高三數(shù)學(xué)典型例題解析：第十一章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

1、第十一章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)§11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 復(fù)數(shù)：形如的數(shù)（），復(fù)數(shù)通常有小寫(xiě)字母表示，即,其中叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、叫做復(fù)數(shù)的虛部，稱做虛數(shù)單位.2. 分類：復(fù)數(shù)()中，當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)；除了實(shí)數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng),b時(shí)，叫做純虛數(shù).3. 復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4. 復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與的實(shí)部與虛部分別相等，記作：=.5. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實(shí)軸， 軸叫做虛軸.6. 復(fù)數(shù)的模：設(shè)=,則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)

2、部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小2則，而，則不一定成立，如時(shí)；3，而則不一定成立；4若不一定能推出；5若，則=，但若則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）.實(shí)數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù) 錯(cuò)解:當(dāng)?shù)玫綍r(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為及則 或當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)當(dāng)時(shí)，因此應(yīng)選D. 注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會(huì)全面辯證的思考問(wèn)題，準(zhǔn)確記 憶有關(guān)概念性質(zhì). 例2判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，則 錯(cuò)解：

3、(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來(lái).認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實(shí)數(shù)則這兩個(gè)復(fù)數(shù)也為實(shí)數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)則 (2)錯(cuò)，反例設(shè)，滿足，但不能比較大小. (3)錯(cuò)，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.例3實(shí)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 解：實(shí)部，虛部.（1）當(dāng) 時(shí)，是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng) ，且 時(shí)，是虛數(shù)；（3） 當(dāng) 或 時(shí)是純虛數(shù) 例4 設(shè)，當(dāng)取何值時(shí)， (1) ; (2).

4、分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問(wèn)題常用的思想方法，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來(lái)列出關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：當(dāng) 時(shí) (2)當(dāng) 可得： 或 ，即 時(shí).例5是兩個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，它們?cè)趶?fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)P和Q，且，證明OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），并求兩銳角的度數(shù)分析  本題起步的關(guān)鍵在于對(duì)條件的處理等式左邊是關(guān)于的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不為零），得即向量與向量的夾角為，在圖中，又，設(shè)，在OPQ中，由余弦定理OPQ為直角三角形，四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，那么z

5、等于（   ）A  B  C  D2.復(fù)數(shù)系方程有實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)是.3. 實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限4.已知且求復(fù)數(shù)5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限、四象限的角平分線上，求的值 §11.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復(fù)數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)是連接向量、的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論（1） 對(duì)復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3

6、) ，.(4)設(shè)，二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.對(duì)于，是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì).2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)，如下面的結(jié)論.當(dāng)時(shí)，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓錯(cuò)解：選A或B.錯(cuò)因：如果把看作動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（0，2）的距離，由上式表示到兩個(gè)定點(diǎn)（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點(diǎn)間的距離小于定常數(shù).正解：點(diǎn)（0，2）與（-1，

7、0）間的距離為， 動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)（0，-2）與（-1，0）之間，選C評(píng)注：加強(qiáng)對(duì)概念的理解加深，認(rèn)真審題.例2 求值：錯(cuò)解：原式= 錯(cuò)因：上面的解答錯(cuò)在沒(méi)有真正理解的含義，只是用了三個(gè)特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯(cuò)誤.另外還可以看出對(duì)虛數(shù)單位的整數(shù)冪的運(yùn)算不熟悉，沒(méi)有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果的周期性.正解：原式=評(píng)注：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點(diǎn)，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進(jìn)行分類討論. 例3已知，求的值. 分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問(wèn)題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式，若直接將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡(jiǎn). 原式=評(píng)注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.解法一： ， . 若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根. ， 所求的一個(gè)一元二次方程可以是. 解法二：設(shè) ， 得 ， 以下解法同解法一. 例5解析 四、典型習(xí)題導(dǎo)練