塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系01分析

1、第6章塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在20世紀50年代,經(jīng)典塑性理論有了很大的開展,表現(xiàn)在：(1)極限分析的根本定理(Drucker 等,1952); (2) Drucker 假設(shè)或穩(wěn)定材料的定義( Drucker, 1951); (3)正交性 條件的概念或關(guān)聯(lián)流動法那么( Drucker, 1960)等的建立和開展.理想塑性體的極限分析理 論產(chǎn)生了能更直接地估計結(jié)構(gòu)和土體承載力的實際方法(Chen, 1982, Chen和Liu, 1990).穩(wěn)定材料的概念提供了一個統(tǒng)一的方法和塑性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的廣義觀點.正交性條件的概念提供了塑性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的屈服準那么或加載函數(shù)之間的必要聯(lián)系.所有的這些進展

2、導(dǎo)出了金屬塑性經(jīng)典理論嚴格的根底,也為后來土體、巖石和混凝土類的其他材料的更復(fù)雜的塑性理論開展打下了根底( Chen和Han, 1988, Chen和Mizuno , 1990).6.1加載準那么在應(yīng)力空間上的屈服面確定了當前的彈性區(qū)的邊界.如果一個應(yīng)力點在屈服面的里面, 就稱之為彈性狀態(tài)而且只有彈性特性；如果一個應(yīng)力點在屈服面上,其應(yīng)力狀態(tài)為塑性狀態(tài),產(chǎn)生彈性或者彈塑性特性.在數(shù)學上,彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)作如下定義：f 0時,彈性狀態(tài)f 0時,塑性狀態(tài)這里,f就是在應(yīng)力空間定義了屈服面的屈服函數(shù).對于強化材料,如果應(yīng)力狀態(tài)趨向于移出屈服面的趨勢,那么可獲得一個加載過程,而且能觀察到彈塑性變形；

3、會產(chǎn)生附加的塑性應(yīng)變且當前的屈服(或加載)面構(gòu)形也會發(fā)生改變,使應(yīng)力狀態(tài)總保持在后繼加載面上.如果應(yīng)力狀態(tài)有移進屈服面以內(nèi)的趨向,那么稱為卸載過程,此時只有彈性變形發(fā)生,加載面仍然保持原樣.應(yīng)力從塑性狀態(tài)開始改變的另一種可能 就是應(yīng)力點沿著當前屈服面移動,這個過程叫做中性變載,與其相關(guān)的變形是彈性的.區(qū)分這些現(xiàn)象的數(shù)學表達式就叫做加載準那么,可用以下式子表示f 0且d j 0時,加載f 0且-f d j 0時,中性變載(6-1)f 0且f-d ij 0時,卸載通常,f函數(shù)形式是這樣定義的,使得梯度矢量 njf的方向總是沿著屈服面f 0向外的法線方向.因此,這些加載準那么能用圖6-1作簡單的說明

4、.加載F卸載0加載面f 0(a)b圖6-1加工強化材料的加載準那么a單軸情況； b 多軸情況對于理想塑性材料,當應(yīng)力點沿著屈服面移動時,能觀察到彈塑性變形.但是,它并不總是引起塑性變形而有可能被歸到中性變載情況,因此對這種材料的加載準那么給出定義如下f 0且f-d j0時,加載或中性變載f 0 且-fd j0時,卸載6-2應(yīng)當指出,加載和中性變載過程不能用上述準那么加以區(qū)別.已經(jīng)有人提出表述加載準那么的不同的形式,可以用應(yīng)變增量代替應(yīng)力增量作出判斷f 0且,Cjkid ki 0時,加載f 0且 Cjki d ki0時,中性變載6-3f 0 且f-Cijki d ki0時,卸載在這里,Cjki是

5、彈性剛度張量.在 Chen等Chen和Zhang, 1991的論文中可以找到 關(guān)于上述加載準那么的進一步討論.對于理想塑性材料來說,這種形式更具普遍性也更適用.例如即將在后面6.3.1節(jié)中看到的,對于理想塑性材料,即使當一Ld j0時也能找到塑性應(yīng)變增量的值為零,也就是在式6-4中定義的d 0.這是在式6-4中定義的中性變載過程.在有限元分析中,需要從給出的或的應(yīng)變增量中算出應(yīng)力增量,這個計算需要給出或知道發(fā)生的變形是哪種形式.式6-1和式6-2中慣用的準那么并不很方便,由于要用他們就必須知道應(yīng)力增量,而后面式6-3中的準那么能使我們用很直接的方法去解決這個難點.6.2 流動法那么在加載過程中

6、會產(chǎn)生塑性應(yīng)變, 為了描述彈塑性變形的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系, 必須定義出塑 性應(yīng)變增量矢量d ijp的方向和大小,即：(1)各分量的比率；(2)它們相應(yīng)于應(yīng)力增量 d ij 的大小.下面將以一個類似于理想流體流動問題的方式介紹塑性勢能函數(shù)g的概念,我們把流動法那么規(guī)定如下：d jp d(6-4)其中,d是一個貫穿于整個塑性加載歷史的非負標量函數(shù).梯度矢量g/ j規(guī)定了塑性應(yīng)變增量矢量d;的方向,也就是勢能面g 0在當前應(yīng)力點的法線方向,由于這個原因,該流動法那么也稱作正交條件.另一方面,塑性應(yīng)變增量矢量的長度或大小由d確定.如果塑性勢能面與屈服面有相同的形狀,也就是g f ,那么流動法那么與屈服條件

7、是相關(guān)聯(lián)的,可用下式表示為d jp d f(6-5)在這種情況下,塑性應(yīng)變沿著當前加載面的法線方向產(chǎn)生.式(6-5)中的正交條件雖很簡單,但以此為根底建立的任何應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系,對一個給定的邊界值問題有惟一解.6.2.1 von Mises形式的塑性勢能函數(shù)von Mises函數(shù)在應(yīng)力空間中表示為圓柱體,其偏截面如圖6-2所示.這個塑性勢能函數(shù)表示為g( j) J k 0(6-6)其中,k為常數(shù).因此,由流動法那么可得d jpsjd(6-7)此式說明,應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變增量張量相應(yīng)主軸是一致的,從式(6-7)可得到d kkskkd0(6-8)所以,對這種類型的材料,體積變化是純彈性的,不能產(chǎn)生塑

8、性體積變化.3圖6-2 在偏平面上的 Tresca和von Mises準那么由式(6-7)可推出SxsySzP d xy2 xyp d yz2 yzP d zx2 zx(6-9)上述等量關(guān)系就是 PrandtlReuss方程.它是 Prandtl在1925年擴展了原先的 Levy Mises方程(式6-10)得到的,而且第一次提出了理想彈塑性材料在平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.Reuss在1930年又把Prandtl方程擴展到三維情況并給出式(6-9)的一般形式.在大塑性流動的問題中, 彈性應(yīng)變可以忽略不計. 在這種情況下,材料可以被認為是理 想剛性塑性體,總的應(yīng)變增量 d j和塑性應(yīng)變增量d

9、 :可以認為相等.這種材料的應(yīng)力一 應(yīng)變關(guān)系可以寫成(6-10 a)Sxd y dSySzd xy2 xyd yz2 yzd zx2 zx(6-10 b)St. Venant 在 1870 年第一個Levy 在 1871 年和 von Mises這個等量關(guān)系式就是 Levy Mises方程.在它們的開展過程中,提出了應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合,上面的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系由 在1913年分別提出.6.2.2 Tresca形式的塑性勢能函數(shù)這個棱柱的偏平面在主應(yīng)力空間,Tresca函數(shù)表示為由六個平面組成的正六角棱柱體.見圖6-2.假設(shè)主應(yīng)力的大小次序是123,那么就能定出相應(yīng)的勢能函數(shù)為g 13 2k

10、 0(6-11)其中,k為常數(shù).根據(jù)式(6-5),與Tresca勢能涵數(shù)相關(guān)聯(lián)的主應(yīng)變增量那么為(d 1p, d 2p, d 3p)d (1, 0,1)(6-12)對于主應(yīng)力1、2、3大小的其他五種代數(shù)順序的組合可以得出類似的結(jié)果.3,d(a)2k圖6-3與Tresca屈服準那么函數(shù)相關(guān)的流動法那么(a)塑性應(yīng)變增量矢量的正那么性(b)作為光滑面極限的頂點A在一個如圖6-3(a)所示的主應(yīng)力(主應(yīng)變)增量組合空間里,塑性應(yīng)變增量能用幾何 圖形來討論.可以看出在123的平面AB上的任何地方,塑性應(yīng)變增量的方向都互相平行且垂直于 Tresca六角棱柱體的 AB面.對于六角棱柱體的其他平面也能得到類

11、似的 關(guān)系.在某些特殊情況下,比方12行于X2軸的45 0剪切面上,而且在平行于 兩種塑性應(yīng)變增量的可能：(1) max1 ,min3(d 1p,d 2p,d 3p) d i(1, 0,(2) max1 ,min2(d 1p,d 2p,d 3p) d 2(1,1,3,情況就更復(fù)雜,由于最大剪應(yīng)力值不僅在平X3軸的450剪切面上與屈服值 k相等.因此有1),對于d 100),對于d 20在這種情況下,假定塑性應(yīng)變增量矢量是前面所給兩個增量的線性組合,即(d 1p,d 2p,d 3p) d i(1, 0,1) d 2(1,1, 0),對于 d 1, d 20(6-13)這種假定適合于當前應(yīng)力狀態(tài)&

12、#176;位于塑性勢能面的頂點或奇異點的特殊情況.一般地,塑 性應(yīng)變增量矢量必須位于六邊形兩相鄰邊的法線方向之間(圖 6-3 ( b ).一般地,在幾個光滑勢能面相交的奇異點處,應(yīng)變增量通?？梢员硎境?在這點相交的各面的法線方向所確定的增量的線性組合,即d ijp d k-gk(6-14)k 1ij式(6-13)、式(6-14)說明,在頂點處,塑性應(yīng)變增量的方向是不確定的,要克服這個難 點的一個方法,就是使頂點處光滑而且把Tresca勢能面看作這個光滑面的極限情況.為此,我們采用Tresca函數(shù)的另一種形式(6-15)g . J2 sin此處,在0與/ 3之間取值.當=時,上式簡化為3(6-1

13、6)Tresca面的實際上,上式就是 vonMises準那么,而且說明頂點處的塑性應(yīng)變方向由外接von Mises面來確定.相反地,塑性勢能面的頂點能被看作光滑外表的極限情況,而且對于角點處仍作為光滑面可應(yīng)用流動法那么.如相應(yīng)于6-2和圖6-3 ( b)中的點 A所示.Tresca面的光滑面就是 von Mises面,如圖6.3 理想塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想塑性材料的加載準那么要求應(yīng)力增量矢量d 0相切于屈服面,而流動法那么要求塑性應(yīng)變增量矢量d ；是在塑性勢能面的法線方向.接著再確定d ：的大小,即d ,一旦d確定,就能建立d j和d jp之間的關(guān)系.6.3.1 一般形式設(shè)主應(yīng)變增量

14、為彈性應(yīng)變增量與塑性應(yīng)變增量之和,即epd ij d ij d ij6-17彈性應(yīng)力增量與應(yīng)變增量的關(guān)系通過虎克定律確定ed ijCijkl d kl6-18塑性應(yīng)變d jP從式6-4中的流動法那么可以得到.在式6-18中,Cjki是彈性剛度張量.那么對理想彈塑性材料來說,應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可以表示成d ij Cijkidki d kl(6-19)其中,d是一個特定的非負標量.這個補充的條件叫一致性條件.用數(shù)學式子表在塑性變形時,應(yīng)力點停留在屈服面上, 示成f ij0, f ij d ij f ij df ij06-20或者用增量的形式可以寫成df d j 06-21正如式6-2中所見,在加載或中

15、性變載時上式是滿足的.把彈性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系式6-19代入式6-21中解出d ,有,1 fd -Cijkl d kl(6-22)H ij其中f g H Cjkl (6-23)ijkl這個等式說明,即使當應(yīng)力增量d j在屈服面上移動,f/ jd j 0, d仍能為零.也就是說,只要f/ jCjkld 00,就不會產(chǎn)生塑性應(yīng)變,這是理想塑性材料的中性加載過程,正如式6-3所分類的那樣.對于一個給定白應(yīng)變增量 d j ,可以利用式6-19、式6-22計算出應(yīng)力增量 d j ,聯(lián)立式6-19和式6-22可以用數(shù)字方法推導(dǎo)出d 0和 j之間的明確關(guān)系.這里,cep是彈塑性剛度張量,表示為(6-25)(6-

16、26)iCijki Cijki H j H kiH其中g(shù)fH ij Cijkl, H kiC pqklmnpq注意到,f/ ij與d ij和d ij無關(guān),我們可以從式6-21中發(fā)現(xiàn),應(yīng)力增量 d ij的分量之間存在線性關(guān)系,由于最終應(yīng)力狀態(tài)必須在屈服面上.利用式6-24中應(yīng)力增量d j6-4 ( a)中可由應(yīng)變增量d j惟一確定.然而,我們不能惟一地建立逆關(guān)系,對于一個給定的應(yīng)力增量d j ,只是在待定因子 d范圍內(nèi)才能定義應(yīng)變增量d j o這一點可以通過圖所示的單軸材料特性很好地解釋.圖6-4理想彈塑性材料a單軸應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系;b屈服面和加載、卸載準那么的幾何關(guān)系6.3.2 Prandtl

17、Reuss 模型(J2 理論)在von Mises屈服準那么和與它相關(guān)聯(lián)的流動法那么根底上導(dǎo)出的理想彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,就是大家所熟悉的 PrandtlReuss材料模型.在這種情況下,屈服函數(shù)f和勢能函數(shù)g 定義為f gv'J7k6-27其中,k為常數(shù),這個模型可能是在工程實際中用得最廣泛,也許是最簡單的理想彈塑性材料的模型.把式6-27代入式6-25就可以得到Prandtl - Reuss模型的完整的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系.設(shè)彈性狀態(tài)是線性的和各向同性的,那么有ij kl ( ik jl il jk)k2Sj Ski(6-28)其中 和都是Lame常數(shù).d如果我們用矢量的形式表示應(yīng)力和應(yīng)

18、變增量,即分別為 陣的形式表示張量Cen為其中CepCxyyzzxdCp9GCepd xyyzzx(6-29)2G 3-G 3-G 3-G 3-G 3(6-30)對稱2SxCpGk7對稱Sx SzSxSxySxSyzSxSzxSy SzSySxySy SyzSySzx2SzSzSxySzSyzSzSzxSxyS S _ xy yzSxy Szx2SyzSyzSzxSxSy2Sy2 Szxd j不能由應(yīng)力增量K和G分別是體積模量和剪切模量.像前面所討論的一樣,應(yīng)變增量d j惟一確定.這說明C即的逆陣不存在,或者說矩陣 Cep是奇異矩陣.從式6-4和式6-22,也可得到sd(6-31 )2k這些等

19、式清楚地說明,塑性應(yīng)變增量d jp取決于偏應(yīng)力狀態(tài)的當前值,而不是到達新的狀態(tài)所需的應(yīng)力應(yīng)變增量.對這種材料,可以導(dǎo)出(6-32)ppJ 2dWP jd jpjsjd -dk因此得dWp(6-33)dWp中的實際增量大小有關(guān).因此,由d確定的塑性應(yīng)變增量的實際值與在塑性變形功 把式6-31代入式6-32可得dWp s dq因此,dWp也被看作是由于畸變所產(chǎn)生的塑性功增量,注意到塑性變形過程中,由于de： dsj /G和dJ 2 sj dsj0,所以dW p也可以表示為dWp s dejp6.3.3 Drucker Prager模型這里討論具有關(guān)聯(lián)流動法那么的Drucker Prager材料模型

20、.Drucker Prager屈服函數(shù)f采用下面的形式：f Ii J2 k其中, 和k均為正常數(shù).在主應(yīng)力面中的屈服面f 0是一個正圓錐,其軸與每一個坐標軸的傾斜相同而且頂點在靜水軸上.對于線性各向同性 fep2GCjkpK .2I1.J2klG(ik jlk的理想彈塑性材料,根據(jù)式6-25有1il jk)-2- H ij H kl9k G(6-34)其中Hij3KGij sijJ2彈塑性本構(gòu)矩陣為Cep4K 4G32G 3 4G 3-G 3-G 3-G 3對稱Hi2iH iih 22H22129K 2 GH11HH 22HH333333對稱根據(jù)流動法那么可得Sij2 v, J2H 11 H

21、12h22hH33HHi221212這里利用式6-22,可把d表小為19K 2 G3Kd kk-G= Skld .J2klH11HH22H33 H12 Hh2323232323H11HH22HH33HH12H31313131H 23H 31H3"(6-35)(6-36)d kk 3由式6-35導(dǎo)出(6-37)由于, 和d在塑性變形時均為正值,所以這個等式顯示了塑性狀態(tài)的一個非常重要的特性,即塑性變形伴隨著體積的增大,這個特性就是剪脹性.它是與靜水壓力有關(guān)的屈服函數(shù)塑性體的推論.對于一種在靜水軸的負方向上屈服面張開和具有關(guān)聯(lián)流動法那么的材料來說, 積膨脹就會在屈服時發(fā)生,如圖6-5所示

22、.【例6-1 考察在單軸應(yīng)變條件下Drucker Prager材料的特征.【解】在這種條件下,應(yīng)變增量和應(yīng)力狀態(tài)如下:, C C、,2 .1 .1 .d ij (d 1,.,.),deij_ d 1,_ d 1, d 1333ij 1,2,2,sij(s1, s2, s2)因此屈服準那么簡化為2 2).3(6-38)在彈性范圍內(nèi),應(yīng)力-應(yīng)變增量關(guān)系給定如下：4d 1 K G d 13(6-39)d 2 K G d 13從式6-38和式6-39可以很容易地確定初始屈服應(yīng)力為3(3K 4G) k6G 9.3K.3(3K 2G) k6G 9.3K(6-40)這里有在上面的等式中,正號對應(yīng)于單軸拉伸情

23、況,負號對應(yīng)于單軸壓縮的情況.因此,對于到達屈服面的單軸應(yīng)變-應(yīng)力路徑,必須滿足下面的條件：(6-41 )2G3、3K注意到由于 總是正值,所以第一個條件總是滿足的.從式6-40可以看出, 在屈服應(yīng)力上的影響,就是在單軸拉伸試驗上面的正號中降低屈服時垂直應(yīng)力1的值；在單軸壓縮試驗下面的負號中增加屈服時1的值.超出這個應(yīng)力狀態(tài),材料既有彈性變形也有塑性變形.從式6-34中得到彈-塑性關(guān)(1 2.3 )2d1 9 2 K G系如下：K (63)(3. 3) d3(1 9 2 K G)其中上面的正號對應(yīng)于 d 10 ,而下面的負號對應(yīng)于 d 10的情況.由于 是正值,所以在塑性變形時11曲線的斜率在

24、d 1 0時大于d 10時的斜率.圖6-6中描述了單軸應(yīng)變一壓縮試驗中Prandtl Reuss和 DruckerPrager材料模型的特性.對于Prandtl Reuss模型圖6-6a,在應(yīng)力與k成比例情況下,到達屈服條件之前該曲線是彈性的.在 塑性區(qū)域,斜率就是體積模量K.卸載也是彈性的,直到到達屈服面的對立面為止,然后又變?yōu)樗苄?斜率為 K.當壓縮應(yīng)力過程完成時,也就留下一個永久壓應(yīng)變.對于加 載不遠離彈性區(qū)域的情況,Drucker Prager模型情況是類似的圖 6-6 b.但是假設(shè)材料加載超過彈性區(qū)域之外 圖6-60,那么剩余變形是伸長的, 這就可以被看做是三維膨脹現(xiàn)象的 一維情況.

25、(c)圖 6-6 PrandtlReuss和 Drucker Prager模型的單軸應(yīng)變(a) Prandtl Reuss,彈塑性,k 大； (b) Drucker Prager,應(yīng)力小;(c) Drucker Prager, 應(yīng)力大利用式6-36和式6-37,可得到單軸應(yīng)變條件下的膨脹或塑性體積應(yīng)變增量如下:d p 9Kkk 9K 2 G2G du3、3K0 ,注意到式6-41,可以發(fā)現(xiàn)塑性其中的正號對應(yīng)于d10,而負號對應(yīng)于d 1體積應(yīng)變總是在增加.6.4 強化法那么在加載過程中,屈服面不斷改變它的形狀以使應(yīng)力點總是位于它上面.然而,會有無數(shù)個屈服面的演化形式可以滿足這個條件,因此,這不是

26、一個簡單地確定加載面如何開展的問題.實際上,這是一個塑性加工強化理論中的主要問題之一,這個限制加載面開展的規(guī)那么被稱為強化法那么.在前面的塑性分析中提出了幾個這樣的法那么,材料響應(yīng)在初期屈服之后會很不相同,這取決于所使用的特定的強化法那么.本節(jié)將詳細討論三個簡單的強化法規(guī)那么.6.4.1 各向同性強化這個法那么建立在以下假設(shè)的根底上,假設(shè)加載過程中的屈服面均勻膨脹,沒有畸變和移 動,如圖6-7所示.因此屈服面的數(shù)學表達式可以寫為如下形式:f( ij, )" ij) k( )0(6-42)其中,k()是一個強化函數(shù)或增函數(shù),用來確定屈服面的大小,是一個強化參數(shù),它的值表示了材料的塑性加

27、載歷史.例如,對于von Mises材料,f0( j)可以作為J2 ,那么可以把屈服面表示為f( ij, )J2 k( ) 0(6-43)后繼屈服面fokik圖6-7各向同性強化材料的后繼屈服面【例6-2】利用具有初始單軸屈服應(yīng)力0 (0)的von Mises模型,隨后的加載試驗過程為(,)(0, 0)(2 0, 0)(0, 2 0)(2 0, 2 0)假設(shè)這種材料的性質(zhì)遵守各向同性強化法那么,畫出初始屈服面和在加載路徑結(jié)束時在空間中的后繼屈服面.注意在每一個加載步驟中均為比例加載.圖6-8在三個加載路徑末的后繼屈服面【解】初始屈服面(6-44)后繼屈服面12242f-22-020在(20,0

28、)33f322420在(0,2o)122162f -2220 在(2 0, 2 o)33這些面表示在圖 6-8中.6.4.2 隨動強化隨動強化法那么假設(shè)在塑性變形過程中,加載面在應(yīng)力空間作剛體移動而沒有轉(zhuǎn)動,因此初始屈服面的大小、形狀和方向仍然保持不變.這個強化法那么提供了一個考慮Bauschinger效應(yīng)的簡單方法,如圖 6-9所示.一個隨動強化材料的屈服面一般表示為f( j, j) f°( j ij) k 0(6-45)其中,k是一個常數(shù),j被稱為反響力,它給出加載面中央的坐標.反響力在塑性加載過程中是變化的,以便說明強化響應(yīng),連同隨動強化法那么,經(jīng)常為了方便起見而用折減應(yīng)力ij

29、 ij ij ° Prager強化法那么隨動強化法那么的關(guān)鍵就是確定反響力j.最簡單的方法就是假設(shè)d j與djp線性相關(guān),這就是所謂 Prager強化法那么,其簡單形式為 pd j cd j(6-46)這里,c為材料常數(shù),說明一個給定材料的性質(zhì),也可能是狀態(tài)變量的函數(shù),如的函數(shù).如6.2節(jié)中所討論的,如果使用相關(guān)流動法那么,d :平行于應(yīng)力空間中屈服面上的當前應(yīng)力點的法線矢量. 在這種情況下,Prager強化法那么等于假設(shè)矢量 d j是屈服面的法線,當 Prager強化法那么用在應(yīng)力子空間時就會產(chǎn)生一些矛盾,這一點可在下面的例題中看出.【例6-3】對于遵守相關(guān)流動法那么和Prager

30、強化法那么的von Mises材料,在 空間把塑性變形剛開始之后的后繼屈服面和最初的屈服面進行比擬.【解】初始屈服面表示為根據(jù)式(6-46)可得d ij SjCd令剛好到達屈服面的應(yīng)力狀態(tài)為(a, a),那么后繼屈服面表示為cdaCd )22 a 2,2k c d9結(jié)果說明,Prager強化法那么導(dǎo)致后繼屈服面在加載過程中不僅有平移而且大小也改變,因此這個法那么不能遵從隨動強化法那么的定義. Ziegler強化法那么為了得到在子空間中也有效的隨動強化法那么,Ziegler修改了 Prager強化法那么,假設(shè)以如下形式沿折減應(yīng)力矢量一 j j方向平移.d j d ( j j)(6-47)d ad

31、其中,d是一個正的比例系數(shù),其與所經(jīng)歷的變形歷史有關(guān),為簡單起見,這個系數(shù)可假 設(shè)有如下的簡單形式(6-48)其中,a是正的標量,表示給定材料的性質(zhì),也可能是狀態(tài)變量的函數(shù),比方的函數(shù).【例6-4】用Ziegler強化法那么代替 Prager法那么解例6-3中的問題.【解】初始屈服可表示為令屈服面上的應(yīng)力狀態(tài)剛好到達(a a),米用式(6-47),那么后繼屈服面表不為ad )2( ad )2 k 0這些結(jié)果說明,利用Ziegler強化法那么時,屈服面的中央移動了應(yīng)力點(ad , ad但初始屈服面的大小、形式和方向均不變.6.4.3 混合強化如果把隨動強化和各向同性強化結(jié)合起來就會得出一個更具一

32、般性的法那么,稱為混合強化法那么：f( j, j,)f0( j, j) k( )0(6-49)k()和j兩個參數(shù)來模在這種情況下,加載面既有均勻膨脹又有平移,前者用k()度量,后者用°確定(圖6-10).但它仍然保持最初的形狀.采用混合強化法那么,就可以通過調(diào)整 擬Bauschinger效應(yīng)的不同程度.2初始屈服面%( j) k膨脹且平移ki%( j ij) k圖6-10混合強化模型的后繼屈服面在結(jié)合兩種強化法那么的同時,把塑性應(yīng)變增量分為兩個共線的分量(6-50)PPiPkd ij d ij d ij其中,d與屈服面的膨脹有關(guān),d,與屈服面的平移有關(guān).假設(shè)這兩個應(yīng)變分量為d jPi

33、 Md ijP, d (1 M )d jP(6-51)其中,M為混合強化參數(shù),其大小范圍為0 M 1.M的值就是調(diào)節(jié)兩種強化法那么的貢 獻和模擬Bauschinger效應(yīng)的不同程度.當 M0時,恢復(fù)為隨動強化；而當 M1時,恢復(fù)為各向同性強化.6.5 有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變在產(chǎn)生塑性變形的過程中可以觀察到強化反響,其強化程度取決于塑性加載的歷史.為了描述強化性質(zhì),需要：記錄塑性加載的歷史；描述強化與塑性加載歷史的關(guān)系.對于前者,已經(jīng)引進了強化函數(shù)(或者增長函數(shù))k,而對后者,已經(jīng)引進了被稱為強化參數(shù)的單調(diào)增長標量.強化函數(shù) k是關(guān)于強化參數(shù)的函數(shù),它的函數(shù)形式是與材料有關(guān)的.最普通的材料試驗是

34、單軸加載試驗,我們經(jīng)常用這類試驗來識別在一般加載條件下描述強化性質(zhì)的必要參數(shù).因此,為方便計,我們定義有效應(yīng)力e和有效塑性應(yīng)變 p ,它們是分別折算為單軸應(yīng)力試驗中的應(yīng)力和塑性應(yīng)變.強化函數(shù)k與有效應(yīng)力 e有關(guān),有效塑性應(yīng)變p可能被取為強化參數(shù)本身,e是p的函數(shù),函數(shù)的具體形式?jīng)Q定于單軸試驗數(shù)據(jù).6.5.1 有效應(yīng)力對于一個各向同性強化材料,屈服函數(shù)的展開式用式(6-42)表示.換言之,此式與強化特性相關(guān),因此很自然地利用f0( j)以如下形式來定義有效塑性應(yīng)力e,即f0( j)其中,A和n由e折算為單軸試驗中應(yīng)力1的條件來確定.比方,對于von Mises材料,可以假設(shè)f0( j) J2,那

35、么有對于在X1方向的單軸加載試驗,到A 1/3和n 2 ,因此由于在塑性變形中,f0 k 0,e等于1,而其他應(yīng)力分量都為零,從這個條件可以得e .3J2對這種材料的強化函數(shù)k用e表不為(6-52)【例6-5】求出Drucker Prager材料的 e的表達式.【解】由于f°( °) Ii JU；,所以有由于Drucker - Prager模型經(jīng)常用于巖石、土等材料,塑性變形一般都與壓縮加載有關(guān).因此,要確定 A和n兩個常數(shù),就要使e折算成單軸壓縮試驗的應(yīng)力.那么有13,從這里得到(6-53)° ,也要涉及折算應(yīng)力張量3( I1. J2).31在隨動強化和混合強化

36、準那么中,我們不僅要涉及應(yīng)力張量 一廠 因此折減有效應(yīng)力 1e也是必需的,且定義為f.,0) A(-)n其中,A和n兩個常數(shù)簡單取為關(guān)于e時一樣的那些值,例如,對于 von Mises材料有A 1/3和n 2.應(yīng)當注意,折減有效應(yīng)力與屈服面的膨脹有關(guān).6.5.2 有效塑性應(yīng)變?yōu)橛涗?變形)歷史提出兩個假設(shè)：一個是假設(shè)強化依賴于塑性功Wp,即屈服的抗力取決于在材料上所做的總塑性功 W p,這被稱為加工強化假設(shè)；另一個假設(shè)稱作應(yīng)變強化假設(shè),假設(shè)強化與總的塑性變形有關(guān),同時塑性變形經(jīng)常被表示為所謂的有效塑性應(yīng)變0.p符合這兩個假設(shè)的材料被分別稱為加工強化材料和應(yīng)變強化材料.W P和D這兩個參數(shù)均p可

37、以稱為強化參數(shù),通常由來表示.從實用的觀點來看,用p比Wp更容易.因此,在彈塑性分析中,p比Wp用得更多.有效塑性應(yīng)變 p用塑性應(yīng)變增量的簡單組合來確定,p的值總是正的、增大的.最簡單的形式是(6-54)其中,正的常數(shù) C將由d p折算為在Xi方向單軸加載試驗的d 1P的絕對值的條件來確定.利用流動法那么,得到d ；1d , d p C d6-5511ij ij11在軸向加載條件下,按定義d p等于d iP,因此從式6-55中可得(6-56)ij ij這里各項都應(yīng)取軸向加載條件下的值.【例6-6】采用關(guān)聯(lián)流動法那么求出von Mises和Drucker Prager模型的p的表達式.【解】考慮

38、X1方向的單軸加載試驗,這里11是惟一一個非零應(yīng)力分量.von Mises 模型：f g J 2 k 由式(6-56)導(dǎo)出s11g I1, J2 k對于單軸試驗有(6-57)Drucker Prager 模型：f 類似他,從式6-56有|(1 6)11(3 2 1 2) 12對于單軸壓縮試驗,有(6-58)注意到上式在0時就退化為式6-57.在混合強化法那么中, 如式6-50所述,我們把塑性應(yīng)變總的增量分解為兩局部,和d fo塑性應(yīng)變增量的各向同性局部d與屈服面膨脹有關(guān),用它來定義折算有效塑性應(yīng)變dp為 pd,C.,djpidjpi將式(6-51左)代入上式得d-pMd p(6-59)對這種形

39、式的材料,強化函數(shù)k是關(guān)于折減的有效塑性應(yīng)變d,的函數(shù).p同樣地,塑性應(yīng)變增量的隨動局部 d與屈服面的平移有關(guān),被用來定義隨動強化法那么.因此,考慮到式(6-51右)和(6-59),可以把式(6-46)和式(6-47)重新表示為對 Prager 法貝 Ud j cd ijpkc(1 M)d ；(6-60)對Ziegler法那么d j a( j j )(d p d-p)a(1 M)( j j )d p(6-61)6.5.3 有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)變關(guān)系現(xiàn)在用單軸應(yīng)力試驗來標(6-62)(6-63)H p表示屈服面的膨脹率.有效應(yīng)力-有效應(yīng)變關(guān)系表示了彈塑性材料強化過程的特性, 定,它的一般形式為d

40、e Hpd p微分法給出增量關(guān)系其中,H p d e/d p稱為塑性模量.對各向同性強化材料,對于混合強化材料,e的變化歸因于屈服面的膨脹和平移.假設(shè)屈服面的膨脹由折減的有效應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來決定一e-e,p)(6-64)對上面的方程進行微分可以得到屈服面的膨脹率d-eHpd, MH Dd 0(6-65)e p p p p其中,Hp為與屈服面的膨脹有關(guān)的塑性模量.e( p)(或者塑性模量 H p )的函數(shù)形式將由試驗數(shù)據(jù)來確定.對于一個混合強化材料,-e,p)(或Hp)的函數(shù)形式和混合強化參數(shù) M也需要確定.但是,這里應(yīng)該注意到 一e()和M并不是相互獨立的,如果 M給定,就能根據(jù) e( p)來

41、建立函數(shù)一e(%).為了證實這一點,首先令dede B(1 M)d p其中,系數(shù)B取決于隨動強化法那么和塑性勢能函數(shù)的類型.由式 6-65容易導(dǎo)出Hp M (Hp B) B(6-66)6-66)和式(6-63)、式(6-67)塑性模量Hp能夠由單調(diào)加載的試驗結(jié)果確定.但是,只是進行單調(diào)加載試驗的話,限制在反向加載試驗中觀察的Bauschinger效應(yīng)程度的混合強化參數(shù)M那么是不確定的或者說是任意的,因此M的值不應(yīng)該影響Hd的值.那么式6-67要求 pB Hp, Hp Hp(6-68)利用式6-63和式6-65,可以把 e和一e表示為e 00PHpd(6-69)其中,0是在單軸加載試驗中的屈服應(yīng)

42、力. 右重新表示為根據(jù)式6-59和式6-68右,可以把式6-69pd p(6-70)考慮式6-69左和式6-70,可得M( e(6-71)式6-71顯然說明, ,和M并不互相獨立.一旦e p的函數(shù)形式和混合強化參數(shù)M由單軸試驗數(shù)據(jù)確定了,1e也就能通過式6-71得到.6.6加工強化材料的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在這一節(jié)中,將推導(dǎo)強化材料的增量應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系.對于每一個強化法那么, 將得到兩組本構(gòu)方程：1 一個是用應(yīng)力增量 d j的形式表示應(yīng)變增量 d j ； 2另一個是用應(yīng)變增量d ij的形式表示應(yīng)力增量 d ij.在6.3節(jié)中我們已經(jīng)推導(dǎo)出了理想塑性材料的應(yīng)力一應(yīng)變增量關(guān)系.這里所采取的方法根本上是

43、一樣的.我們將利用式6-4流動法那么,式6-17應(yīng)變分解式和式6-18 或式6-19虎克定律.但一致性條件有點不同于式6-21.實際上,對不同的材料它采用的形式不同,因此這里沒有給出它的數(shù)學表達式.另外,和理想塑性材料不同,應(yīng)變增量d j可以由應(yīng)力增量d j惟一確定.因此除式6-18之外,還需要虎克定律的如下形式：d jeDjkl d j(6-72)其中,Djkl是彈性柔度強量.6.6.1各向同性強化一致性條件要求在塑性變形過程中應(yīng)力點總是位于屈服面上.因此對于各向同性強化材料,以下兩個方程也必須滿足：f(ij,p) 0,f( ij d j, p d p)0(6-73)利用式6-42、式6-55右和式(6-63),得到應(yīng)力增量形式的表達式:(6-74)ij hd 0HpC其中(6-75)ij ij以應(yīng)力增量表示的應(yīng)變增量 根據(jù)式6-74有(6-76)將上式代入式6-4和式6-55右那么得出d ijpd g一d kl kl考慮到式6-17、式(6-72)和式6-77 左),hij ij得到應(yīng)變增量的表達式d kl kl(6-77)d .ijDijkl dkl1_f hklk