儲(chǔ)油罐變位識(shí)別罐容表標(biāo)定08769

1、2018 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目 A 題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定 通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位 計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn) /出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò) 預(yù)先標(biāo)定的罐容表 即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi) 油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況 許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，因?yàn)榈鼗冃蔚仍?，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾 斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化 以下稱(chēng)為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變.按照有關(guān)規(guī)定，需 要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為 圓柱體，兩端為球冠體圖2是其罐體

2、縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位 的截面示意圖. 請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題 1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖 4的小橢圓型儲(chǔ)油罐 兩端平 頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為 ：=4.1 的縱向變位兩種情況做了實(shí) 驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示.請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出 罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值. 2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐 內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù) 縱向傾斜角度：和橫向偏轉(zhuǎn)角度J之間的一般關(guān)系. 請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際

3、檢測(cè)數(shù)據(jù) 附件2）,根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué) 模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為 10cm的罐容表標(biāo)定值.進(jìn)一步利 用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性 . 附件1：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 附件2：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測(cè)數(shù)據(jù) 圖 1儲(chǔ)油罐正面示意圖地平線 油位探針 圖 4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖 a)無(wú)偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖 小橢圓油罐截面示意圖 圖 2儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖 | K | 油位探針 r 地平線垂直線 (a小橢圓油罐正面示意圖 水平線 地平線 油位探針 2018 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A 題解法評(píng)述 該問(wèn)題是來(lái)自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的

4、一個(gè)實(shí)際課題，問(wèn)題由兩大部分組 成: 1)為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出 油位高度和油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬 于“正問(wèn)題”. 2)根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，正確識(shí)別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時(shí)要給 出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于“反問(wèn)題” 具體解法如下： 第一部分：小橢圓型實(shí)驗(yàn)罐的有關(guān)問(wèn)題 按如下方式引入空間直角坐標(biāo)系 OXYZv左手系)： 以油位探針?biāo)谥本€與罐體底部的交點(diǎn)為原點(diǎn) O; 以罐體經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的高為X軸，X軸正向指向罐體右端； 以油位探針為Z軸，h增加的方向?yàn)閆軸正方向. 符號(hào)說(shuō)明： a、b分別為罐體截

5、面橢圓的長(zhǎng)、短半軸 a=0.89m, b=0.6m)； L為罐體長(zhǎng) 度，Li、L2分別為罐 體左、右截面 到油位探針的距離Li=0.4m, L2=2.05m, L= Li+ L2=2.45m); 為罐內(nèi)的油位高度； 為罐體縱向傾斜角度； I為罐體縱向傾斜角時(shí)、油位高度為h時(shí)的實(shí)際罐容量的理論值； |為對(duì)應(yīng)的實(shí)際值； L- 為罐體縱向傾斜角、油位高度為h時(shí)，截面X=x處油面到罐底的距離； f 簡(jiǎn)記為 ， _ I 簡(jiǎn)記為 u . 于是有 1)無(wú)變位情況下，I匚， 代入?yún)?shù)的具體值，可計(jì)算得到無(wú)變位情況下的罐容表 L.*(pi/2*a*b+a/b.*(h-b.*sqrt(2*b.*h-h.*h+a*

6、b.*asi n(h./b-1 。 H=(0.1:.1:12。 D0=V0(H o 評(píng)注1:對(duì)附件一在無(wú)變位情況下進(jìn)油 或出油)的油位高度與實(shí)際罐容量數(shù)據(jù)作 3次樣條插值，并與理論值比較，可以得到修正公式 - 1 ，但是這一 .-II ，容易求得: 步評(píng)閱要點(diǎn)沒(méi)有要求。 0.容易看出 ：-：| ): 用MATLAB的數(shù)值積分函數(shù)quad計(jì)算數(shù)值積分，計(jì)算出修正后的罐容表標(biāo)定值 。 for h=0.1:.1:12 D41=D41 o v41(h。 end 函數(shù)M文件v41.m fun ctio n V=v41(h alpha=4.1o a=8.9。b=6。 L1=4 o L2=20.5。c=ta

7、nd(alpha。 f=(x(h-b-c*x/2.*sqrt(b*b-(h-b-c*x42+b*b/2*asi n( (h-b- c*x/b+pi/4*b*b。 if len gth(h1 | h2*b return 現(xiàn)在一1 情況一，當(dāng) 此時(shí)，有 情況二，當(dāng) 此時(shí)，有 時(shí)，即 情況三，當(dāng) 此時(shí)，有 .可以分三種情，有 (1 ，有 (2 (3 記函數(shù) (1(3, 時(shí)，即 時(shí)，即 elseif h。 elseif h 。 else V=2*a/b*quad(f,(h-2*b/c,L2+pi*a*b*(h-2*b/c+L1 。 end 表 2 :小橢圓罐的修正罐容表的部分結(jié)果 一 油位高度/cm

8、油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 10 70.13 40 965.66 70 2232.50 100 3450.72 20 281.86 50 1371.88 80 2661.42 110 3776.64 30 595.25 60 1798.52 90 3072.43 120 4012.74 將修正后的罐容表與無(wú)變位情況下的罐容表進(jìn)行比較，可以看出罐體縱向傾斜變 位的影響十分明顯.考慮油位高度h從1cm到120cm每隔1cm的變化過(guò)程，相同油位 高度對(duì)應(yīng)的實(shí)際罐容量都因罐體縱向傾斜變位而減少，最大誤差為 257.5L，平均誤差 為199.5

9、4L，最大相對(duì)誤差為184.88%,平均相對(duì)誤差為 32.8%相對(duì)誤差以修正后的 罐容表為分母）. 評(píng)注2:對(duì)附件一在縱向傾斜變位情況下進(jìn)油 或出油）的油位高度與實(shí)際罐容量 數(shù)據(jù)作3次樣條插值，并與修正后的罐容表 理論值）比較，誤差較小，理論值比實(shí)際 值略大，但是誤差沒(méi)有明顯的數(shù)量規(guī)律，與無(wú)變位情況恰好相反，可見(jiàn)題目對(duì)這方面 的誤差分析并不關(guān)注，題目關(guān)注的是根據(jù)數(shù)學(xué)模型 積分）比較變位對(duì)罐容表的影響。 第二部分：實(shí)際大儲(chǔ)油罐的有關(guān)問(wèn)題 1）根據(jù)儲(chǔ)油罐縱向的變位方向，對(duì)于不同的油位高度，分別考慮油罐的兩端有 油和一端有油的情況建模分析，可以得到罐內(nèi)實(shí)際儲(chǔ)油量 與縱向傾斜變位參數(shù) 、 橫向偏轉(zhuǎn)變位

10、參數(shù) 和油位高度的關(guān)系模型，即 .詳細(xì)的解讀模型表述 形式比較復(fù)雜，重在分析過(guò)程，注意油罐兩端含油的不同情況 第一步，類(lèi)似小橢圓罐的討論，建立坐標(biāo)系； 第二步，定義清楚縱向傾斜變位參數(shù) 橫向偏轉(zhuǎn)變位參數(shù) ； 第三步，可先假設(shè) 門(mén)，類(lèi)似小橢圓罐的討論，建立 丨 的表達(dá)式； 第四步，存在橫向偏轉(zhuǎn)變位角度 時(shí)，實(shí)際油位高度與顯示油位高度的關(guān)系為 - - 將此表達(dá)式代入 I X 的表達(dá)式； 第五步，采用數(shù)值積分方法計(jì)算. 當(dāng)然，也可能通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)采用數(shù)值方法、項(xiàng)目方法或幾何方法等近似方法實(shí) 現(xiàn)，但應(yīng)關(guān)注引入變位參數(shù)的方法和表示形式的合理性 . 蒙特卡洛方法 長(zhǎng)度單位為dm,體積單位為L(zhǎng)）： 第一步，類(lèi)

11、似小橢圓罐的討論，建立坐標(biāo)系，并將縱向傾斜變位參數(shù) 、橫向偏 轉(zhuǎn)變位參數(shù) 定義成地垂線向上方向 的方向角： 第二步，寫(xiě)出顯示高度為h的油面的平面方程 和油罐的曲面方程 第三步，在長(zhǎng)方體 _ : 內(nèi)產(chǎn)生n=100,000,000個(gè)均勻分布隨 機(jī)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)落在油罐內(nèi)并且在油面下方的點(diǎn)數(shù) k,則體積V=V(h的近似值為 第四步，蒙特卡洛方法的相對(duì)精確度為 顯示油位高度h越大，相對(duì)精確度越高 fun ctio n V=MCS(h,a,b if len gth(h1 | h30 return end c仁sind(a。c2=sind(b。c3=sqrt(1-c1*c1-c2*c2。c4=16.25A2o

12、n=100000000。 k=0o for i=1: n x=ra nd*100-30。 y=ra nd*30-15。 z=ra nd*30。 if yA2+(z-15A2225 | c1*x+c2*y+c3*zc3*h con ti nue elseif x=-20 & x=60 k=k+1o elseif xA2+yA2+(z-15A260 & (x-53.75A2+yA2+(z-15A2=c4 k=k+1o end end V=k/n*90000。 命題人給出實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位情況的罐容表部分標(biāo)定值 見(jiàn)表 3).蒙特卡洛方法能獲得十分接 近的近似結(jié)果，所需要的計(jì)算時(shí)間視硬件

13、條件與編程技巧而不同，最快要十分鐘左右 表 3:無(wú)變位情況下油罐的罐容表部分結(jié)果 油位高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 油量/L 590.71 1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88 油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 油量/L 21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.22 35163.15 37978.76 40763.45 43501.4

14、1 46176.46 油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 油量/L 48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45 2)必須明確給出變位參數(shù)的辨識(shí)準(zhǔn)則. 因?yàn)閷?shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以罐內(nèi)儲(chǔ)油量的準(zhǔn)確值是未知的 .由附件2的檢測(cè) 數(shù)據(jù)可以知道不同時(shí)刻的出油量 J 準(zhǔn)確值） 同時(shí)可以計(jì)算出相應(yīng)油位高度的改變量 I I 準(zhǔn)確值） 并由模型表達(dá)式 亠 計(jì)算得到實(shí)際儲(chǔ)油量的改變量 問(wèn)題可歸結(jié)為求解非線性最小二乘問(wèn)

15、題: 利用附件2中的部分?jǐn)?shù)據(jù) 如前半部分） ， 借助于工具軟件或各種數(shù)值方法求解得到參 數(shù)估計(jì)值國(guó).其具體的數(shù)值用不同的方法會(huì)有差別，但結(jié)果應(yīng)是縱向傾斜變位角 略 大于2度，橫向偏轉(zhuǎn)變位角因影響不敏感. 如果直接使用附件2中的顯示儲(chǔ)油量.和對(duì)應(yīng)的 做參數(shù)估計(jì)，即求問(wèn)題 的解，這是不對(duì)的，因?yàn)?.是無(wú)變位時(shí)的顯示儲(chǔ)油量，而實(shí)際上油罐已經(jīng)變位，故 含有較大的誤差.若儲(chǔ)油量的體積公式 值會(huì)很小. 如果經(jīng)分析說(shuō)明橫向偏轉(zhuǎn)變位的影響不大，則可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)辨 識(shí). 評(píng)注3 :體積計(jì)算的解讀表達(dá)式和數(shù)值積分方法是本題的難點(diǎn)之一 .在數(shù)學(xué)分析或 高等數(shù)學(xué)課程一般不討論本題這種較復(fù)雜的 3維積分問(wèn)

16、題，數(shù)值計(jì)算方法課程也不介 紹3重積分的計(jì)算方法，所以挑戰(zhàn)較大. 評(píng)注4:參數(shù)辨識(shí)是本題的難點(diǎn)之二，較體積計(jì)算更難 .因?yàn)轶w積計(jì)算耗時(shí) 尤其是 蒙特卡洛方法），所以采用 MATLAB的非線性最小二乘函數(shù)不可行，用簡(jiǎn)單的搜索法 可能在三天內(nèi)算不完，精確度也不夠高. 希望同學(xué)們對(duì)3重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法、非線性最小二乘算法繼續(xù)深入研究 . 3）根據(jù)修正模型 及參數(shù)估計(jì)值創(chuàng)，可以得到變位后的罐容表 命 題人提供的結(jié)果見(jiàn)表4）.并利用附件2的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù) 如后半部分）分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?正確性與方法的可靠性. 表 4：變位后儲(chǔ)油罐的修正罐容表部分結(jié)果 使用參數(shù) ） 油位高度/cm 10 20 30 40 50

17、 60 70 80 90 100 油量/L 354.76 1065.80 2223.04 3702.65 5432.63 7371.38 9487.87 11756.61 14155.51 16664.62 油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 油量/L 19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48 油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 油量/L 46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17 *用不同的方法，結(jié)果會(huì)有誤差. *用蒙特卡洛方法可得到比較接近的結(jié)果 . 評(píng)注5 :由附件二前半部分?jǐn)?shù)據(jù) 或后半部分、或全部），可以找到兩條解題線 索，但要小心考慮： 是正確的，則用該方法得到的參數(shù) 1） FI明顯是相應(yīng)的顯示油位高度-1 數(shù)值微分中點(diǎn)公式）的