第四章 固態(tài)電子論基礎(chǔ)4-2ppt

1、固體物理固體物理 利用索末菲的利用索末菲的自由電子氣模型自由電子氣模型，特別是根據(jù)金屬的，特別是根據(jù)金屬的費(fèi)米屬性，我們便可以很容易地解釋金屬的費(fèi)米屬性，我們便可以很容易地解釋金屬的熱容熱容、電導(dǎo)電導(dǎo)和和熱導(dǎo)熱導(dǎo)等物理性質(zhì)。等物理性質(zhì)。 4-4 金屬的熱容、電導(dǎo)與熱導(dǎo)金屬的熱容、電導(dǎo)與熱導(dǎo)第四章第四章 固態(tài)電子論基礎(chǔ)固態(tài)電子論基礎(chǔ)金屬是由金屬離子構(gòu)成的金屬是由金屬離子構(gòu)成的晶格晶格與與價(jià)電子價(jià)電子（自由電子）（自由電子）組成的。金屬的熱容應(yīng)該包括組成的。金屬的熱容應(yīng)該包括晶格振動(dòng)的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)的貢獻(xiàn)（即（即聲子氣的貢獻(xiàn)）和聲子氣的貢獻(xiàn)）和自由電子氣的貢獻(xiàn)自由電子氣的貢獻(xiàn)兩部分。在兩部分。在常常

2、溫溫下下電子氣的熱容電子氣的熱容遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聲子氣的熱容聲子氣的熱容，故可以，故可以忽略電子氣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)，金屬的熱容主要以忽略電子氣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)，金屬的熱容主要以聲子聲子氣熱容氣熱容的形式表現(xiàn)出來(lái)，在常溫下為一與溫度無(wú)關(guān)的形式表現(xiàn)出來(lái)，在常溫下為一與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)，滿足的常數(shù)，滿足杜隆杜隆帕替定律帕替定律。 金屬的熱容金屬的熱容在低溫范圍內(nèi)，特別是在溫度遠(yuǎn)低于在低溫范圍內(nèi)，特別是在溫度遠(yuǎn)低于德拜溫度德拜溫度和和費(fèi)米費(fèi)米溫度溫度的條件下，情況發(fā)生了變化：按照德拜模型，的條件下，情況發(fā)生了變化：按照德拜模型，聲聲子氣體熱容子氣體熱容是按照是按照T3的規(guī)律趨于零；的規(guī)律趨于零； 根據(jù)索末菲模根

3、據(jù)索末菲模型，型，電子氣的熱容電子氣的熱容是按照是按照T的規(guī)律趨于零。很顯然，的規(guī)律趨于零。很顯然，自由電子氣的熱容自由電子氣的熱容隨溫度下降的變化比隨溫度下降的變化比晶格熱容晶格熱容的變的變化要化要緩慢緩慢得多。在液氦溫度（得多。在液氦溫度（4K）范圍，兩者的大?。┓秶?，兩者的大小變得可以相比，甚至電子氣的熱容占主導(dǎo)地位，金屬變得可以相比，甚至電子氣的熱容占主導(dǎo)地位，金屬的熱容為：的熱容為： （4-53）其中其中, b為為德拜定律德拜定律中的中的比例系數(shù)比例系數(shù)，它和，它和索末菲系數(shù)索末菲系數(shù)一樣都是標(biāo)識(shí)材料特征的常數(shù)。一樣都是標(biāo)識(shí)材料特征的常數(shù)。 3bTTCCCLVeV圖4-5晶格熱容CL

4、和電子熱容Ce與溫度T的關(guān)系 為了作圖方便，將為了作圖方便，將金屬熱容金屬熱容C的實(shí)驗(yàn)值通過(guò)的實(shí)驗(yàn)值通過(guò)C/T變成關(guān)變成關(guān)于于T2的函數(shù)關(guān)系：的函數(shù)關(guān)系： 由實(shí)驗(yàn)得出的各個(gè)點(diǎn)都將分布在一條由實(shí)驗(yàn)得出的各個(gè)點(diǎn)都將分布在一條斜率為斜率為b，截截距為距為的直線上。圖的直線上。圖4-6是在低溫下所得到的金屬鉀的是在低溫下所得到的金屬鉀的熱容實(shí)驗(yàn)曲線?？梢钥闯?，金屬鉀的熱容實(shí)驗(yàn)曲線?？梢钥闯?，金屬鉀的實(shí)驗(yàn)值為實(shí)驗(yàn)值為2.08 mJ/molK2，但是利用式（，但是利用式（4-52）所得到的理論值卻是）所得到的理論值卻是1.668 mJ/molK2，兩者符合得不是很好。，兩者符合得不是很好。2bTTCV圖4

5、-6金屬鉀熱容的實(shí)驗(yàn)曲線 在實(shí)際應(yīng)用中，通常定義在實(shí)際應(yīng)用中，通常定義熱有效質(zhì)量熱有效質(zhì)量 以表示實(shí)以表示實(shí)際金屬中的傳導(dǎo)電子氣與自由電子氣的差別程度際金屬中的傳導(dǎo)電子氣與自由電子氣的差別程度: 子氣）（自由電）觀測(cè)值mmth（4-54） thm從表從表4-2可以看出，幾乎所有金屬的可以看出，幾乎所有金屬的熱有效質(zhì)量熱有效質(zhì)量與與自由自由電子質(zhì)量電子質(zhì)量的比值都不等于的比值都不等于1，說(shuō)明實(shí)際金屬中的，說(shuō)明實(shí)際金屬中的傳導(dǎo)電傳導(dǎo)電子氣子氣與與自由電子氣自由電子氣還是存在一些偏差。主要的原因是還是存在一些偏差。主要的原因是索末菲的自由電子氣模型過(guò)于簡(jiǎn)單。索末菲假設(shè)自由索末菲的自由電子氣模型過(guò)于簡(jiǎn)

6、單。索末菲假設(shè)自由電子是處在一個(gè)電子是處在一個(gè)平均勢(shì)場(chǎng)中平均勢(shì)場(chǎng)中，而實(shí)際金屬中的傳導(dǎo)電，而實(shí)際金屬中的傳導(dǎo)電子是處于子是處于離子實(shí)的周期性勢(shì)場(chǎng)離子實(shí)的周期性勢(shì)場(chǎng)之中。另外，索末菲模之中。另外，索末菲模型型不考慮不考慮電子與電子、電子與晶格的相互作用，而實(shí)電子與電子、電子與晶格的相互作用，而實(shí)際金屬中的際金屬中的傳導(dǎo)電子傳導(dǎo)電子和和傳導(dǎo)電子傳導(dǎo)電子、傳導(dǎo)電子與聲子之、傳導(dǎo)電子與聲子之間都存在著相互作用。間都存在著相互作用。 另外，人們還發(fā)現(xiàn)一些另外，人們還發(fā)現(xiàn)一些金屬化合物金屬化合物具有很大的具有很大的電子熱電子熱容系數(shù)容系數(shù)，其數(shù)值比一般金屬的電子熱容系數(shù)高出近，其數(shù)值比一般金屬的電子熱容系

7、數(shù)高出近23個(gè)數(shù)量級(jí)個(gè)數(shù)量級(jí)。包括。包括UBe13、CeAl3、CeCu2Si2和和CeCu6等，被稱為等，被稱為重費(fèi)米子重費(fèi)米子金屬。一般認(rèn)為，由于近金屬。一般認(rèn)為，由于近鄰離子中鄰離子中f電子電子波函數(shù)的弱重疊效應(yīng)，使得這些化合物波函數(shù)的弱重疊效應(yīng)，使得這些化合物中的中的f電子所具有的電子所具有的慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量可以達(dá)到可以達(dá)到1000 m左右。有左右。有關(guān)重費(fèi)米子金屬的研究是固體物理中的研究熱點(diǎn)之一。關(guān)重費(fèi)米子金屬的研究是固體物理中的研究熱點(diǎn)之一。 在介紹在介紹經(jīng)典自由電子論經(jīng)典自由電子論時(shí)，根據(jù)時(shí)，根據(jù)特魯?shù)履Ｐ吞佤數(shù)履Ｐ屯茖?dǎo)出了推導(dǎo)出了電導(dǎo)電導(dǎo)率的表達(dá)式率的表達(dá)式和和歐姆定律歐姆定律

8、。在索末菲的量子自由電子氣理論。在索末菲的量子自由電子氣理論中，同樣可以給出歐姆定律，并能更深刻地描繪電導(dǎo)過(guò)程中，同樣可以給出歐姆定律，并能更深刻地描繪電導(dǎo)過(guò)程的物理圖像。的物理圖像。電子的狀態(tài)在電子的狀態(tài)在量子理論量子理論中用中用波矢波矢k來(lái)表征，電子狀態(tài)的來(lái)表征，電子狀態(tài)的改變也是用改變也是用k的變化來(lái)描寫的，電子的動(dòng)量為的變化來(lái)描寫的，電子的動(dòng)量為p= k。若金。若金屬處于熱平衡狀態(tài)，則電子狀態(tài)在屬處于熱平衡狀態(tài)，則電子狀態(tài)在k空間中的分布對(duì)于原點(diǎn)空間中的分布對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，是對(duì)稱的， k態(tài)電子與態(tài)電子與k態(tài)電子成對(duì)出現(xiàn)，所以金屬中自態(tài)電子成對(duì)出現(xiàn)，所以金屬中自由電子氣的總動(dòng)量為零，宏

9、觀上表現(xiàn)出金屬中沒(méi)有電流。由電子氣的總動(dòng)量為零，宏觀上表現(xiàn)出金屬中沒(méi)有電流。 金屬的電導(dǎo)金屬的電導(dǎo)如果金屬處于如果金屬處于均勻恒定均勻恒定的外電場(chǎng)的外電場(chǎng)E中，則金屬中的中，則金屬中的每個(gè)電子都會(huì)受到電場(chǎng)力每個(gè)電子都會(huì)受到電場(chǎng)力F=eE的作用，電子的的作用，電子的動(dòng)量動(dòng)量按照下面規(guī)律變化：按照下面規(guī)律變化： Ekpedtddtd （4-55） 即：即：dtedEk（4-56） 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，時(shí)間后，電子波矢的增量電子波矢的增量為：為：tedtektktEEk0)0()(（4-57） 上式表明，上式表明，恒定的外加電場(chǎng)恒定的外加電場(chǎng)E使金屬中使金屬中費(fèi)米球內(nèi)費(fèi)米球內(nèi)所所有電子的彼矢都增加了有

10、電子的彼矢都增加了k。相當(dāng)于在時(shí)間。相當(dāng)于在時(shí)間t內(nèi)，整內(nèi)，整個(gè)費(fèi)米球作為一個(gè)整體在個(gè)費(fèi)米球作為一個(gè)整體在k空間移動(dòng)了空間移動(dòng)了 的的位移，電子狀態(tài)在位移，電子狀態(tài)在k空間的分布不再是對(duì)稱的。結(jié)空間的分布不再是對(duì)稱的。結(jié)果果一部分電子的速度一部分電子的速度不能抵消，系統(tǒng)的動(dòng)量不再為不能抵消，系統(tǒng)的動(dòng)量不再為零，金屬中產(chǎn)生了零，金屬中產(chǎn)生了宏觀電流宏觀電流。 / teE圖4-7費(fèi)米面的整體移動(dòng) 根據(jù)分析，當(dāng)外加電場(chǎng)恒定時(shí)，金屬根據(jù)分析，當(dāng)外加電場(chǎng)恒定時(shí)，金屬波矢空間波矢空間電子電子占據(jù)態(tài)的球形分布就會(huì)將越來(lái)越偏心，即占據(jù)態(tài)的球形分布就會(huì)將越來(lái)越偏心，即凈電流凈電流將將隨時(shí)間不斷地增加。實(shí)際上，由

11、于金屬中的隨時(shí)間不斷地增加。實(shí)際上，由于金屬中的雜質(zhì)雜質(zhì)、缺陷形成的勢(shì)場(chǎng)缺陷形成的勢(shì)場(chǎng)以及以及聲子聲子等都會(huì)對(duì)電子的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生等都會(huì)對(duì)電子的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生散射，這些散射導(dǎo)致散射，這些散射導(dǎo)致k并不會(huì)隨時(shí)間并不會(huì)隨時(shí)間t無(wú)限制地增加。無(wú)限制地增加。當(dāng)當(dāng)外場(chǎng)的漂移作用外場(chǎng)的漂移作用與與散射作用散射作用達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，電達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，電子占據(jù)的球形分布將保持穩(wěn)定的偏心。子占據(jù)的球形分布將保持穩(wěn)定的偏心。如果經(jīng)過(guò)平均時(shí)間如果經(jīng)過(guò)平均時(shí)間后可以使費(fèi)米球在電場(chǎng)中維持后可以使費(fèi)米球在電場(chǎng)中維持一種穩(wěn)態(tài)，則在穩(wěn)定情形，一種穩(wěn)態(tài)，則在穩(wěn)定情形，費(fèi)米球的位移量費(fèi)米球的位移量為為 ：Eke（4-58） 上式中，上式中，

12、實(shí)際上代表的是電子在兩次散射之間所實(shí)際上代表的是電子在兩次散射之間所經(jīng)歷的經(jīng)歷的平均自由時(shí)間平均自由時(shí)間（弛豫時(shí)間）。所以在穩(wěn)定狀（弛豫時(shí)間）。所以在穩(wěn)定狀態(tài)下，電子的態(tài)下，電子的漂移速度漂移速度為：為： Ekmemd（4-59） 從圖從圖4-7可以看出，費(fèi)米球內(nèi)大部分電子的速度仍可以看出，費(fèi)米球內(nèi)大部分電子的速度仍然可以成對(duì)抵消，只有圖中陰影部分的電子才對(duì)宏然可以成對(duì)抵消，只有圖中陰影部分的電子才對(duì)宏觀電流有貢獻(xiàn)。這部分電子大都觀電流有貢獻(xiàn)。這部分電子大都接近費(fèi)米面接近費(fèi)米面，具有，具有費(fèi)米速度費(fèi)米速度vF，所占的比例約為，所占的比例約為vd/vF。假設(shè)金屬單位。假設(shè)金屬單位體積內(nèi)的電子數(shù)為

13、體積內(nèi)的電子數(shù)為n，則，則電流密度電流密度為：為： EmeenennejdFFd（4-60） 即電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比關(guān)系。若取即電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比關(guān)系。若取=F，則，則金屬的電導(dǎo)率為：金屬的電導(dǎo)率為：FFFmnlemne22（4-61） 式中，式中，lF為費(fèi)米面附近電子的為費(fèi)米面附近電子的平均自由程平均自由程，定義為，定義為lF=vFF。1928年索末菲就推導(dǎo)出的電導(dǎo)率與經(jīng)典自年索末菲就推導(dǎo)出的電導(dǎo)率與經(jīng)典自由電子理論的基本一致。但利用費(fèi)米球的位移來(lái)說(shuō)由電子理論的基本一致。但利用費(fèi)米球的位移來(lái)說(shuō)明金屬電導(dǎo)率的本質(zhì)有利于理解費(fèi)米面的重要性，明金屬電導(dǎo)率的本質(zhì)有利于理解費(fèi)米面的重要性，宏

14、觀電流正是由宏觀電流正是由靠近費(fèi)米面的電子靠近費(fèi)米面的電子所運(yùn)載的，這就所運(yùn)載的，這就是用是用F代替代替的原因。的原因。 大多數(shù)金屬的大多數(shù)金屬的電導(dǎo)率電導(dǎo)率在室溫（在室溫（300 K）下由）下由傳導(dǎo)電子傳導(dǎo)電子與與聲子聲子的碰撞所支配，而在液氦溫度（的碰撞所支配，而在液氦溫度（4 K）下）下電導(dǎo)電導(dǎo)率率則由則由傳導(dǎo)電子傳導(dǎo)電子所受到的所受到的雜質(zhì)原子雜質(zhì)原子和和晶格缺陷的散晶格缺陷的散射射支配。以純凈的銅為例，它在液氦溫度下的電導(dǎo)支配。以純凈的銅為例，它在液氦溫度下的電導(dǎo)率接近室溫下電導(dǎo)率的率接近室溫下電導(dǎo)率的105倍；主要因?yàn)樵诒?；主要因?yàn)樵?00 K和和4 K的溫度下，的溫度下，F(xiàn)分別為

15、分別為210-14s 和和210-9s；又因?yàn)椋挥忠驗(yàn)樗械呐鲎矁H僅涉及費(fèi)米面附近的電子，銅的所有的碰撞僅僅涉及費(fèi)米面附近的電子，銅的vF1.57108cm/s，對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的平均自由程平均自由程分別為：分別為： lF (4 K)0.3 cm lF(300 K)310-6cm晶體中有晶體中有溫度梯度溫度梯度存在時(shí)，金屬中能量較高的電存在時(shí)，金屬中能量較高的電子和聲子在子和聲子在高溫處的密度高溫處的密度大于在大于在低溫處的密度低溫處的密度。通過(guò)粒子間的相互擴(kuò)散，必然會(huì)產(chǎn)生通過(guò)粒子間的相互擴(kuò)散，必然會(huì)產(chǎn)生不等量不等量的能的能量交換，量交換，產(chǎn)生熱流產(chǎn)生熱流。一維情況下，若溫度梯度為。一維情況下，若

16、溫度梯度為dT/dx，則，則能流密度能流密度： dxdTJ（4-62） 金屬的熱導(dǎo)金屬的熱導(dǎo)式中，式中，為金屬的為金屬的熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率，為，為電子電子和和聲子聲子共同貢獻(xiàn)共同貢獻(xiàn)之和，即之和，即=e+L其中，其中，e和和L分別表示分別表示電子氣體電子氣體和和聲子氣體聲子氣體的熱導(dǎo)的熱導(dǎo)率。率。 （4-63） 金屬具有高濃度的自由電子，金屬具有高濃度的自由電子，自由電子自由電子對(duì)對(duì)熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)的貢獻(xiàn)要的貢獻(xiàn)要遠(yuǎn)比遠(yuǎn)比聲子聲子的貢獻(xiàn)大，即滿足的貢獻(xiàn)大，即滿足eL。因此通常所謂的。因此通常所謂的金金屬熱導(dǎo)率屬熱導(dǎo)率指的就是指的就是自由電子氣的熱導(dǎo)率自由電子氣的熱導(dǎo)率e。自由電子氣的熱導(dǎo)率自由電子氣的熱

17、導(dǎo)率e在形式上與理想氣體的熱導(dǎo)率公式在形式上與理想氣體的熱導(dǎo)率公式類似，即類似，即 FFceVFFeeVClc23131（4-64） 式中，為式中，為單位體積電子氣的熱容單位體積電子氣的熱容。由于只有。由于只有費(fèi)米費(fèi)米面附近的電子面附近的電子才有可能發(fā)生才有可能發(fā)生狀態(tài)的改變狀態(tài)的改變而產(chǎn)生碰撞，與而產(chǎn)生碰撞，與離子離子實(shí)實(shí)交換熱能，因此我們將與之相關(guān)的交換熱能，因此我們將與之相關(guān)的速度速度、平均自由程平均自由程以及以及平均自由時(shí)間平均自由時(shí)間都用都用費(fèi)米面附近電子費(fèi)米面附近電子的相關(guān)量來(lái)表示。的相關(guān)量來(lái)表示。cee/VCcV金屬的電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率取決于自由電子，它們之金屬的電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率取決于

18、自由電子，它們之間應(yīng)存在一定的關(guān)系。根據(jù)金屬間應(yīng)存在一定的關(guān)系。根據(jù)金屬熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率公式（公式（4-64）、）、電導(dǎo)率電導(dǎo)率公式（公式（4-61）以及）以及自由電子氣的熱自由電子氣的熱容容公式（公式（4-51），有），有:TekmneVCBFFFceV2222331（4-65）這個(gè)關(guān)系稱為這個(gè)關(guān)系稱為維德曼維德曼夫蘭茲夫蘭茲定律定律2822KW1045. 23ekTLB（4-66）是一個(gè)普適常數(shù)，叫做是一個(gè)普適常數(shù)，叫做洛侖茲常數(shù)洛侖茲常數(shù)。表。表4-3中列出中列出了一些金屬在了一些金屬在293 K時(shí)的洛侖茲常數(shù)的時(shí)的洛侖茲常數(shù)的實(shí)驗(yàn)值實(shí)驗(yàn)值，它，它們與們與理論值理論值符合得相當(dāng)好。符合得相當(dāng)

19、好。 其系數(shù)其系數(shù):在室溫下，多數(shù)金屬的在室溫下，多數(shù)金屬的洛侖茲常數(shù)洛侖茲常數(shù)L實(shí)驗(yàn)值與理論值實(shí)驗(yàn)值與理論值符合得很好，但在低溫時(shí)，許多金屬的符合得很好，但在低溫時(shí)，許多金屬的洛侖茲常數(shù)洛侖茲常數(shù)L都與都與溫度溫度有關(guān)，其原因可能為有關(guān)，其原因可能為導(dǎo)電導(dǎo)電和和導(dǎo)熱導(dǎo)熱是電子的兩是電子的兩種不同過(guò)程，它們的弛豫時(shí)間應(yīng)該有所不同。另外，種不同過(guò)程，它們的弛豫時(shí)間應(yīng)該有所不同。另外，利用經(jīng)典自由電子氣模型，雖可以說(shuō)明利用經(jīng)典自由電子氣模型，雖可以說(shuō)明維德曼維德曼夫蘭夫蘭茲茲定律，但所得到的洛侖茲常數(shù)為定律，但所得到的洛侖茲常數(shù)為 ，比，比用用自由電子氣的量子理論自由電子氣的量子理論所得到的常數(shù)要

20、小一些。所得到的常數(shù)要小一些。2223ekLB量子自由電子量子自由電子論還可以很好地解釋金屬其它一些重論還可以很好地解釋金屬其它一些重要的物理性質(zhì)和現(xiàn)象，例如要的物理性質(zhì)和現(xiàn)象，例如功函數(shù)功函數(shù)、熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射以以及及接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差等。等。 4-5功函數(shù)與接觸電勢(shì)差功函數(shù)與接觸電勢(shì)差在正常情況下，金屬中的在正常情況下，金屬中的自由電子自由電子受受正離子實(shí)正離子實(shí)的吸的吸引不會(huì)離開金屬，當(dāng)外界供給它足夠能量時(shí)，引不會(huì)離開金屬，當(dāng)外界供給它足夠能量時(shí)，電子電子會(huì)脫離金屬。這種電子依靠會(huì)脫離金屬。這種電子依靠外界提供的能量外界提供的能量而逸出而逸出金屬的現(xiàn)象稱為電子發(fā)射。依照外界能量提供

21、方式金屬的現(xiàn)象稱為電子發(fā)射。依照外界能量提供方式的不同，的不同， 有以下幾種電子發(fā)射：有以下幾種電子發(fā)射： （1） 高溫高溫引起的引起的熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射； （2） 光照光照引起的引起的光電發(fā)射光電發(fā)射； （3） 強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)電場(chǎng)引起的引起的場(chǎng)致發(fā)射場(chǎng)致發(fā)射。 功函數(shù)及熱電子發(fā)射功函數(shù)及熱電子發(fā)射設(shè)電子在深度為設(shè)電子在深度為E0（真空能級(jí)）的勢(shì)阱內(nèi)，費(fèi)米能（真空能級(jí)）的勢(shì)阱內(nèi)，費(fèi)米能級(jí)為級(jí)為EF，在，在絕對(duì)零度絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米能級(jí)以下的所有能態(tài)時(shí)，費(fèi)米能級(jí)以下的所有能態(tài)都被電子所占據(jù)。因此，電子若要離開金屬，即跑都被電子所占據(jù)。因此，電子若要離開金屬，即跑到勢(shì)阱外部，至少需要從外界得到的能量為：

22、到勢(shì)阱外部，至少需要從外界得到的能量為： =E0EF （4-67）也就是說(shuō)，費(fèi)米能級(jí)上的電子至少需要有一定的也就是說(shuō)，費(fèi)米能級(jí)上的電子至少需要有一定的閾閾值能量值能量才能克服勢(shì)壘從金屬中逃逸出去，通常稱才能克服勢(shì)壘從金屬中逃逸出去，通常稱這個(gè)這個(gè)能量閾值能量閾值為為金屬的功函數(shù)金屬的功函數(shù)，也叫，也叫脫出功脫出功。 圖圖4-8金屬的功函數(shù)與勢(shì)阱金屬的功函數(shù)與勢(shì)阱 在在k空間，空間，k點(diǎn)的密度點(diǎn)的密度為為Vc/(2) 3，考慮，考慮dk范圍范圍內(nèi)的內(nèi)的電子狀態(tài)電子狀態(tài)數(shù)為：數(shù)為：34cVdZdk k根據(jù)量子理論，自由電子的根據(jù)量子理論，自由電子的能量能量E、動(dòng)量動(dòng)量p與與速度速度v和和波矢波矢k

23、的關(guān)系為：的關(guān)系為：kvvmpmkmE221222（4-68）熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射利用上式利用上式, 將將 體積元變換成體積元變換成dv體積元體積元，并取金，并取金屬的體積為屬的體積為Vc，則可得到，則可得到速度空間速度空間dv區(qū)間區(qū)間內(nèi)的電內(nèi)的電子數(shù)目為子數(shù)目為 ：zyxdddTEfmdn),(4V 33c14V / )(33cTBkFEEzyxedddm（4-69） dk k 對(duì)于能逃離金屬的電子，其能量必須滿足對(duì)于能逃離金屬的電子，其能量必須滿足EE0=+EF，或者，或者EEF；而通常；而通常金屬的功金屬的功函數(shù)函數(shù)都滿足都滿足kBT，亦即，亦即: 1TkEEBF因此，因此，費(fèi)米分布函數(shù)

24、費(fèi)米分布函數(shù)可近似寫成可近似寫成:()/()/( , )FBFBEEk TEEk Tf E Tee =那么式（那么式（4-69）簡(jiǎn)化成：）簡(jiǎn)化成：zyxTkmTkEcdddeemVdnBBF2/3324（4-70） 設(shè)金屬表面垂直于設(shè)金屬表面垂直于x軸，電子沿軸，電子沿x軸方向脫離軸方向脫離金屬，金屬，脫離金屬的條件脫離金屬的條件為為 ，其余速度，其余速度分量分量vy、vz則可取任意值，所以則可取任意值，所以vx到到vx+dvx區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)的電子數(shù)目為：的電子數(shù)目為： 022/Emx2223/23/2/2()4FBxByBzBEk Tmk Tcxxmk Tmk TyzVmdneededed （

25、4-71） 利用公式：利用公式：adxeax2可得：可得：xTkmTkEBcxdeTekmVdnBxBF2/32222)(（4-72） 對(duì)于滿足對(duì)于滿足EE0的電子，在的電子，在dt時(shí)間間隔內(nèi)，只有金屬時(shí)間間隔內(nèi)，只有金屬表面附近表面附近vxdt薄層薄層內(nèi)的電子才能逃離金屬，逸出的內(nèi)的電子才能逃離金屬，逸出的電子數(shù)目電子數(shù)目及及所攜帶的電量所攜帶的電量分別為：分別為： dN=dn(vx)vxdtdq=edN=edn(vx)vxdt電子所形成的電流密度為：電子所形成的電流密度為：xxedntq)(dd總的總的熱電子發(fā)射電流密度熱電子發(fā)射電流密度為：為：TkTkEEBcxxmETkmTkEBcBB

26、FBxBFeATeTkemVdeTekemVdtdqj/2/ )(232)/2(2/32202/102)(2 2（4-73） 稱為稱為里查遜里查遜德西曼德西曼 (RichardsonDushman)公公式，是式，是1928年由年由索末菲索末菲和和諾德海姆諾德海姆(L. Nordheim) 各自獨(dú)立地導(dǎo)出的。說(shuō)明各自獨(dú)立地導(dǎo)出的。說(shuō)明熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射的的電流密度電流密度很強(qiáng)地依賴于很強(qiáng)地依賴于溫度溫度與與功函數(shù)功函數(shù)的值。的值。 如果將如果將里查遜里查遜德西曼公式德西曼公式的兩邊除以的兩邊除以T2，然后，然后取對(duì)數(shù)，則得：取對(duì)數(shù)，則得：TkATjB lnln2（4-74） 可根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以

27、可根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以ln (j/T2)及及1/(kBT)為縱、橫坐為縱、橫坐標(biāo)作曲線，所得直線的標(biāo)作曲線，所得直線的斜率斜率給出給出功函數(shù)功函數(shù)，而直線，而直線外推到外推到縱軸的截距縱軸的截距給出給出A值。值。表表4-4給出了一些金屬的給出了一些金屬的A和和的實(shí)驗(yàn)值。金屬晶體的實(shí)驗(yàn)值。金屬晶體不同晶向的原子排列不同，因此金屬不同晶向的原子排列不同，因此金屬外露晶面外露晶面的取的取向?qū)ο驅(qū)瘮?shù)功函數(shù)的取值有影響。表的取值有影響。表4-5為對(duì)幾種典型金為對(duì)幾種典型金屬屬不同外露晶面不同外露晶面功函數(shù)的測(cè)量結(jié)果。功函數(shù)的測(cè)量結(jié)果。 與與功函數(shù)功函數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)物理概念是密切相關(guān)的一個(gè)物理概念是接觸

28、電接觸電勢(shì)差勢(shì)差。任意兩種不同的。任意兩種不同的金屬金屬A和和B相接觸相接觸或用導(dǎo)線或用導(dǎo)線相連接時(shí)，就會(huì)帶有電荷并分別產(chǎn)生相連接時(shí)，就會(huì)帶有電荷并分別產(chǎn)生電勢(shì)電勢(shì)VA和和VB，這種電勢(shì)稱為這種電勢(shì)稱為接觸電勢(shì)接觸電勢(shì)，兩接觸電勢(shì)之差便是，兩接觸電勢(shì)之差便是接觸接觸電勢(shì)差電勢(shì)差。 接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差圖4-9金屬接觸電勢(shì)示意圖 設(shè)兩塊金屬的溫度都是設(shè)兩塊金屬的溫度都是T，當(dāng)它們互相接觸，當(dāng)它們互相接觸時(shí)，每秒內(nèi)從金屬時(shí)，每秒內(nèi)從金屬A的單位表面積逸的單位表面積逸出的電子數(shù)出的電子數(shù)（j/e）為）為 ：TkBAABAeTkmVI/232)(2 （4-75） 從金屬?gòu)慕饘貰逸出的電子數(shù)逸出的電子數(shù)

29、為：為：/223 ()2BBk TBBBV mIk Te（4-76） 若若BA，則從金屬，則從金屬A逸出的電子數(shù)比從金屬逸出的電子數(shù)比從金屬B逸逸出的多。于是，兩者接觸時(shí)出的多。于是，兩者接觸時(shí)金屬金屬A帶正電荷帶正電荷，金屬金屬B帶負(fù)電荷帶負(fù)電荷，它們產(chǎn)生的，它們產(chǎn)生的靜電勢(shì)靜電勢(shì)分別為：分別為：VA0,VB0兩塊金屬中的電子分別具有兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢(shì)能附加的靜電勢(shì)能為為eVA和和eVB，它們發(fā)射的電子數(shù)分別變成：，它們發(fā)射的電子數(shù)分別變成：TkeVBAABAAeTkmVI/ )(232)(2 TkeVBBBBBBeTkmVI/ )(232)(2 （4-77） （4-78） 平衡時(shí)有：平衡時(shí)有：BAII 由此可得由此可得 A+eVA=B+eVB所以，接觸電勢(shì)差為：所以，接觸電勢(shì)差為：)(1 ABBAeVV（4-79） 接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差的產(chǎn)生源于兩塊金屬的的產(chǎn)生源于兩塊金屬的逸出功逸出功不同，而不同，而逸出功表示逸出功表示真空能級(jí)真空能級(jí)與與金屬費(fèi)米能級(jí)金屬費(fèi)米能級(jí)之差，所以接之差，所以接觸電勢(shì)差產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)是由于兩塊金屬的觸電勢(shì)差產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)是由于兩塊金屬的費(fèi)