必修四平面向量地數(shù)量積講義

1、2.3平面向量的數(shù)量積一、平面向量數(shù)量積- f*T1、疋義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量丨a I x| b |xcos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b，即a b =| a | x| b | xcos 。注意：(1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其 符號由夾角的余弦值決定 ；(2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之 間的一種乘法，與以前學過的數(shù)的乘法不同，“”不能省略，也不能也成“x” ； ( 3)在運用數(shù)量積公式時，一定要 注意兩個向量夾角的范圍：0°w W180 0。(4) 規(guī)定： 零向量與任一向量的數(shù)量

2、積為 0,即0_-b = 0 ； (5)當向量a與b的夾角為90°時，叫a與b互相垂直， 記作：a丄b，此時：a丄b a -b = 0。2、平面向量數(shù)量積的幾何意義：(1)對于a b =| a | x| b | xcos ,其中| b |xcos叫做b在a方向上的投影，當 為銳角時，投影為正；當 為鈍角時，投影為 負；當 就直角時，投影為0 ;當 為0度時，投影是| b |;當為180度時，投影為| b | ； (2). a在b方向上的投影 與b在a方向上的投影就不同的；(3) a在b方向上a?b的投影值可以寫成 bb例1：已知| a | = 2 , | b | = 5，當(1) a

3、與b夾角為30 0時；(2)當a丄b時；(3)當當a /b時；分別計算a與b的數(shù)量積?！窘馕? : (1) 5、3 ；(2) 0 ；(3)±10變式練習1 :已知| a| = 3 , |Irff*b |= 5，且a與b的夾角為45 0,則a在b方向上的投影是()3.2A:B: 3 C: 4 D: 52【解析】：A變式練習2 :已知丨a I = 6, | b I = 3，且a b =- 12 ,則a在b方向上的投影是()A : - 4 B : - 2 C : 4 D : 2【解析】：A二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)若a與b是非零向量，e是與a方向相同的單位向量， 是e與a的夾角fbfF-f*

4、4-»P-1、ea = ae =|aI x| e |xcos2、a 丄 ba-b = 03、若a與b同向，則a -b = | a | x| b |(夾角為0度)；若反向，則a -b =-I a | X| b | (夾角為 180 度);特別地，a -a = (a)2 =| a | 2或 | a | = i a?a.a?b4、若是a與b的夾角，貝U cos =-a bfc- f«Is- f5、| a b | w | a | x | b | (當a與b共線時取等號)三、平面向量數(shù)量積的運算律* F F * ¥F F!>*1、a b = b a2、( a ) b

5、=(a b )= a ( b)3、(a + b) c = a c + b c*<»*»*4F4、(a +b) (a b) = (a )2- (b )2 =|a| 2 -| b| 2w*5、(a + b)2 =| a | 2 + 2xa b + | b | 2注意：(1)沒有(a b ) c = a (bc)這個運算定律；(2)a -c = b - c，則不能得到fc-rrwfc>to-irirrfa = b ;(3 )若 a -b = 0，則a = 0 或 b = 0 或 <a ,b > = 90 0。例2 :下列說法正確的個數(shù)(1 )兩個向量的數(shù)量

6、積是一個向量；(2 )向量在另一個向量方向上的投影也是向量；(3)若a b > 0,則a與b的夾角為銳角，若 a v 0,則a與b的夾角為鈍角；(4) (ab)ck f Tb kIf k T f=a (b c)； (5)若 a b = 0,則 a = 0 或 b = 0?！窘馕觥浚?個例3 :已知a與b的夾角為120 0，且丨a 1= 4, | b I = 2，則計算(a 2b) (a + b)=r I a + b |=【解析】：122 .3例 4 :已知 OA 丄 AB , I OA |= 4，則 OA OB =【解析1 : 161hh1變式練習1 :已知I a I = 1, a b

7、=, (a b ) (a + b )= ，求(1) a與b的夾角；2 2(2) a b與a + b的夾角的余弦值。155【解析1 ： 45 °,丨 a b I 2 =, I a + b I 2= , cos = 2=。22卩552 2* f«!*>H變式練習2 :已知向量a、b的夾角為60°,且I a I = 2, I b I = 1，則向量a與向量a+ 2b的夾角等于()A : 150 0 B: 90°C: 600D : 30 0【解析1 ： cosa?(a 2b)B*Taa 2b=30 0可用數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)成的四邊形為菱形變式練習3 :已知向量

8、a與向量b滿足，I a I = 6, I b I = 4，且a與b的夾角為60 0,求丨a + b丨與丨a 3b丨?！窘馕觥浚贺?a + b |= 2 19 , | a 3 b |= 6 . 3變式練習4 :設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，| AB | = 6, | AD |= 4，若點M , N 滿足 BM = 3 MC , DN = 2 NC，則 AM NM =()A: 20B: 15C: 9D: 6解析】這個地方四邊形 ABCD為平行四邊形，可賦予此四邊形為矩形，進而以 A為坐標原uuv點建立坐標系。由 A ( 0,0) , M( 6,3) N (4,4 )，進而 AM (6,3)uuvu

9、uv uuv,NM (2, 1), AM NM9。變式練習5 :已知向量a與向量b是兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a c) (-b c) = 0，則| c |的最大值是(): 2A: 1 B: 2 C:、2 D :2ir*I-ir*b-wff*I-I-【解析】：(a c) (b c)= ab ac bc c2 = 0，則 c2 = c ( a + b),貝 y c4 < c ( a¥F-F -I-F-F-+ b)2 = c2x(a2+ 2 a b + b2) = 2 c2故c2w i 2 。 C(ac) -(i c) = 0c |2=C'(a + i) =| c

10、 | -1 a + i | cos:c a + b cosfi? = x/5cos ,則 c 的最大值是42 ；或者利用數(shù)形結(jié)合，方，云對應的點A , B在 圓 x1 + v: =1 上,C對應的點C在圓云+芒=2上即可。N*四、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角*f*"f.f設(shè)i , j為x軸、y軸方向的兩個單位向量，即 i = (1 , 0), j = (0, 1)，且a與b為兩個非零向量，a = (xi, y 1), b = (x2, y2)MtaMfe*fc-f1、i= 1 j j= 1 ij= 0 ab= xi Xx2 + y iXy2f22' 222、 若 a =

11、 (x, y)，則 | a | 2= x y或 | a |= xy。右 A =(X1, y1), B=(X2, y2),則1 AB 丨=J(X? xj(y2yjrfwwh-*3、若 a= (x1, y1), b= (x2, y2),則 a丄 bab= 0 X1 xx2 + y1xy2 =04、若 a = (x1, y1), b = (x2, y2), a與 b 的夾角為，則 cosX1X2y22y12y2例 4:向量 a = (1 , - 1), b = ( 1 , 2)，則 a (2 a + b)=()A: 1B: 0 C: 1 D: 2【解析】：C 變式練習：若向量a = (x, 2),

12、b = (2, 1)，且a丄b，則| a b | =(A:.5B:、10 C: 2 ,5 D: 10【解析】：B例5 :右-平面向量a = (4,3),2 a + b = (3,18)，則a與b夾角的余弦值等于881616A :B:-C:D :65656565【解析】:C變式練習 1 :設(shè) x、y R,向量 a = (x, 1), b = (1 , y), c = (2 , - 4)，且 a 丄 c , b / c ,則I a + b 1=()A:,5 B:. 10 C: 2 5 D: 10【解析】：B變式練習2 :已知a = ( , 2), b = (-3, 5)，且a與b的夾角為銳角，貝U

13、的取值范圍是?！窘馕觥浚河捎赼與b的夾角為銳角， a b >0,且a與b不共線同向.由a b >0? 3入106+10 >0,解得X<.當向量a與b共線時，得5入=6，得入=-一，因此泊勺取值范圍是35106106X<_且 仔答案：A| 入< 丁且3535變式練習 3 :已知 A(3 , 0), B(0 , 3), C(cos , sin ) ,0 為坐標原點。(1)若 OC / AB ,求 tan ；(2 )若 AC / BC，求 sin2 ；(3 )若| OA + OC |=13，且 (0,)，求OB與OC的夾角。8【解析】：(1 ) - 1(2) -(

14、3)96- l 2變式練習 4 :已知 a = (53 cosx , cosx) , b = (sinx , 2cosx),設(shè)函數(shù) f(x) = a b + b +3o (1 )當x -,時，求函數(shù)f(x)的值域2 6 2(2 )當x -,-時，若f(x) = 8，求函數(shù)f(x -)的值6 2 12(3)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的函數(shù)圖象上各點的縱坐標向12F平移5個單位長度，得到函數(shù) y = g(x)的圖象，求函數(shù) y = g(x)的表達式，并判斷其奇偶性。34sin2x = cos2x =55【解析】：(1)f(x) = 5sin(2x +)+ 5(2)<2

15、x +<76 2 6 6f(x )= 5sin2x + 5 = 5sin(2x + 一 一)=12 6 63.3142(3) g(x)=5sin2xk 和 t,使 m = a + (t2 3) b ,變式練習5 ：a = ( 3，一 1)，b毛，T，且存在實數(shù)k tn = ka +1b，且m丄n，試求的最大值。t V-_ V .F 角軍：T? = (s/5， -1) t 甬"=，£三二 I才 1=>/(/?屮 + ( 1 尸=2, H=Q(討 + (穿,=| j"/?=x/5x4+丄)x2!=o(t2-3)7/=-k7+t，旦土丄-'-V=0,

16、即(才+ (t2-3)韋)(-kH+t) =0展幵幷化筍、"(導 LJk: + t)(t2-3)牙 2=()將沖|一2、|亍| = 1和7.石=0代入上式，可得-4k+t (七'-3)=0,理彳尋lc=丄(t'-3t)4仆+盧=乂"機)+產(chǎn)=丄以亠丄(t + 2) 2,7/t4444由此可得，當七=-2時，m的最小值等于二.t4課后綜合練習T t f fT "f f r1、給出以下四個命題：(1) a丄b a b = 0 ； (2 )若a b = 0,且a豐0 ,則b = 0 ； (3)若 a 工0 , b 豐 0 ,則丨 a b 1 = 1 a

17、|x| b I ; (4 )當 a 與 b 反向時，a b =-| a Ix| b I。正確命題的個數(shù)是（）A: 1B: 2C: 3 D: 4【解析】：B （ 3）應小于2、已知a = （0, 1）, b = （1 , 1），且（a + b）丄a，則實數(shù) 的值是（）A: - 1 B: 0 C: 1 D: 2【解析】：A3、若1 a |= 3，| b 一.、3，且 a、b 的夾角為-，則1 a + b 以（D：、21【解析】：D4、設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線，則(1) (a b ) c (c a ) b = 0 ;(2)| a | | b |v| a b |；(3) (b c

18、) -a (c a ) b 與 c不垂直;(4) (3 a +2b) (3a 2b)= 9 | a | 2 4 | b | 2 中，是真命題的有(B : (2 ) ( 3)C: ( 3) (4) D : (2 ) (4)【解析】：D5、如圖所示,RtKBC 中，/ A = 90°, AB = 1，則 AB BC 的值是(C: 2D : 2【解析】：B6、MBC 中,AB = a , BC = b，若a b > 0，則 ABC的形狀為（A :直角三角形B:鈍角三角形銳角三角形 D:不能判斷【解析】：B7、已知a、b滿足丨a I = 1 b 1= 2 , a b = 0,若向量c與a b共線，則丨a + c I的最小值為()A:.2B: 1C :二1D :-22【解析:設(shè)a = (2, 0),b = (0 ,f»2), c = x( a b ) = (2x,2x)，則I a + c I= . (2 2x)24x2 =,8x2 8x 4 w 2Afc-*8、已知 a2 = 1, b2 = 2,(a b)fe-*ra = 0,則a與b的夾角為()A : 30 0 B: 45 0 C :60 0 D :90 0【解析】：B9、 已知 I a I = I b I = 1, a與 b 的夾角是 90°, c = 2a + 3b , d =