圓的切線證明

1、圓的切線證實(shí)1 2021中考.如圖,PA為.的切線,A為切點(diǎn),過(guò) A作OP的垂線AB,垂足為點(diǎn)C,交.O于點(diǎn)B,延長(zhǎng)BO與.O交于點(diǎn)D,與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E, 求證：PB為.的切線；2.O中,AB是直徑,過(guò) B點(diǎn)作.O的切線,連結(jié) CO,假設(shè)AD / OC交.于D,求證：CD是.的切線.3如圖,AB=AC , AB是.O的直徑,O O交BC于D, DM,AC于42021年廈門市：如圖,期C中,4g =,以為3為直徑的tO交3c于點(diǎn)尸于點(diǎn)口 .第23題1求證：F口是已.的切線;5：如圖.O是 ABC的外接圓,P為圓外一點(diǎn),PA/ BC,且A為劣弧的中點(diǎn),割線 PBD過(guò)圓心,交 .0于另一點(diǎn)D,

2、連結(jié)CD(1)試判斷直線PA與.0的位置關(guān)系,并證實(shí)你的結(jié)論.(2)當(dāng)AB=13, BC=24時(shí),求.O的半徑及 CD的長(zhǎng)._l I6如圖,點(diǎn)B、C D都在半徑為6的.O上,過(guò)點(diǎn)C作AC/ BD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) A,連接CD,/ CDB=Z OBD=30 . (1)求證：AC是.的切線；(2)求弦BD的長(zhǎng)；(3)求圖中陰影局部的面積.7、 (2021北京中考) ：如圖,在 4ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),圓 O過(guò)D、B、C 三點(diǎn), DOC=2 ACD=90 .(1)求證：直線AC是圓O的切線；(2)如果 ACB=75 ,圓O的半徑為2,求BD的長(zhǎng).8、 (20210匕京)如圖,在 ABC, A

3、B=AC ,以AB為直徑的.O分別交 AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在 1AC的延長(zhǎng)線上,且/ CBF=W/ CAB . (1)求證：直線 BF是.O的切線；9.O的半徑 OAOB,點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上,連結(jié) AP交.于D,過(guò)D作.O的切線CE交 OP 于 C,求證：PC=CD.10 (2021 年廣東省 9 分)如圖,.是 RtAABC 的外接圓,ZABC=90° ,弦 BD=BA , AB=12 , BC=5 ,BE ± DC X DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.(1)求證：/ BCA= / BAD ; (3)求證:BE是.O的切線.11 (7分)(2021?珠海)如圖,.O經(jīng)過(guò)菱形

4、ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A、C、D,且與AB相切于點(diǎn)A (1)求證：BC為.的切線；(2)求/ B的度數(shù).細(xì)說(shuō)如何證實(shí)圓的切線1、證切線90垂直2、有90 證全等3、有,證/ ,錯(cuò)過(guò)來(lái)4、利用角+角=90 關(guān)注：等腰等邊三線合一；中位線；直角三角形1 2021中考.如圖,PA為.的切線,A為切點(diǎn),過(guò) A作OP的垂線AB, 垂足為點(diǎn)C,交.O于點(diǎn)B,延長(zhǎng)BO與.O交于點(diǎn)D,與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E, 求證：PB為.的切線；2.O中,AB是直徑,過(guò) B點(diǎn)作.O的切線,連結(jié) CO,假設(shè)AD / OC交.于D,求證：CD是 .的切線.3如圖,AB=AC , AB是.O的直徑,O O交BC于D,DM,AC 于

5、 M求證：DM與.O相切.點(diǎn)悟：要證CD是.O的切線,須證 CD垂直于過(guò)切點(diǎn) D的半徑,由此想到連結(jié) OD.證實(shí)：連結(jié)OD. . AD / OC,/ COB = / A 及/ COD = / ODA,. OA=OD, ./ ODA =Z OAD ./ COB = Z COD .CO為公用邊,OD = OB.,.COBA COD,即/ B = Z ODC BC是切線,AB是直徑, ./ B = 90° , / ODC =90° , .CD是.O的切線.點(diǎn)撥：輔助線OD構(gòu)造于“切線的判定定理與“全等三角形兩個(gè)根本圖形,先用切線的性質(zhì)定 理,后用判定定理.32021年廈門市：如圖

6、,月5c中,4g =乂C ,以工8為直徑的tO交3C于點(diǎn)尸,PD.LAC 于點(diǎn)口.(第23題)(1)求證：產(chǎn)白是字.的切線；(2)假設(shè) NCXB = 12 "= 2,求 的值.(1)證實(shí)：Q內(nèi)方二用C,又二二二二七,乙 OPR = XB:.ZC- Z.OPB:.OP fl AD又QFO_LC于A,二乙仞尸二90",:.RD是匕.的切線4：如圖.O是 ABC的外接圓,P為圓外一點(diǎn),PA/ BC,且A為劣弧的中點(diǎn),割線 PBD過(guò)圓心,交 .0于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD(1)試判斷直線PA與.0的位置關(guān)系,并證實(shí)你的結(jié)論.(2)當(dāng)AB=13, BC=24時(shí),求.O的半徑及尸A交_如圖,

7、點(diǎn)B、C、D都在半徑為6的.O上,Z OBD=30 .(1)求證：AC是.的切線；(2)求弦BD的長(zhǎng)；(3)求圖中陰影局部的面積.AC5. (2021北京中考) ：如圖,在DOC=2 ACD=90 . (1)求證：直線AC是圓O的切線； (2)如果 ACB=75 ,圓O的半徑為CD的長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)C作AC/ BD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) A,連接CD/ CDB ABC中,D 是 AB邊上一點(diǎn),圓 O 過(guò) D、B、C 三點(diǎn),2,求BD的長(zhǎng).6、 2021Z匕京如圖,在 AABC ,AC的延長(zhǎng)線上,且/ CBF=|z CAE1求證：直線BF是.的切線;AB=AC ,以AB為直徑的.O分別交 AC、BC于點(diǎn)D、

8、E,點(diǎn)F在例6.O的半徑OALOB,點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上,連結(jié) AP交.O于D ,過(guò)D作.O的切線CE交OP于C,求證:PC= CD.t)E點(diǎn)悟：要證PC=CD,可證它們所對(duì)的角等,即證/ P= /CDP,又OALOB,故可利用同角或等 角的余角相等證題.證實(shí)：連結(jié)OD,那么ODXCEo ./ EDA +/ ODA = 90° .OAXOB A + / P=90° ,又 OA = OD, ./ ODA = Z A, / P= / EDA. / EDA =/ CDP,. P=/ CDP, PC=CD點(diǎn)撥：在證題時(shí),有切線可連結(jié)切點(diǎn)的半徑,利用切線性質(zhì)定理得到垂直關(guān)系.7 (2

9、021 年廣東省 9 分)如圖,.是 RtAABC 的外接圓,/ ABC=90° ,弦 BD=BA , AB=12 , BC=5 ,BE ± DC X DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.(1)求證：/ BCA= / BAD ;(2)求DE的長(zhǎng)；(3)求證:BE是O O的切線.【答案】 解：(1)證實(shí)：BD=BA ,BDA= / BAD./BCA=/BDA (圓周角定理),/ BCA= / BAD .(2) BDE= Z CAB (圓周角定理),/ BED= / CBA=90 , . BEDACBA , .BD DEoAC AB BD=BA =12 , BC=5,根據(jù)勾股定理得:AC=1

10、3 .1213DE12DE14413(3)證實(shí)：連接OB, OD,AB DB在ABO 和 ADBO 中,: BO BO ,OA ODABOADBO (SSS). ./ DBO= / ABO .錦元數(shù)學(xué)工作室繪制. / ABO= ZOAB= ZBDC ,DBO= / BDC.OB / ED.BEX ED, EB± BOo /. OB ± BE oOB是.O的半徑,BE是.的切線.8. (7分)(2021?珠海)如圖,O O經(jīng)過(guò)菱形 ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A、C、D,且與AB相切于點(diǎn)A (1)求證：BC為.的切線；(2)求/ B的度數(shù).考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).分析：(

11、1)連結(jié)OA、OB、OC、BD ,根據(jù)切線的性質(zhì)得 OALAB,即/ OAB=90 °,再根 據(jù)菱形的性質(zhì)得 BA=BC ,然后根據(jù) SSS可判斷 ABCACBO,那么/ BOC= / OAC=90 °,于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；(2)由 ABC CBO得/ AOB= / COB ,那么/ AOB= / COB ,由于菱形的對(duì)角線 平分對(duì)角,所以點(diǎn) O在BD上,利用三角形外角性質(zhì)有/BOC= / ODC+ / OCD,那么/ BOC=2 / ODC ,由于 CB=CD ,那么/ OBC=/ODC,所以/ BOC=2 Z OBC ,根據(jù)/ BOC+/ OBC=90

12、 ° 可計(jì)算出/ OBC=30°,然后利用/ ABC=2 / OBC計(jì)算即可.解答：(1)證實(shí)：連結(jié) OA、OB、OC、BD,如圖, AB與.切于A點(diǎn), OAXAB ,即/ OAB=90 °, 四邊形ABCD為菱形,BA=BC ,在 ABC和 CBO中AB=CB0A二3 ,OB 二 OB .ABC CBO,/ BOC= / OAC=90 °, OCXBC,BC為.O的切線；(2)解：. ABCA CBO, ./ AOB= / COB, 四邊形ABCD為菱形,BD 平分/ ABC , CB=CD ,.點(diǎn)O在BD上, . / BOC= / ODC+/ OCD ,而 OD=OC , ./ ODC=/OCD,/ BOC=2 / ODC ,而 CB=CD , ./ OBC=/ODC,/ BOC=2 / OBC , . / BOC+ Z OB