大學(xué)物理電場和電勢幾個典型模型

1、.積分法一.電場強(qiáng)度1.帶電圓環(huán)例 電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上.計算通過環(huán)心點(diǎn)O并垂直圓環(huán)平面的軸線上任一點(diǎn)解 dE 一dl 24 %r24 %電(RdlE Ex dE cos 9dl24 兀©(Rxx2) , R2 x2qx2_2 324 兀o(xR )方向沿中軸線.q>0時,沿中軸線背離環(huán)心;q<0時,沿中軸線指向環(huán)心.qx22X324 %(x R )il討論:qx24兀虱R0,R, E24九0xp處的電場強(qiáng)度. dlrx2)0 P dExdE各dq在P點(diǎn)的場強(qiáng)分布o(jì)X dE (材料15)思考：中軸線上場強(qiáng)在何處取得極大值Emah?入dE 八令 0dx即4&qu

2、ot;Emaxc 33x2R2)2.x2 R2) 0、2q27 0R22.帶電圓盤及無限大帶電平面例3有一半徑為R,電荷均勻分布的薄圓盤,其電荷面密度為.求通過盤心且垂直盤面的軸線上任意一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度解：dExdqx 2 兀rdrE dE122x rx* x2r2)32 rdr22X3 2r )R0R2)4 兀%(x2 r2)322 % (xE方向沿中軸線0, E 0,E沿中軸線背離盤,0, E 0,E沿中軸線指向盤,dE方向沿中軸線rdr22X3 2r )E (12旬xR,2)R2 xR2沿中軸線無限大均勻帶電平面的電場場強(qiáng)大?。篍 92 0方向：垂直于帶電平面材料16矢量式：E n2 0

3、n為帶電平面的外法向單位矢量0() x限大均勻帶電平面的電場為均勻電場.9xE (122)(沿中軸線)2 屯 x2R21xR29(2) xR,21 2、x2R2xf(n)(0)n公式：f (u)f(0) f (O)unn i n!m(1 u)m(m 1) 2 m( m 1)(m 2) 31 mu uu2!3!當(dāng) u 1 時,(1 u)m 1 muTV2 x1x R, (R/x)21,/1 (一)2 22x2 R2xe R q4 Ox4冗電x二高斯定理求電場1.無限長帶電線例 設(shè)有一無限長均勻帶電直線,單位長度上的電(rR)荷為.求距直線為r處的電場強(qiáng)度. 解對稱性：軸對稱°sE?dS

4、上E?dS 早dS 根 E?dS高斯面：閉合圓柱面c cc c入 10 0根EdS E2<l -解得 E (E r0)2兀6r2兀&r思考1：求：無限長均勻帶電圓柱面在空間中的場強(qiáng)分0 (r布(帶電柱面的半徑 匚為R,電荷面密度為(T,或 E R 單位長度柱面電量為 “)0r 20r思考2:兩個共軸的無限長均勻帶電圓柱面,半徑分別為RPR2 ;單位長度電量分別為 刀1、n 2求空間中的場強(qiáng)分布.(rRi)20r(RiR2)一r°0r2 0r(rR2)2or".(r R)(R r R2)(r R2)如果要使r>R2的空間內(nèi)無電場,對刀1、刀2有什么要求?1

5、.無限大均勻帶電平面例 設(shè)有一無限大均勻帶電平面,電荷面密度為,求距平面為r處某點(diǎn)的電場強(qiáng)度.教材P344例10.4.2 解對稱性：軸對稱高斯面：閉合圓柱面E?dSE?dSSE S E SE 2 多矢量式 E n2 0 A|川闔例 設(shè)有一半徑為R,均勻帶電Q的球面.求球面內(nèi)外任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度.解 對稱性：球?qū)ΨQ高斯面:r>R,據(jù)高斯定理,有_ _2E?dS EdS E4 rSS解得 E Q 40rr<R,據(jù)高斯定理,有c c20 E?dS E4 r2 一S0解得 E 04qiq220r(rR2)4均勻帶電球體Qr 4 0R3 E Q 4 °r2【矢量式：r R, Er R

6、, E思考：內(nèi)半徑為R,(r R)(rQr3104 oRQ 2J4 or外半徑為0 (r R)電量為q的均勻帶電球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布?E33q r R2334 or R2Ri(R rR2)q4 or2(r R2)I4|<| 川邪5.無限長均勻帶電柱體例：有一無限長均勻帶電圓柱體,電荷體密度為prrE,寫出柱體內(nèi)外的場強(qiáng)表達(dá)式?E?dSS解得EE2 rlr2lR,sE?dSE2 rl解得R2R2l02 oR2(rR)2 or(rR)R2 ro 2 or(r(r R)R)思考1:如果單位長度柱體的電量為入,寫出柱體 內(nèi)外的場強(qiáng)表達(dá)式R2 1r2 oR2(r R)2or(r R)思考2:內(nèi)外半徑

7、分別為R1, R2的無限長均勻帶電厚圓筒,電 荷體密度為p ,求空間中的場強(qiáng)分布.o(r R)22、E (； Rl)(R r R)2 or22(R2-(r R)2 0r.電勢例1正電荷q均勻分布在半徑為 郎勺州g圓環(huán) 上.求環(huán) 軸線上距環(huán)心為x處的點(diǎn)P的電勢.教材P356例10.5.5解 dUdqdl_dU2xdq , U dU4兀電r.R24兀,4兀0例2求均勻帶電圓平面薄圓盤中軸線上任意點(diǎn)的電勢.電荷面密度為T.dU2 Tirdr22x rrdrrdr2 0 x2 r2討論:x0, UoR22rR2 o(R)2x2xxP x22x rR2x)q2 %R_RR2R24兀ox例3真空中有一電荷

8、為Q,半徑為R的均勻帶電球面.試求：球面內(nèi)外的電勢分布.解法一：UE?dlp由高斯定理可得(教材 P355例 10.5.4)0E Q4 02(rE?drR)R)2r 4 0rdr等效于全部電荷集中于球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢.r R,U .E?drQ dr _Q_ (等勢區(qū))R4 0r24 0RQ4 oRREdr 0drPr(r R)(r R)Q 4 0r注:電勢的分布總是連續(xù)的!A|>l|到R R R2 r2 2Rr cos 2 0r0解法二：dU dq ,U dU 40rdSR4 ° Jr2 r2 2Rr cos2 ,R2sin d d ：00 4 0 . R2 r2 2Rrc

9、os 22 R2 1d(R2 r2 2Rr cos ) 0 2Rr 0 r2 r2 2 Rr cos sin d ddqdSR2 sin d ddudq40rR2 sin d dA|川邰RU-(R r) (R2 0rr R, RU (R r) (R 2 0rr)r)R c R Q 2r2 0r04 0RRR2Q2R 2 0r0r4 0rU JRI22Rr cos2 0r0R 、(R r)2(R r)22 0rr R,思考：r R1, Uq1q21 (q140R140R240 RiRi r R2, U q1q2 1 (q140r 40R240 rq1q2q1 q2r 2,40r 40r 40r假設(shè) q q2 u 0q2R2q2R2A|>l哪例4求：電荷線密度為 的無限長均勻帶電直導(dǎo)線