必修四⑥平面向量線性運(yùn)算

1、平面向量線性運(yùn)算1、向量的有關(guān)概念及表示方法(1)向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)零向量長度為0的向量；其方向是任意的14 記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量10與任一向量平行或共線共線向量平行向量雙叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量11440的相反向量為0(2)向量的表示方法字母表示法，如：a,AB等;幾何表示法：用一條有向線段表示向量。2、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算工角形法第(1) 交換律：4 + 4 4a +b =

2、b + a。(2) 結(jié)合律：(a + b) + c= a +(b + c)乎行四邊形眩則減法1 1求a與b的相反向量1 1-b的和的運(yùn)算叫做a1與b的差三角賂法則數(shù)乘1求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算（1）ha44（2）當(dāng)入0時(shí)，上a與a的14 方向相同；當(dāng)入0時(shí)，人a4與a的方向相反；當(dāng)入=04 4時(shí)，九a =0h（Aa） = M）a;斗屮片 （幾 + A）a = ha + 4a;九（a +b） = ha + Zb注：式子,bi2 |；-：|2=2（|；|2卞|2）的幾何意義為：平行四邊形兩條對角線的平方和等于它們四條邊的平方和。3向量0）與向量b共線的充要條件為存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使L. a.注：

3、用向量法證明三點(diǎn)T TAB與AC共線即可。A B、C共線時(shí)，首先求出證忑，然后證明7B=AC，即方法提示：數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量：兩個(gè)向量只要它們的模相等、方向相同，它們就是相等向量， 而與它們的起點(diǎn)在哪里沒有關(guān)系。這就為我們應(yīng)用向量帶來方便，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，可以把向量自由平移。向量的線性運(yùn)算規(guī)律： 向量的加減法都可以推廣到若干個(gè)向量間進(jìn)行。加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”，用字母表示的向量進(jìn)行線性運(yùn)算時(shí)可以類比多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式進(jìn)行。題型分析（一）向量的有關(guān)概念相關(guān)鏈接1、著重理解向量以下幾個(gè)方面：（1）向量的

4、模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。2、判定兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別注意以下兩種特殊情況：（1）零向量的方向及與其他向量的關(guān)系;（2）單位向量的長度及方向。例題解析【例(A)1】下列結(jié)論中，不正確的是AB，CD 共線與向量AB/ CD同義;向量(B)若向量AB/ CD，則向量AB與DC共線;(C)若向量AB=CD，則向量£=DC ；(D)只要向量a， b滿足| ai=i b |，就有a =b。解答：選根據(jù)平行向量（或共線向量）定義知A，B均正確；根據(jù)向量相等的概念知C正確，D不正確?！纠?】給出下列命題: 有向線段就是向量，向量就是有向線段; 若AB&#

5、39; =DC,則ABCD為平行四邊形；若 a/b,b/c,則a =c;若 a / /b, b/ /c,則 a / /c 。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）（A） 0（ B） 1（ C） 2（ D） 3思路解析：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵。注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反倒即可。T T解答：選B。錯(cuò)，向量可用有向線段表示， 但并不是有向線段。 錯(cuò)，因?yàn)锳B = DC,4 4寸4則可能A、B C、D四點(diǎn)在一條直線上。 正確。錯(cuò)，若b=0，則對不共線的向量a與c，也有a/,0 c,但a與c不平行。（二）向量的線性運(yùn)算相關(guān)鏈接除利用向量的加、減法、（1）用已知向量來表示別外一些向量是用

6、向量解題的基本功, 數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理;(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線， 相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量求解。OA=-y(OB+CX3).注：若A為BC的中點(diǎn)，貝U例題解析3Bdjab3ABM等條件。解答:* 2 " 2 | AD=-AH33BC = AC - AB 二 b - a.由 ADE ABC的 中 線， DE/BC , 且 AMDN - DE (b-a).A M232岬得 DE BC3與 DE 交1m -aA A A ABM,1”

7、少*.AD=-AB2(b - a)，又 AM是 ABC3于2 2B C2(b ak 95-J»AN=-AM=7B鑒H皐用a,b表示向量AEBCDtDN'AMAN。思路解析：解本題要進(jìn)行向量的加、減法外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，如211時(shí)AB = AD, DB AB a,-331 一 = -a.在進(jìn)行計(jì)算時(shí)要充分利用DE/BC二AADEABC ADW 312在 OAB中,延長BA到C,使AC=BA在OB上取點(diǎn)D,使DBJOB。DC與OA交于E,設(shè)3T 片 T 彳 4TOA = a, OB = b,用a,b表示向量OC及向量DC 。解答：/ A是BC的中點(diǎn)， OA=£(OB

8、oc)，即 OC = 2O-OB2 25呻DC=OC-OD=OCOB=2a-b b = 2a b.3 33(三) 向量的共線問題=2a -b,設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線,（1）若 ab 二 a b, bc=2a 8bb,cD=3（a_b）.求證：a b、d三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka b和a kb共線思路解析：（1 ）由已知求BD；判斷AB和BD的關(guān)系 > 判斷A B、D的關(guān)系；（2）應(yīng)用共線向量的充要條件'列方程組 '解方程組得k值。解答：（1）v AB =a b, BC =2a 8b,CD =3（a -b）.T TTT 斗 4 4444 TBD BC CD = 2a 8b 3(a -b) = 2a 8b 3a -3b = 5(a b)二 5ABAB、BD共線，又它們有公共點(diǎn)B,. A、B D三點(diǎn)共線（2）/ k a b和a kb共線，二存在實(shí)數(shù)入，使k a b=入（a kb ）,即ka b = kb。（k ）a = （ k- 1）b a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，r r 2k - = k -1 , k -1=0。二 k =