概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第三章 多維隨機變量及其分布

1、第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量困難，我們重點討論二維隨機變量 .第三章是第二章內(nèi)容的推廣第三章是第二章內(nèi)容的推廣. 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其及其分布分布. 但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述. 在打靶時在打靶時,命中點的位置是命中點的位置是由一對由一對

2、r.v(兩個坐標兩個坐標)來確定的來確定的. 飛機的重心在空中的位置是由三個飛機的重心在空中的位置是由三個r.v (三三個坐標）來確定的等等個坐標）來確定的等等. 一般地，我們稱一般地，我們稱n個隨機變量的整體個隨機變量的整體X=(X1, X2, ，Xn)為為n維隨機變量或隨維隨機變量或隨機向量機向量. 以下重點討論二維隨機變量以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照請注意與一維情形的對照 .3.1 3.1 二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布 設(shè)設(shè)S=e是隨機試驗是隨機試驗E的樣本空間，的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在是定義在S上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的一上的隨機

3、變量，則由它們構(gòu)成的一個二維向量個二維向量(X,Y)稱為稱為二維隨機變量或二維隨機向量二維隨機變量或二維隨機向量。 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及及Y有關(guān)，而有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系。因此，單獨且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系。因此，單獨討論討論X和和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個整作為一個整體來討論。隨機變量體來討論。隨機變量X常稱為一維隨機變量。常稱為一維隨機變量。 一、二維隨機變量及其分布函數(shù)一、二維隨機變量及其分布函數(shù) 一維隨機變量一維隨機變量XR1上的隨機點坐標；上的隨機點坐標； 二維隨機變量二維隨

4、機變量(X,Y)R2上的隨機點坐標；上的隨機點坐標； n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨上的隨機點坐標。機點坐標。 多維隨機變量的研究方法也與一維類似，多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律。計規(guī)律。 定義定義2 2 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，二元實是二維隨機變量，二元實值函數(shù)值函數(shù)F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y) x(- -,+),y(- -,+)稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或稱，或稱X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。即即F

5、(x,y)為事件為事件X x與與Y y同時發(fā)生的概率。同時發(fā)生的概率。二、二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)二、二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：幾何意義：若把二維隨機變量若把二維隨機變量(X,Y)看成平面上隨機點的坐標，看成平面上隨機點的坐標，則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x,y)在在(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值F(x0,y0)就表示就表示隨機點隨機點(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域 - -X x0， - -Y y0中的概率。如圖陰影部分：中的概率。如圖陰影部分：(x0,y0)xyO 對于對于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 )，則隨機點則隨機點(X,Y)落在矩形區(qū)域落

6、在矩形區(qū)域x1X x2，y1Y y2內(nèi)的概率可用內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為P(x1X x2，y1Y y2)F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)(x1, y1)(x2, y2)O x1 x2 xy1y2y分布函數(shù)分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)對任意對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。(2)F(x, y)是變量是變量x或或y的非降函數(shù)，即的非降函數(shù)，即 對任意對任意y R,

7、 當當x1x2時，時，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y)； 對任意對任意x R, 當當y1y2時，時，F(xiàn)(x,y1) F(x,y2)。(3),(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函數(shù)函數(shù)F(x,y)關(guān)于關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于是右連續(xù)的，關(guān)于y也也是右連續(xù)的，是右連續(xù)的，即即對任意對任意x R，y R，有，有 反之，任一滿足上述性質(zhì)的二元函數(shù)反之，任一滿足上述性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以都可以作為某個二維隨機變量作為某個二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。三、二維離散型隨機變量及其分布三、二維離散型隨機變量及其

8、分布1、二維離散型隨機變量（定義、二維離散型隨機變量（定義3 3） 若二維隨機變量若二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多對或可列無限多對，則稱對或可列無限多對，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變是二維離散型隨機變量。量。 2、聯(lián)合分布律、聯(lián)合分布律 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其所有可能取是二維離散型隨機變量，其所有可能取值為值為(xi,yi)，i=1,2,，j=1,2,。若。若(X,Y)取數(shù)對取數(shù)對(xi,yi)的概率的概率P(X=xi, Y=yi)=pij，滿足，滿足(1)pij0 ；(2)111ijijp則稱則稱P(X=xi, Y=yi)=pij ，i

9、=1,2,，j=1,2,為二維離散為二維離散型隨機變量型隨機變量(X,Y)的的聯(lián)合分布律或分布律聯(lián)合分布律或分布律。二維離散型隨機變量的分布律二維離散型隨機變量的分布律也可用表格也可用表格形式表示為：形式表示為： YXy1y2.yj.x1p11p12.p1j.x2p21p22.p2j.xipi1pi2.pij.),(jiijyYxXPp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxXyYPxXPp例例1 1 某校新選出的學生會某校新選出的學生會 6 名女委員名女委員, 文、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機，

10、現(xiàn)從中隨機指定指定 2 人為學生會主席候選人人為學生會主席候選人. 令令X , Y 分分別為候選人中來自文、理科的人數(shù)別為候選人中來自文、理科的人數(shù). 解解 X 與與Y 的可能取值分別為的可能取值分別為0 , 1與與0 , 1 , 2. 求求(X, Y) 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律.,15/325232625CCCC) 00() 0() 0, 0(XYPXPYXP由乘法公式由乘法公式,15/3/) 0, 1(261311CCCYXP,15/2/) 1, 1(261211CCCYXP. 0) 2, 1(YXP,15/6/) 1, 0(261312CCCYXP;15/ 1/) 2, 0(2622CC

11、YXP,15/3/)0, 0(2623CCYXP或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故聯(lián)合分布律為 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY 例例2 2 袋里有袋里有5 5個編號的球，其中個編號的球，其中1 1個球編號為個球編號為1 1，有，有2 2個球編號均個球編號均為為2 2，有，有2 2個球編號均為個球編號均為3 3。每次從中任取兩個球，以。每次從中任取兩個球，以X和和Y分別表分別表示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。求示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。求X和和Y的聯(lián)合分的聯(lián)合分布律。布律。 解解 (X,Y)的全部可能取值為的全部可能取值為(1,2

12、),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個球從個球從中任取中任取2個，共有個，共有C52=10種取法。試驗樣本點總數(shù)為種取法。試驗樣本點總數(shù)為10， 2 . 0102)2, 1(251211CCCYXP2 . 0102)3, 1(251211CCCYXP1 . 0101)2, 2(2522CCYXP4 . 0104)3, 2(251212CCCYXP1 . 0101)3, 3(2522CCYXP用表格表示為用表格表示為 YX2310.20.220.10.4300.1由由X和的聯(lián)合概率分布，可求出、各自和的聯(lián)合概率分布，可求出、各自的概率分布：的概率分布：, 2 , 1,)(1ip

13、pxXPijiji記作, 2 , 1,)(1jppyYPjiijj記作稱稱P(Xxi)pi.，(i1, 2, )為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量(X, Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣分布律邊緣分布律；稱稱P(Yyj)p.j，(j1, 2, ) 為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量(X, Y)關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣分布律邊緣分布律。以表格形式表示為以表格形式表示為YXy1y2yjP(X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp121jjpp11jijpp注意：聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊

14、緣注意：聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。例例3 如例如例1中，已求得中，已求得( X ,Y )的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布如下，求如下，求 ( X ,Y )的邊緣概率分布的邊緣概率分布 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/15解：由聯(lián)合分布求得解：由聯(lián)合分布求得( X ,Y )邊緣分布律為四、二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)四、二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)1、定義、定義 設(shè)二維

15、隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負可積函數(shù)若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，使對使對任意實數(shù)任意實數(shù)x，y，有，有 xydvduvufyxF),(),(則稱則稱 (X,Y)為二維連續(xù)型為二維連續(xù)型R.V.，且稱函數(shù)，且稱函數(shù)f(x,y)為為二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)的密度函數(shù)(概率密度概率密度)，或，或X與與Y的的聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)，簡記簡記 p.d.f.,可記為可記為(X,Y) f (x,y)，(x,y) R22、聯(lián)合密度、聯(lián)合密度f(x, y)的性質(zhì)的性質(zhì)(1)非負性非負性：f(x,y) 0，(x,y) R2;(2)歸一性

16、歸一性： ),(),(00),(200yxfyxyxFyx(3)若若f (x, y)在在(x0,y0) 處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有事實上事實上 yxydvvxfdudvvufxxyxF),(),(),(),(),(),(2yxfdvvxfyyxyxFy1),( dydxyxfGx,ydxdyyxfGYXP)(),(),(4)設(shè)設(shè)G是平面上一個區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機變是平面上一個區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機變量量(X,Y)落在落在G內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)f(x, y)在在G上的積分，即上的積分，即 特別地，特別地， xXXdtdyytfdxdxFdxdxFdxdxf),(),()(

17、)(稱稱X的密度函數(shù)的密度函數(shù)fX(x)為為(X, Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)，且的邊緣密度函數(shù)，且 yYYdtdxtxfdydyFdydyFdydyf),(),()()(dxyxf),(dyyxf),(稱稱Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)fY(y)為為(X, Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)與離散型相同,已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.(1)求常數(shù)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3) 求概率求概率P(X+2Y 1)。 例例4 4 已知已知解解 (1)其其它它00, 0),(),(32yxKeyxfYXyx 1),(dxdyyxf00321dyK

18、edxyx030216kdyedxeKyxK=6O xyx+2y=1(2) xydudvvufyxF),(),( 其它其它00,060 032yxdvduexyvu其它其它00, 0)1)(1 (32yxeeyx(3)10210326) 12(xyxdyeedxYXP5135. 02)1(2101032dxeexyx例例5 5 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其它其它010),(2yxykxyxf(1)求常數(shù)求常數(shù)k；(2)求概率求概率P(X+Y1)。解解 (1) 1),(dxdyyxf 10121)(xdxydykx101:xyxD10421)2

19、121(dxkxkx1)10161(1053kxkx解得解得k=15 21012115),() 1(dxydyxdxdyyxfYXPxxyx64519215O 1 x1yy=xx+y=12101:xxyxD(2)例6 設(shè) r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為其他, 0, 10 ,0,8),(yyxxyyxf求求( X ,Y )邊緣概率密度邊緣概率密度解：dvvxfxfX),()(其他, 010,81xxvdvx10 xy1其他, 010,443xxx其他, 010,4)(3yyyfY同理求得同理求得Y的邊緣密度函數(shù)為：的邊緣密度函數(shù)為：例例7 7 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量其其它它

20、0, 1048),(),(23xyxxxyyxfYX求邊緣密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)fX(x)和和fY(y)解解 當當0 x1時時,dyyxfxfX),()()(24487523xxxydyxxO 1 x y1y=x2y=x3當當x0或或x1時，時，fX(x)=0，所以，所以其其它它010)(24)(75xxxxfX當當0y0、 20、| |1，則稱，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1， 1， 2， 2， 的二維正態(tài)分的二維正態(tài)分布，記為布，記為 2、二維正態(tài)分布、二維正態(tài)分布(P60) 若二維隨機變量若二維隨機變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為2222212121212)(

21、)(2)()1(21221121),(yyxxeyxf);,;,(),(222211NYX二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)：二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)： 若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，);,;,(),(222211NYX則則),(211NX),(222NY聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)的指數(shù)部分的指數(shù)部分222221212121)()(2)(yyxx2222212121212212122121)()(2)()()(yyxxxx2112221212)()1 (xyxdyeedyyxfxfxyxX2112222121)1(212212)(12),()(1122211xyU令令dydu2

22、211dueexfuxX22)(12212121)(則則21212)(121xe),(211NX即即同理可得同理可得),(222NYx(- -,+)由此性質(zhì)看到，由此性質(zhì)看到，(X,Y)的邊緣分布都與的邊緣分布都與 無關(guān)，無關(guān)，說明說明 不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，即使確定聯(lián)合分布的，即使X,Y都是服從正態(tài)分布都是服從正態(tài)分布的隨機變量，的隨機變量， (X,Y)不一定是服從二維正態(tài)分不一定是服從二維正態(tài)分布。布。 二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，二維正態(tài)分

23、布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真反之不真。例例9 9 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量)sinsin1 (21),(),(222yxeyxfYXyxx(- -,+)，y(- -,+)，求，求fX(x)，fY(y)。解解dyyxedyyxfxfyxX)sinsin1 (21),()(222dyyxeeeyyx)sinsin(21222222222222222122121xxyxeedyee) 1 , 0( NX因此因此同理可得同理可得) 1 , 0( NY但但 (X,Y)不服從二維正態(tài)分布。不服從二維正態(tài)分布。 分布函數(shù)的概念可推廣到分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。維隨機變量的情形。

24、事實上，對事實上，對n維隨機變量維隨機變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)稱為的稱為的n維隨機變量維隨機變量(X1, X2, , Xn)的的分布函數(shù)，分布函數(shù)，或或隨機變量隨機變量X1,X2,Xn的聯(lián)合的聯(lián)合分布函數(shù)分布函數(shù)。定義定義 若若(X1, X2, , An)的全部可能取值為的全部可能取值為Rn上的有上的有限或可列無限多個點，稱限或可列無限多個點，稱(X1, X2, , Xn)為為n維離散維離散型隨機變量，稱型隨機變量，稱P(X1=x1,X2=x2,.Xn=xn)，為為n維隨機變量維隨機變量(X1, X2,

25、, Xn)的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。則稱則稱(X1, X2, , Xn)為為n維連續(xù)型隨機變量，稱維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,xn)為為n維隨機變量維隨機變量(X1, X2, ,Xn)的概率密度。的概率密度。定義定義 n維隨機變量維隨機變量(X1, X2, , Xn)，如果存在非負的如果存在非負的n元函數(shù)元函數(shù)f(x1,x2,xn)使對任意的使對任意的n元立方體元立方體nnnbxabxaxxD,.,|,.,111 DnnndxdxxxxfDXXP.),.,(.12113.2 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性定義定義 設(shè)設(shè)F(x,y)是二

26、維隨機變量是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別是分別是X與與Y的邊緣分布函數(shù)，若對一切的邊緣分布函數(shù)，若對一切x,yR，均有，均有P(Xx,Yy)=P(Xx) P(Yy)即即 F(x,y)= FX(x)FY(y)則稱隨機變量則稱隨機變量X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。隨機變量隨機變量X與與Y是相互獨立的充要條件是事件是相互獨立的充要條件是事件(Xx)與與事件事件(Yy)相互獨立。相互獨立。X與Y 獨立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp連續(xù)型)()(),(yfxfyxfYX二維隨機變量二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立相互

27、獨立, ,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布對一切 i , j 有離散型X與Y 獨立對任何 x ,y 有由上述結(jié)論可知：由上述結(jié)論可知： 要判斷兩個隨機變量要判斷兩個隨機變量X與與Y的獨立性，只需求的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每的每一對可能取值點一對可能取值點,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可。布即可。例例1 1 已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)試確定常數(shù)

28、a,b，使，使X與與Y相互獨立。相互獨立。解解 先求出先求出(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布律的邊緣分布律要使要使X與與Y相互獨立，可用相互獨立，可用pij =pipj來確定來確定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即，即 31181181319191ba9192ba因此，因此， (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為YX12pi11/31/61/22a1/91/33b1/181/6pj2/31/3經(jīng)檢驗，此時經(jīng)檢驗，此時X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。例例2 2 若二維隨機變量若二維隨機變量);,;,(),(222211NYX證明證明X與與Y相互獨立的充分必要條件為相互獨立的充分必要條件為 =0證證 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為2222212121212)()(2)()1(21221121),