雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器

1、燕 山 大 學(xué) 課 程 設(shè) 計 說 明 書 燕山大學(xué)課 程 設(shè) 計 說 明 書 題目： 雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 學(xué)院（系）： 電氣工程學(xué)院 年級專業(yè)： 檢測 學(xué) 號： 學(xué)生姓名： 沫沫 指導(dǎo)教師： 王娜 教師職稱： 講師 電氣工程學(xué)院課程設(shè)計任務(wù)書課程名稱： 數(shù)字信號處理課程設(shè)計 基層教學(xué)單位：儀器科學(xué)與工程系 指導(dǎo)教師：王娜 學(xué)號100103020038學(xué)生姓名沫沫（專業(yè)）班級 檢測設(shè)計題目12、 雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器設(shè)計技術(shù)參數(shù)給定技術(shù)指標(biāo)為：，采樣頻率。設(shè)計要求設(shè)計Butterworth低通濾波器，用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。(buttord,buttap,butt

2、er,bilinear)參考資料數(shù)字信號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應(yīng)完成內(nèi)容收集消化資料、學(xué)習(xí)MATLAB軟件，進行相關(guān)參數(shù)計算編寫仿真程序、調(diào)試指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字說明：1、此表一式四份，系、指導(dǎo)教師、學(xué)生各一份，報送院教務(wù)科一份。 2、學(xué)生那份任務(wù)書要求裝訂到課程設(shè)計報告前面。 電氣工程學(xué)院 教務(wù)科目錄 第一章 緒論4 第二章 用雙線性變換法設(shè)計低通濾波器的主要原理52.1 雙線性變換法5 2.1.1 雙線性變換法的基本原理5 2.1.2 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析62.2 巴特沃斯低通濾波器原理9 第三章 用雙線性變換法設(shè)計低通濾波器步驟11 第四章 MATLAB程序

3、11 第五章 程序中命令介紹13 第六章 運行結(jié)果及波形14 第七章 結(jié)果分析16 第八章 心得體會17 參考文獻18 第一章 緒論數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波實質(zhì)上是一種運算過程，實現(xiàn)對信號的運算處理。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個完成特定運算的數(shù)字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的

4、單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實現(xiàn)，其差分方程為： 系統(tǒng)函數(shù)為： 計IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。

5、 第二章 用雙線性變換法設(shè)計低通濾波器的主要原理2.1 雙線性變換法 由于從平面到平面的映射具有多值性，使得設(shè)計出來的數(shù)字濾波器不可避免的出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生的頻譜混疊效應(yīng)的缺點，我們使用一種新的變換雙線性變換。2.1.1雙線性變換法的基本原理 雙線性變換法可認為是基于對微分方程的積分，利用對積分的數(shù)值逼近的思想 。仿真濾波器的傳遞函數(shù)為 （2-1）將展開為部份分式的形式，并假設(shè)無重復(fù)幾點，則 （2-2）那么，對于上述函數(shù)所表達的數(shù)字信號處理系統(tǒng)來講，其仿真輸入和模擬輸出有如下關(guān)系利用差分方程來代替導(dǎo)數(shù)，即 （2-3）同時令這樣，便可將上面的微分方程寫為對應(yīng)的差分方

6、程形式 （2-4）兩邊分別取變換，可得 （2-5）這樣，通過上述過程，就可得到雙線性變換中的基本關(guān)系，如下所示 （2-6） （2-7）所謂的雙線性變換，僅是指變換公式中與的關(guān)系無論是分子部份還是分母部份都是線性的。2.1.2 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法，也就是將整個頻域軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步現(xiàn)將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整 個z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。 S平面 /T

7、 s1平面 z平面 0 0 0 1 Rez -/T 圖2.1雙線性變換法的映射情況 為了將S平面的整個虛軸壓縮到軸上的-/T到/T段上，可以通過以上的正切的變換實現(xiàn) =2/T tan(T/2) （2-8） 式中，T仍是采樣間隔。當(dāng)由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個軸。將上式寫成 （2-9）將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和，令=s, =S1,則得S (2-10)再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：z= （2-11） 從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為; (2-12) (2-13)式（2-12）和式（2-13）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是

8、兩個線性函數(shù)之比，因此成為雙線性變換。 依靠雙線性變換式建立起來s平面和z平面的單值映射關(guān)系，由上式我們可以得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系： （2-14） 從上式可知，當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，整個軸是單值地對應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，它不存在頻率混疊問題。 由于S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關(guān)系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預(yù)畸變來校正。用雙線性變換設(shè)計數(shù)字濾波器時，一般總是先將數(shù)字

9、濾波器的各臨界頻率經(jīng)式（2-14）的頻率預(yù)畸變，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過雙線性變換公式求出數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的位置上。 圖2.2雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射2.2巴特沃斯低通濾波器的原理巴特沃斯濾波器的特點是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數(shù)對角頻率的波特圖上，從某一邊界頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分

10、貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且濾波器的階數(shù)越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低階數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。 圖2.3 三階巴特沃斯濾波器極點分布圖上述函數(shù)的特點是等距離分布在半徑為的圓上，如下圖所示為三階巴特沃斯濾波器極點分布圖：因此，極點用下式表示為 (2-15) 的表示式： (2-16)為了使設(shè)計公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 (2-17)令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 (2-18)式中，為歸一化極點，用下式表示

11、: (2-19)巴特沃斯濾波器的設(shè)計實質(zhì)上就是根據(jù)設(shè)計指標(biāo)求階數(shù)N和3 dB截止頻率c的過程。第三章 用雙線性變換法設(shè)計低通濾波器步驟設(shè)計數(shù)字濾波器的具體步驟如下：（1）確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率、通帶最大衰減系數(shù)、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減系數(shù)。（2）將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。采用雙線性變換法，頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （3）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，確定濾波器最小階數(shù)n和固有頻率wn。（4）由最小階數(shù)n得到巴特沃斯模擬低通濾波器原型。（5）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。H(z)=Ha（S）|第四章

12、 MATLAB程序用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器的MATLAB程序如下：fs=1000;%采樣頻率fp=100;fst=300;wp=2*pi*fp/fs;%數(shù)字通帶截止頻率ws=2*pi*fst/fs;%數(shù)字阻帶截止頻率Rp=3;%通帶最大衰減系數(shù)rRs=20;%阻帶最大衰減系數(shù)Fs=fs/fs;Ts=1/Fs;%采樣周期m=256;%采樣點數(shù)Wp=2/Ts*tan(wp/2);%模擬通帶截止頻率Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模擬阻帶截止頻率N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數(shù)z,p,k=buttap(N

13、);%創(chuàng)建巴特沃斯模擬低通濾波器Bp,Ap=zp2tf(z,p,k);%由零點、極點、增益確定傳輸函數(shù)的分子與分母的系數(shù)b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換,歸一化bz,az=bilinear(b,a,Fs*Ts/2);%用雙線性變換法實現(xiàn)模擬低通濾波器到數(shù)字低通濾波器的轉(zhuǎn)換h,w=freqz(bz,az,m,Fs/fs);db=20*log(abs(h)/max(abs(h);figure(1);plot(w,abs(h),'r');title('數(shù)字低通濾波器')grid on;xlabel('頻率(rad)

14、');ylabel('幅度')figure(2);subplot(2,1,1);plot(w/pi,db);title('幅頻特性');xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');grid on;subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h);title('相頻特性');xlabel('w/pi');ylabel('相位');grid on;Nc,wc=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%計算濾

15、波器階數(shù)和3dB截止頻率bl,al=butter(Nc,wc,'s');%計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式h,f=freqs(bl,al);figure(3)plot(f,abs(h);grid on,xlabel('頻率（HZ）');ylabel('幅度')title('模擬低通濾波器');第五章 程序中命令介紹程序中所用的主要指令如下：1)確定濾波階數(shù)函數(shù)buttord 格式:N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,S) 表示選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數(shù)其中：N：滿足指標(biāo)的最低濾波器階數(shù) Wn:巴特沃斯自然頻

16、率 Rp:通帶最大衰減 Rs:阻帶最小衰減 Wp、Ws歸一化的通帶和阻帶邊緣頻率。2)確定低通模擬濾波器原函數(shù)buttap 格式：Z,P,K=buttap(N)其中：N:滿足指標(biāo)的最低濾波器階數(shù)Z:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的零點P:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的極點K:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的增益3)雙線性變換函數(shù)billinear 格式：bz,az=bilinear(bs,az,Fs/2)其中:as:模擬濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù) bs:模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù) az: 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù) bz: 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)4)零點、極點、增益

17、模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型zp2tf 格式：Bp,Ap=zp2tf(z,p,k)其中：Bp: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)Ap: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù)5)模擬低通濾波器到數(shù)字低通濾波器的轉(zhuǎn)換lp2lp 格式：b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn)其中：b: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù) a: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù)6)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)freqz 格式：h,w=freqz(bz,az,m)其中：w: m點頻率 H: m點頻率響應(yīng) m：采樣點 第六章 運行結(jié)果及波形顯示的圖像如下：第七章 結(jié)果分析本次設(shè)計的數(shù)字低通濾波器采用巴特沃茲濾波器使用雙線性變換法，避免出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象。一、根

18、據(jù)要求的數(shù)據(jù)按照設(shè)計步驟計算：（1） 確定數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)：，采樣頻率。 以采樣頻率為標(biāo)準(zhǔn)進行歸一化：p=2fp/Fs=0.628，s=2fs/Fs=1.885，F(xiàn)s=1，T=1。（2）將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：p=2tan0.1=0.650，s=2tan0.3=2.753（3） 根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)求階數(shù)N:經(jīng)計算N=1.5，取N=2. 計算3dB截止頻率c=0.8727二、仿真結(jié)果中模擬和數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)符合設(shè)計要求即給定技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻阻帶截止頻率通帶衰減阻帶衰減。所仿真結(jié)果中數(shù)據(jù)有N=2,Wn=0.8727，與計算結(jié)果一致。仿真圖中符合衰減效果。由此可得所設(shè)計的程序符合所設(shè)計的技術(shù)和參數(shù)要求。第八章 心得體會為期一周的數(shù)字信號課程設(shè)計在不知不覺中結(jié)束了，由于這個星期有很多的考試，因此真正課設(shè)的時間就變得很少。但是通過本次課程設(shè)計，我還是有了很多的收獲。