常量與變量的相互轉(zhuǎn)化

1、轉(zhuǎn)化常量與變量的角色漳浦一中 楊躍民363200我們知道，常量即固定不變的已知量，變量即變化著的未知量但變量與常量的地 位是相對的，靈活、正確處理變量與常量角色的相對關(guān)系對問題的解決有著天壤之別， 極具神奇的藝術(shù)魅力在數(shù)學(xué)問題的解決中，常常會碰到常量與變量關(guān)系處理的現(xiàn)象改變審視的角度，靈活變換它們的角色，有時將常量看成變量，而將變量當(dāng)作常量，將能起到出奇制勝的作用正確處理常量與變量的角色轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法和 解題策略，是一門具有高層品味的科學(xué)藝術(shù)，在數(shù)學(xué)問題的解決中占有重要的地位， 教學(xué)中我們絕不可低估它的作用它是一種有動態(tài)、帶逆向思維特性和綜合藝術(shù)品性的解決問題的上策或良策尤其是隨

2、著新課程的實施及高考模式的改革，高考的數(shù)學(xué)試題重在考查對知識理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用，它著眼于知 識點新穎巧妙的有機組合，試題新而不偏奇，活而不過難；著眼于合理調(diào)控綜合程度， 堅持多角度、多層次的考查；著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力與素質(zhì)的考查因此，數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)中要注意自覺克服絕對化的僵化思維，充分挖掘數(shù)學(xué)問題中潛在 的有機結(jié)合而形成的特殊性和簡單性，盡力打破常規(guī)，克服思維定勢，靈活處理數(shù)學(xué) 問題中的常量與變量角色的相對性引導(dǎo)培植學(xué)生綜合全面的優(yōu)秀思維品質(zhì)和良性的分析問題和解決問題的能力，構(gòu)建學(xué)生科學(xué)探究、自主學(xué)習(xí)的能力的框架體系一、巧理對稱關(guān)系式問題中量間角色的

3、平等性對稱關(guān)系式中，量間的地位是平等的，處理時有一定的困難，但當(dāng)把式中量間角 色的平等性加以剝離，有的量成為常量，有的量成為變量，使它們成為不平等，處理 時常常能起到奇妙的效果 2 2 2 2例 1 ：設(shè) a>0，x、y、z R，x+y+z=a，x y z =a，求 x、y、z 的取值范圍分析 該問題中x、y、z均為變量，地位均等，條件中的兩式都是輪換對稱式 ，相結(jié) 合消去z得到x2 y2 a-x-y.a2,將此式中的變量x當(dāng)作常量看待，整理成關(guān)于 變量y的一元二次方程得 y +(x-a)y+( x -ax)=0，因為該方程有實根= x-a 2-4( x2-ax) >0= 3x2

4、-2ax- a2 <0a將x看成變量，則此式是關(guān)于x的一元二次不等式，解得-< x < a3aa同理可得< y< a, -< zw a.33例 2 :在 ABC中,求證:cosA+cosB+cosC w 3 .2分析該問題中A、B C都是變量，地位均等，該求證式是輪換對稱式在 ABC中，A+B+C=二，當(dāng)令 y=cosA+cosB+cosC 時，A+ B A-B2 C可得 y=2cos cos +1-2sin2 2 2=-2sin 2 C +cos A- B sin C +12 2 2 2sin 2 C - 2cos A-B sin C +y-仁02 2 2

5、將式的sin C看成變量，y、costB看成常量，則式即為關(guān)于sin C的二次方程2 2 2 sin C為實數(shù)，有實數(shù)根2 =(2 cos A-B ) 2-8(y-1)>02y W 1 + lcos2 A-B W 1 +丄=32 2 2 2TT當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C等號成立.3故 cosA+cosB+cosC w 3 .2這里我們把sin C看作變量其余的看成常量，使問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問2題加以解決.二、巧換方程問題中常量與變量的角色著裝某些帶有參數(shù)的方程問題，循著問題中對常量與變量的設(shè)定去處理，有時是很復(fù)雜，甚至是無法解決問題的方程問題中的常量(參數(shù)或具體數(shù)值)與變量的地位并非是一

6、成不變的，它們是具有相對性的，若能打破常規(guī)，對問題中常量與變量的角色著 裝加以巧妙置換，常常會發(fā)現(xiàn)問題的處理變得豁然開朗起來，其過程也是極其簡單例3 :已知關(guān)于x的方程mx2-2(m-3)x+m-2=0中的m為負整數(shù)，試求使方程的解至 少有一個為整數(shù)時的 m值.分析 這里 x是變量，m為常量,按常規(guī)求出 x= ° _ 4m，再對 m分類m討論，但十分繁瑣如果置換方程中變量 x與常量m的角色，將原方程視為關(guān)于變量m的方程，則有(x_lfm=2 6x, x工1，故m= 2 _6)2 .因m為負整數(shù)，故 m<- 1,二2(x-1)6x<(X 1 f，即 x2 8x+3 w 0.

7、解得4 - J13 w x w 4+J13，且 x 工 1 ,.x 的整數(shù)2 6x值為2, 3, 4, 5, 6, 7,代入m= 2中進行驗算，得到 m值為一10, 4.1例 4:解方程：x 3+25x2+3x+73-1=0.分析直接按x是變量求解方程，顯然難度極大，若適當(dāng)轉(zhuǎn)換角色，則求解十分容易.令,3=a,將a看成作變量,x看作常量.則原方程化為關(guān)于 a的方程：322x +2ax + a x+a-1=0即 x a2 + (2x2+1) a+ x 3-1= 0 ,因式分解化為(a+x-1)(xa+x 2+x+1)=0 a+x-仁0或者xa+ x 2+x+仁0,將a=、. 3代入得x=1- ,

8、3 或者 x2+( . 3 +1)x+ 仁0原方程的根為 x=1- ,3或者x= 1(-3 -1 ± 2 3).2三、巧調(diào)恒成立問題中常量與變量的地位同方程問題中的常量與變量的相對特性類似，恒成立問題中的常量與變量按常態(tài)處理起來同樣非常棘手，但若能巧調(diào)常量與變量的地位，則與方程問題的處理具有同等奇妙的效果.例5：已知f x =m x2 -1 , g x =2x -1 ,當(dāng)|m| -2時，f x的圖象都在 g x圖象的下方，求 x的取值范圍分析 依題意知，當(dāng)|m| <2時，m2 -1 <2x-1恒成立，它是關(guān)于x的不等式,這里x為變量，m為參變量，可構(gòu)造函數(shù) F x =m

9、x2 -1 - 2x 1，按常規(guī)求解極其繁瑣，但若轉(zhuǎn)換一下 m與x的角色就簡明多了 構(gòu)造函數(shù)G m = x2 -1 m- 2x 1，它是關(guān)于m的函數(shù)，這里 m為變量，為x參變量，依題意知，當(dāng)|m| <2時，其圖象總在 m軸的下方.jG(-2)£0匸 2)"二廠2(x2 _1) _2x+1 c02(x2 -1) -2x 1 ： 0；<上應(yīng)或3 2 v .3< x <2 21 - .71< x-2 2.3ax例6 :對于乞a乞1，求使不等式：2x a -1恒成立的x的取分析由了1 * +ax <2 JJ得x2+ax>2x + a-1恒成

10、立，這里<2；x為變量，a為參變量，按常規(guī)求解極其繁瑣 .但若轉(zhuǎn)換一下a與x的角色就簡明多了，整理成關(guān)于a的不等式(x -1)a x2 -2x 10，構(gòu)造函數(shù) f a = (x - 1)a x2 - 2x 1，則f T 0，由此易得到x的取值范圍為x ： 0或x - 2 . f 1033例7:設(shè)函數(shù)f(x) =X3 .x(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；1 2(n)當(dāng)x-2, J時,對任意實數(shù)k引-1,1, f (x) £九+(k 4)k-2k恒成立,求實數(shù)入的取值范圍.分析(I)定義域：(8, 0)u( 0, + 8)3f(X)二 3x2x令 f' (x)>0,則 x

11、< 1 或 x>1,. f(x)的增區(qū)間為(一a, 1)U( 1, + a)令 f' (x)<0,則一1<x<1, f(x)的減區(qū)間為(一1 , 0)U( 0, 1).23(II)令 f (x) = 3x - =0，則 x= ± 1x1x 2, 1時，f(x)為增函數(shù)；x 1 , 一 一 時，2f(x)為減函數(shù).x= 1 時，f(X)max=f( 1)= 42入+(k 4)入2k> 4對任意k 1, 1恒成立即k 1,1時(入2)k+入2 4入+4>0恒成立若將k視為常量，而入為變量，問題將變?yōu)槭謴?fù)雜；將k視為變量，而 入為常量，問

12、題則變?yōu)槭趾唵螢榇肆?g(k)=(入2)k+ 入 2 4 入 +4f_r 2r只需/g1)>0時，滿足題意這時，(1)伍2)+九-4九+4沁3(1) >0'(扎一2)漢 1 +化2 4九十4 >0解得入<1或入>3即為所求.四、巧置軌跡問題中動定點的相對參照性自然界物體的動與靜是相對的，參照系使然而已，因此軌跡問題中動點與定點同樣是具有相對性的.以靜止的觀點處理軌跡問題中的動定點，有時是極其困難，甚至是無所適從的，但若能置換動定點的相對參照性，互換地位，以動點為定點，定點為動 點，常常使問題得以簡單地迎刃而解例8:已知拋物線系：y=x 2+(2m+1)x

13、+m2-1=0,求各拋物線的公切線方程分析 在這里(x,y)為變量，m為參變量對于每一個m值,可以確定一條拋物線，若讓(x,y)固定,m作為變量，則方程可化為m2+2xm+(x2+x-y-1)=0一般地，給定一個(x,y)的值,方程可得二個解 m、m,而每個m決定一條拋物線， 由此說明經(jīng)過點(x,y)有兩條拋物線，而當(dāng)這兩條拋物線重合時，點(x,y)恰好在公切 線上，此時方程有重根事實上，公切線上的點(x,y)都能使方程有重根，而使方程 有重根的點(x,y)也都在公切線上于是解答如下解 將原方程化為:m2+2xm+(x2+x-y-1)=0令' n=(2x) 2-4(x 2+x-y-1)=0即得拋物線系公切線方程：x-y-仁0.2 2例9：過橢圓X + y = 1內(nèi)一點M(1,1)作動弦AB,過A、B兩點分別作橢圓的切線43|1、丨2,求丨1與丨2的交點P的軌