(shù)，且，將函數(shù)e _ y z z+-=2230z z _ y =(

10、,)z (,)010=在點(diǎn)處展開為二階帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。z _ y (,)(,)0143、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的一階泰勒多項(xiàng)式為f _ y _ y (,)ln=+23(,)-11，試寫出其拉格朗日型余項(xiàng)。2131_ y +-R 144、設(shè)函數(shù)的二階麥克勞林多項(xiàng)式為f _ y _ y (,)ln=+1，試寫出其拉格朗日型余項(xiàng)。_ y _ _y y +-12222!R 245、設(shè)函數(shù)的二階麥克勞林多項(xiàng)式為，試寫f _ y e y _(,)ln=+1y _y y +-1222出其拉格朗日型的余項(xiàng)。R 246、設(shè)，用的多項(xiàng)式近似代替函數(shù)_ y +12_ y ,!_ y _ y _ y +-+1315

11、35，能否使其誤差不超過 ，試說明。f _ y _ y (,)sin=+510-47、設(shè)，用的多項(xiàng)式近似代替函數(shù)，要求使其_ y +1_ y ,f _ y _ y (,)cos=+誤差不超過0.01。48、在點(diǎn)根據(jù)泰勒公式展開函數(shù)到二次項(xiàng)為止，并利用結(jié)果計(jì)算(,)12f _ y _ y(,)=的近似值。102201.49、寫出函數(shù)的二階麥克勞林多項(xiàng)式，并由此計(jì)算f _ y e y _(,)ln=+1的近似值。e 003098.ln .50、設(shè)由方程確定函數(shù)，且，在點(diǎn)e _ y z z+-=2230z z _ y =(,)z (,)010=根據(jù)泰勒公式展開函數(shù)到二次項(xiàng)為止，并利用結(jié)果計(jì)算的近似(

12、,)01z _ y (,)z (.,.)-003102值。51、已知坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)，在此平面上找點(diǎn)，使其到點(diǎn)A _ yB _ y (,),(,)1122M A,B 的距離平方和為最小。52、已知坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，在此平面上找點(diǎn)，A _ yB _ yC _ y (,),(,),(,)112233M 使其到點(diǎn)A,B,C 的距離平方和為最小。53、已知坐標(biāo)平面上個(gè)點(diǎn)，在此平面上找點(diǎn)，使其n M _ y i n i i i (,),=-?12M 到點(diǎn) 的距離平方和為最小。M i 54、設(shè)在上連續(xù)，試?yán)米钚《朔ǖ乃枷?，以直線段擬合曲f _ ,01b a_ y +=線段，即使最小，求常數(shù) 的值。y f

13、_ _ =01?-102d )(_ b a_ _ f b a ,55、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)使橢圓在該點(diǎn)的切線、橢圓在第一_ a y b22221+=象限的部分及坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積最小，其中。a b >>00,56、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)，使橢圓在該點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸293622_ y +=所圍三角形的面積最小，并求最小三角形面積。57、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)，使橢圓在該點(diǎn)的切線位于兩坐標(biāo)_ y 2294+=軸之間的一段長度為最短，并求最短長度。58、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)，使橢圓在該點(diǎn)的切線在坐標(biāo)軸_ y 226464+=上的截距之和最小。59、惠更斯

14、問題：設(shè)，在之間插入個(gè)數(shù)，0 a _ _ _b n 取最大值，問應(yīng)滿足什么條件？u _ _ _ a _ _ _ _ b nn =-?+-?+12112_ _ _ n 12,-?60、求周長為且對(duì)角線最短的矩形面積。2p 61、周長為的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體，求最大旋轉(zhuǎn)體的體積。2p 62、求周長為且面積最大的三角形的面積。2p 63、在橢球面的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使橢球面在該點(diǎn)處的_ y z 22241616+=切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為最小。64、在橢球面的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使橢球面在該點(diǎn)2823222232/_ y z +=+處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為最小。65、在橢球面的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使橢球面在該點(diǎn)處的切平_ a y b z c2222221+=面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之平方和為最小，其中。a b c >>>000,66、求過點(diǎn)（2，3，6）的平面，使此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)，且平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為最小，并求最小四面體的體積。67、求過點(diǎn)（2，4，2）的平面，使此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)，且截距之平方和為